高等代数期末考试题A答案

1高等代数课程A卷试题答案一、填空题（本题共10小题，每小题2分，满分20分.把正确答案填在题中横线上）1.8；2.0；3.0；4.92111；5.1或52；6.1()3AEEA；7.2；8.23a；9.6；10.112.二、选择题（本题共10小题，每小题2分，满分20分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号(答题框)内）题号12345678910答案AACACDCCBA三、计算题（本题共2小题，每小题10分，满分20分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1.计算n阶行列式abbbbabbDbbabbbba。解：观察行列式，每一行只有一个a而有1n个b，于是将第2列，第3列，……，第n列分别乘以1加到第1列，得(1)...(1)...(1)..................(1)...anbbbbanbabbDanbbabanbbba1...1...(1)1..................1...bbbabbanbbabbba1...00...0(1)00...0...............000...bbbabanbabab1(1)()nanbab2.设111111111A，123124051B，求AAB23。解：1111231111111242111111051111323ABA05822221322305622221720.2902224292四、解答题（本题共2小题，第1小题15分、第2小题10分，满分25分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）21.求非齐次线性方程组的通解(用导出组的基础解系表示)：123412341234123423132233542759108xxxxxxxxxxxxxxxx.解对增广矩阵A施行行初等变换213113223311542759108A108510113930000000000与原方程组同解的齐次线性方程组为1342341853139xxxxxx令34(,)(0,0)TTxx，得到非齐次方程组的一个解T)0,0,3,1(0,对应的齐次方程组（即导出方程组）为43243191358xxxxxx（其中43,xx为自由未知量），令34(,)Txx(1,0)T，(0,1)T，得到对应齐次方程组的一个基础解系T)0,1,13,8(1，2(5,9,0,1)T，方程组的通解为0112212(1,3,0,0)(8,13,1,0)(5,9,0,1)TTTkkkk,其中21,kk为任意常数．2.求下列向量组的秩,并求一个最大无关组α1(1214)Tα2(9100104)Tα3(2428)T解由123192192192210040820010(,,)110201900004480320000知r(α1α2α3)2因为向量α1与α2的分量不成比例故α1α2线性无关所以α1α2是一个极大无关组五、解答题（本题满分10分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）求一个正交变换将二次型222123232334fxxxxx化成标准形.解二次型的矩阵为200032023A由200032(2)(5)(1)023EA得A的特征值为1225313当12时,解方程组(2EA)X0,得特征向量α1(100)T当25时解方程组(5EA)X0得特征向量(011)T将其单位化得211(0,,)22T当31时解方程组(EA)X0得特征向量(011)T取将其单位化得311(0,,)22T于是有正交矩阵Q(α1α2α3)和正交变换XQY使22212325fyyy六、证明题（本题满分5分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）设A是一个n阶正定矩阵，则1AE正定。证明:设A的n个特征值为12,,,n。因A正定，故A的所有特征值12,,,n都大于0，所以AE的所有特征值121,1,,1n都大于1，因此12(1)(1)(1)1nAE