高等代数(下)期终考试题及答案(C卷)

高等代数(下）期末考试试卷（C卷）一.选择题（每空2分，共12分）1．(D)下列集合哪一个是Rn的子空间11112121121(A){(,0,....,0,)|,,}(B){(,,...,)|,1,...,}(C){(,,...,)|1,}(D){(,,...,)|0,}nnnninniiinniiiaaaaRaaaaaaZinaaaaaRaaaaaR2．(B)令=（x1，x2，x3）是R3的任意向量．下列哪一个映射是R3的线性变换31232332312312(A)()=,0(B)()=(2-+,,-)(C)()=(,,)(D)()=(1,,0)Rxxxxxxxxxxx其中是的固定向量3.(C)如果1V,2V是线性空间V的两个子空间,且()1dim3V=,()2dim2V=,()12dim1VV?,那么()12dimVV+为(A)2(B)3(C)4(D)54.（C）若4阶方阵A的初等因子为()23l+,+3,2.则A的不变因子是(Ａ)1，（+3），（+2），()23l+；(B)1，1，(+3)(+2)，()()223ll++；(C）1，1，（+3），()()223ll++；(D)1，1，(+2)，()()223ll++；5．（B）设矩阵A的全部不同特征值为12,,...,s，则下列哪一说法与A可对角化不等价（A）A有n个线性无关的特征向量；（B）()(1,2,...)()iiiiREAnisn其中为的重数;（C）Vdim(V)(1,2,...,)iiiiis的特征子空间的维数的重数;(D)A的最小多项式均是数域P上互素的一次因式的乘积;6.（D）在实数域R中，由全体4阶反对称矩阵所构成的线性空间W的维数为(A)10;（B）4；(C)9；（D）6；.二.填空题（每空２分，共18分）1、已知a是数域P上的一个固定的数，而2{(,,,),2,,}niWaxxxPin是1nP的一个子空间，则a＝_______，dim(W)＝________.2.设,是2P的两个线性变换，定义如下(,)(2,0)xyxy,(,)(3,)xyyxy(,xyP)则(,)xy_________.3.已知EA的标准形为1000000(2)，则A的特征多项式2(2)EA，A的最小多项式为___________。4.设2231A，则向量11是A的属于特征值的特征向量．5．若A=20000101x与B=2000y0001相似，则x_____,y=______。6．设三阶实对称矩阵A的特征值1231,3，则(3)______REA。三.判断题(对的打”√”,错的打”X”,每小题2分,共10分)1.对于矩阵的加法和数乘,0{,}nnVBBBBR是nnR的子空间(）2.任一实对称矩阵A都与对角阵既相似又合同()3.设是数域P上线性空间V的线性变换,W是一维-子空间,那么W中任何一个非零向量都是属于特征值的特征向量.()4．在欧几里得空间V中,保持任两个非零向量的夹角不变的线性变换必为正交变换．（）5．()A与()B等价当且仅当它们有相同的行列式因子.（）四．计算题(共3小题,33分)1．设1e,2e和1h,2h是线性空间2R的两组基,是2R的线性变换，已知121212(,)(2,2)seeeeee=-+,121212(,)(,23)hheeee=++(1)求在基1e,2e下的矩阵A；(2)求基1e,2e到基1h,2h的过渡矩阵X；(3)求在1h,2h下的矩阵。.(7分)2.设123,,是3维欧氏空间V的一组基，这组基的度量矩阵为112121216（1）令12，求；（2）若123k与正交，求k的值.（10分）3．设二次型222123123121323,,222222fxxxxxxxxxxxx，（1）写出二次型所确定的矩阵；（2）用正交线性替换将二次型化为标准形；（3）求二次型的秩；（4）判断二次型的正定性．（16分）五.证明题(每题9分，共27分)1.设1V与2V分别是齐次方程组nnnxxxxxxx12121...,0...的解空间，证明：.21VVPn2．证明：若Ａ是实对称矩阵，则nR中分别属于Ａ的不同特征值,的特征向量,必正交3．设V是一个n维欧氏空间，是V的一个对称变换，证明：值域()V是核1(0)的正交补.答案幻灯片1高等代数（下）期末考试C卷解答二、选择题（2×6=12分）1、（）下列集合哪一个是Rn的子空间11112121121(A){(,0,....,0,)|,,}(B){(,,...,)|,1,...,}(C){(,,...,)|1,}(D){(,,...,)|0,}nnnninniiinniiiaaaaRaaaaaaZinaaaaaRaaaaaRD幻灯片22、（）令是的任意向量，3123,,xxxR下列哪一个映射是的线性变换。3R31232332312312(A)()=,0(B)()=(2+,,)(C)()=(,,)(D)()=(1,,0)Rxxxxxxxxxxx其中是的固定向量B3、（）如果是线性空间V的两个子空间，且12,VV()()()1212dim3,dim2,dim1,VVVV==?()12dimVV+则为（A）2（B）3（C）4（D）5C一、选择题（2×6=12分）幻灯片3C4、（）若4阶方阵A的初等因子为()23,3,2lll+++则A的不变因子是()()()()()21,1,23,23Bllll++++()()()()21,1,3,23Clll+++()()21,2,3,3Alll+++()()()()21,1,2,23Dlll+++一、选择题（2×6=12分）幻灯片4B5、（）设矩阵A的全部不同特征值为12,,...,s则下列哪一说法与A可对角化不等价：（A）A有n个线性无关的特征向量；,1,2,...,iiiiBREAnisn其中为的重数Vdim(V)iiiiC的特征子空间的维数的重数(1,2,...,)is（D）A的最小多项式均是数域P上互素的一次因式的乘积D6、（）在实数域R中，由全体4阶反对称矩阵所构成的线性空间W的维数为（A）10;（B）4；（C）9；（D）6；321一、选择题（2×6=12分）幻灯片5二、填空题（每空2分，共18分）1、已知是数域P上的一个固定的数，而a1{(,,,),1,,}niWaxxxPin1nP是的一个子空间，则,dimaW0n112(,,,)(2,2,,2)nnaxxaxxW20aaa0,0,1,0,02,3,...,1iini是W的一个基。幻灯片6二、填空题（每空2分，共18分）2,P2、设是的两个线性变换，定义如下：(,)(2,0),(,)(3,),xyxyxyyxyxyP(,)xy则(0,2)xy(,)(2,0)(0,2)xyxyxy202001(,)(,)(,)101031xyxyxy02(,)0,201xyxy2001(,)(,),(,)(,)1031xyxyxyxy或幻灯片7二、填空题（每空2分，共18分）3、已知的标准形为EA1000000(2)2(2)A的最小多项式是(2)则A的特征多项式是12nnEADdddnd第n个不变因子（P351）n阶复数方阵A的最小多项式正是A的Am幻灯片8二、填空题（每空2分，共18分）4、设，则向量是A的属于特征值2231A11的特征向量。1314142214145、若与相似，则2002000010y001001ABx,xy221AByy210trAxtrByx01幻灯片96、设三阶实对称矩阵A的特征值二、填空题（每空2分，共18分）1231,3(3)______REA则实对称矩阵必可对角化，所以330VEAX也即解空间的维数为1，(3)2REA故10VEAX也即解空间的维数为2，()1REA故2幻灯片10三、判别题（对的打”√”,错的打”×”，2×5=10分）1、对于矩阵的加法和数乘，0{,}nnVBBBBR是的子空间（）nnR√2、任一实对称矩阵A都与一对角阵既相似又合同（）√3、设是数域P上线性空间V的线性变换，W是一维子空间，那么W中任何一个非零向量都是的属于特征值的特征向量（）√,WLWkkkk,0kW幻灯片114、在欧几里得空间V中，保持任两个非零向量的夹角不变的线性变换必为正交变换（）保持任意两个非零向量的夹角不变的线性变换未必是正交变换。如：令2,VA,2,2,22AAAAbbb显然是线性变换，且,2,24,AA但所以不是正交变换。,VA有实数域R上欧氏空间V的线性变换是正交变换但有——×幻灯片12()()AB5、与等价当且仅当它们有相同的行列式因子（）三、判别题（对的打”√”,错的打”×”，2×5=10分）√四、计算题（7+10+16=33分）2R1、设和是线性空间的两组基，是的1212,,2R线性变换，已知：121212121212(,)(2,2),(,)(,23)seeeeeehheeee=-+=++（1）求在基下的矩阵A；12,1212,,（2）求由基到基的过渡矩阵X；（3）求在基下的矩阵B。12,解：（1）1212121212(,)(2,2)(,)21seeeeeeee骣÷ç=-+=?ç÷ç÷ç-桫在基下的矩阵1212,21A幻灯片132R1、设和是线性空间的两组基，是的1212,,2R线性变换，已知：121212121212(,)(2,2),(,)(,23)seeeeeehheeee=-+=++（1）求在基下的矩阵A；12,1212,,（2）求由基到基的过渡矩阵X；（3）求在基下的矩阵B。12,解：（2）1212121212(,)(,23)(,)13hheeeeee骣÷ç=++=?ç÷ç÷ç桫1212,,由基到基的过渡矩阵1213X骣÷ç=?ç÷ç÷ç桫（3）求在基下的矩阵12,1321212112611211349BXAX-骣骣骣骣-鼢鼢珑珑==鼢??珑珑鼢鼢珑珑鼢鼢珑珑----桫桫桫桫幻灯片14四、计算题（7+10+16=33分）2、设是3维欧氏空间V的一组基，这组基的123,,度量矩阵为：11212121612（1）令，求123kk（2）若与正交，求的值。解：（1）11211211112160110,（1）之解法二：1212（，）＝（＋，＋）11122122(,)(,)(,),11121