高等代数2013-2014第一学期考试卷A答案

高等代数第一学期考试卷答案（A卷）考试（考查）：考试时间：2007年1月日本试卷共6页，满分100分；考试时间：120分钟题号一二三四总分阅卷教师签名12312得分一、选择题（本大题共8个小题，每空4分，共32分.请在每小题的四个备选答案中选出一个正确的答案，并将其号码填入题后的括号内）.1、若n阶矩阵A与B相似，则【A】Ａ.A与B有相同特征值B.A与B有不同特征值C.A与B有相同特征向量D.A与B有不同特征向量2、下列向量组中，线性无关的是【D】A．}0{B．},,0{C．1221{,,,},rm其中D．},,,{21r，其中任一向量都不能表成其余向量的线性组合.3、已知112212112212(,),(,)(,),(,)aabbccdd与是向量空间2F的两个基，则从基12,到基12,的过渡矩阵为【A】A．111112222abcdabcdB．111112222cdabcdabC．112121212aaccbbddD．112121212ccaaddbb4、下列子集中,作成向量空间Rn的子空间的是【B】A．121{(,,,)|1}nniiaaaaB．}0|),,,{(121niinaaaaC．12{(,,,)|,1,2,,}niaaaaZinD．}1|),,,{(121niinaaaa5、欧氏空间V的线性变换是对称变换的充要条件是V,，都有【C】得分评卷人A．,)(),(B．|||)(|C．),()(,D．把V的规范正交基变成V的规范正交基6、设矩阵A为n阶方阵且|A|=0，则【C】A．A中必有两行或两列的元素对应成比例．B．A中至少有一行或一列的元素全为零；C．A中必有一行或一列向量是其余各行或各列向量的线性组合；D．A中任意一行或一列向量是其余各行或列向量的线性组合．7、设V是n维向量空间，)(VL的维数为【B】A.nB.2nC.)1(21nnD.无限维8．设123,,是欧氏空间V的规范正交基，V且1,1，2,0，3,3，则【A】A.133B.233C.1233D.123二、填空题（本大题共5个小题，每空4分，共20分.请将正确结果填在题中横线上）.1、三阶方阵A的特征多项式为32()223Af，则||A-3.2、设1322A，则向量11是A的属于特征根4的特征向量．3、BA,为n阶正交矩阵，且,0||A0||B，则||AB-1．4、取3/2时，向量组12(1,0,1),(4,,3)，3(1,3,1)线性相关.得分评卷人5、若A是正交矩阵，kR，要使kA为正交矩阵，则k=±1.三、计算题（本大题共3个小题，共28分.请写出必要的推演步骤和文字说明）.1、（本小题6分）在向量空间3R中，求由向量组123(2,3,1),(1,4,2),(5,2,4)所生成子空间的基和维数；解:（解法不唯一）令123215342124A.则只对A施行行初变换即可.2分12410201010011033000A.4分故12,为所求的一个基,生成子空间的维数是2.6分2、（本小题8分）设Fx表示数域F上次数小于3的多项式连同零多项式构成的向量空间，定义映射：()()fxfx1）验证是线性变换；2）求线性变换在基21,1,12xxx下的矩阵.解:1)(),()[],,fxgxFxabF有(()())(()())()()(())(())afxbgxafxbgxafxbgxafxbgx故:()()fxfx是[]Fx上的线性变换（也可用线性变换定义验证）3分2)因为2222(1)0010(1)0(1)2(1)1110(1)0(1)2(1)1011(1)0(1)22xxxxxxxxxxxxx关于基21,1,12xxx的矩阵为:得分评卷人4分5分6分0100010008分3、（本小题14分）对实对称矩阵求一个正交矩阵U，使UAU为对角形矩阵.解：2122()212(5)(1)221AxfxxIAxxxx所以特征根为－１，５（二重）４分当1时，对应齐次线性方程组为123222022202220xxx其基础解系为12{(1,1,0),(1,0,1)}７分正交化得1211112(,,0),(,,)22666９分当5时，对应齐次线性方程组为123422024202240xxx其基础解系为3{(1,1,1)}，化为为单位向量为3111(,,)33311分所以正交矩阵123111263111,,26321063U13分122212221A且使得115UAU14分四、证明题（本大题共2个小题，每小题10分，共20分，须写出必要的推理过程和文字说明）1．设,,,,21n都是一个欧氏空间的向量,且是n,,,21的线性组合.证明：如果与i正交,ni,,2,1,那么0.证明:令1niiia,则3分11,,,0nniiiiiiaa每式2分,计9分所以β=010分2．设123,,是三维欧氏空间3R的一个标准正交基，证明：112321233123111(22),(22),(22)333也是3R的一个标准正交基证明：（证明方法不唯一）由123{,,}到123{,,}的过渡矩阵为221333212333122333U4分UUUUI8分123{,,}也是标准正交基.10分得分评卷人