大连理工大高等代数二期末试题

-1-大连理工大学课程名称：高等代数（二）（期中）试卷：考试形式：闭卷授课院(系)：数学系考试日期：2008年5月15日试卷共6页一二三四五六七八九十总分标准分401010151510////100得分一．填空题（每小题4分，共40分）。1.设是3][xP上的线性变换，3][)(),()1())((xPxfxfxfxf,则23,1][xxxP，的基在下的矩阵为________________.2.设22:RR的线性变换，，bababa其中R是实数域，Im像集合则____，Ker核的集合_____．3．已知3R中线性变换在基下的)1,1,0(),1,0,1(),1,1,1(321矩阵为，121-011101则在基)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321下的矩阵为..4.已知矩阵122212221A，则A的特征值为1,2对应21,的特征向量分别为_________________________.姓名：学号：院系：级班装订线-2-5.已知矩阵10014152kA可对角化，则k=.6．已知三级矩阵A的三个特征值为1，2，3，则EA2的行列式EA2=.7．已知矩阵A的特征矩阵AE与矩阵21)1(12等价，则AE的标准形及A的Jordan标准形分别为，.8．已知矩阵A的Jordan标准形为2121，则A的有理标准形为.9．设A的特征多项式为)2()1()(2f，写出A的所有可能的Jordan标准形.10．设矩阵A的特征多项式为65)(2f，则A可逆，1A的特征多项式为.-3-二．（10分）设V是数域P上的4维线性空间，是V上的线性变换，在基4321,,,下的矩阵1240013100100021A，试求含1的最小不变子空间.三．（10分）设是n维线性空间V上的线性变换，证明：维)(V维))0((1n即,的秩+的零度=n-4-四.（15分）求矩阵411301621A的Jordan标准形及A的最小多项式。-5-五．（15分）设3维线性空间V上线性变换在基321,,下的矩阵A321，记L（V）为V上线性变换全体，)(,)(VLC.1）证明：)(C是L(V)的子空间；2）求)(C的一组基和维数.-6-六．(10分)设A，B为n级实矩阵，证明：若A，B在复数域上相似，则A，B在实数域上也相似。-1-大连理工大学课程名称：高等代数（二）（期中）试卷：考试形式：闭卷授课院(系)：数学系考试日期：2008年5月15日试卷共6页一二三四五六七八九十总分标准分401010151510////100得分一．填空题（每小题4分，共40分）。1.设是3][xP上的线性变换，3][)(),()1())((xPxfxfxfxf,则23,1][xxxP，的基在下的矩阵为0002001102.设22:RR的线性变换，，bababa其中R是实数域，Im像集合则2R，Ker核的集合00．3．已知3R中线性变换在基下的)1,1,0(),1,0,1(),1,1,1(321矩阵为，121-011101则在基)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(321下的矩阵为1122203024.已知矩阵122212221A，则A的特征值为1-1,25对应21,的特征向量分别为''12(110)(101)kk，1k，2k不同时为零姓名：学号：院系：级班装订线-2-且12,kkP；'(111)k，0k，kP.5.已知矩阵10014152kA可对角化，则k=1.6．已知三级矩阵A的三个特征值为1，2，3，则EA2的行列式EA2=100.7．已知矩阵A的特征矩阵AE与矩阵21)1(12等价，则AE的标准形及A的Jordan标准形分别为2111(1)(1)(2)11112，.8．已知矩阵A的Jordan标准形为2121，则A的有理标准形为0410815—————————9．设A的特征多项式为)2()1()(2f，写出A的所有可能的Jordan标准形211,2111。10．设矩阵A的特征多项式为65)(2f，则A可逆，1A的特征多项式为25166。二．（10分）设V是数域P上的4维线性空间，是V上的线性变换，在-3-基4321,,,下的矩阵1240013100100021A，试求含1的最小不变子空间.解：由题意可知1234123412000100()()13100421，设含1的最小不变子空间.为W，则1W，因为W是-不变子空间，则1()W，由113()可知311()，即3W，所以3()W，由334()2，可知4233()，即4W，而44()所以。134()LW，再由W的最小性可知134()WL，因此134()WL，证毕。三．（10分）设是n维线性空间V上的线性变换，证明：维)(V维))0((1n即,的秩+的零度=n证明：见书中定理。四.（15分）求矩阵411301621A的Jordan标准形及A的最小多项式。解-4-41131621AE131141261301102(1)63(1)1000110(2)(1)331000100(2)(1)3(1)(2)(1)10001000(1)(32)210001000(1)所以A的不变因子为1，2(1)。A的初等因子为1，2(1)。所以矩阵A的Jordan标准形为：100010011。A的最小多项式是A的最后一个不变因子，所以2()(1)g是A的最小多项式。五．（15分）设3维线性空间V上线性变换在基321,,下的矩阵A321，记L（V）为V上线性变换全体，)(,)(VLC.1）证明：)(C是L(V)的子空间；2）求)(C的一组基和维数.证明：1）0)(C，12,()C，即11，22，,klP，12()kl1212klkl12()kl，12()klC，所以()C为()LV的子空间。3）设)(C在321,,下的矩阵为B，则AB=BA。-5-123111213212223313233bbbbbbbbb=111213212223313233bbbbbbbbb123所以111213212223313233222333bbbbbbbbb=111213212223313233232323bbbbbbbbb即12122bb，13133bb，21212bb，31313bb，232323bb，323232bb，即12b=21b=31b=13b=32b=23b=0，即112233bBbb=112233100010001bbb，所以)(C的一组基为1，2，3，其中11231231()()00，21231230()()1031231230()()01，)(C的维数是3。六．(10分)设A，B为n级实矩阵，证明：若A，B在复数域上相似，则A，B在实数域上也相似。证明：由于A，B在复数域上相似，所以它们有相同的初等因子，因此它们有相同的不变因子，又因为A,B是实系数矩阵，它的不变因子为实系数多项式，所以在实数域上，不变因子相同，两矩阵相似。-1-大连理工大学课程名称：高等代数（二）试卷：A考试形式：闭卷授课院(系)：数学系考试日期：2008年7月14日试卷共6页一二三四五六七八九十总分标准分32161210101010///100得分一．填空题（每小题4分，共32分）。1.判断下面所定义的变换,哪些是线性变换,哪些不是线性变换:1)在P[x]中,),1())((xfxf];[)(xPxf2)在P[x]中,,1)())((xfxf][)(xPxf.2.设2222:RR的线性变换，，XdcbaX)(其中R是实数域，求在基1000,0100,0010,000122211211EEEE下的矩阵3．已知三级矩阵A的三个特征值为1，2，3，则EAAA21*相似于对角矩阵姓名：学号：院系：级班装订线-2-4．设四级矩阵A的最小多项式为)2()1()(2m，写出A的所有可能的Jordan标准形5．已知矩阵2121A，则A初等因子组为，不变因子组为，各阶行列式因子组为6.在欧氏空间4R中（内积按通常定义），向量)0,1,1,0(),1,1,0,0(之间的夹角7．设321,,是三维欧式空间的一组标准正交基，),22(3211k),22(3212k)22(3213k也是一组标准正交基，则k=8．设),(f是数域P上三维线性空间V上的一个双线性函数，321,,是V的一组基，矩阵012120101A是),(f在321,,下的度量矩阵，设21321,2，则),(f=-3-二．计算1．（6分）已知三级实对称矩阵A的三个特征值为3,2,1321，对应21,的特征向量分别为)0,1,0(),1,0,1(21pp，求3对应的特征向量.2．（10分）设V是数域P上的一个线性空间，321,,是它的一组基，f是V上的一个线性函数，已知3)(,1)2(,1)(213221fff，求)(332211xxxf.-4-三．（12分）在nxP][中)1(n，微分变换)('))((:xfxfDD是nxP][上的线性变换1.求D的特征多项式；2.证明D在任何一组基下都不可能是对角矩阵;3.求D的核及值域.四．（10分）设A是数域P上一个n级矩阵，证明A与A的转置矩阵'A相似.-5-五．设323121232221321666222),,(xxxxxxxxxxxxf1．(8分)用正交线性