第三节--利用空间向量求异面直线所成角及直线与平面所成角

8第三节利用空间向量求异面直线所成角及直线与平面所成角一、异面直线所成角设AB、CD为异面直线，所成角为则CDABCDABcos练习：如图，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，则OE和FD1所成角的余弦值为________.探讨：如图,正四面体A-BCD中，E、F分别是BC、AD的中点，求AE和CF所成角的余弦值。例1、如图，ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱，（1）求证BD平面ACC1A1（2）若二面角C1-BD-C的大小为60，求异面直线BC1与AC所成角大小。（06北京文）二、直线与平面所成角1、法向量：如表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作a。如果a，那么向量a叫平面的法向量。例2，如图所示，ABCD是直角梯形AD//BC，90ABCSA平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=21，（1）求平面SBC的一个法向量；FEDBACEC1DD1A1B1C1BACFOD1C1ABCDA1B1SDCBA9（2）求平面SCD的一个法向量；（3）求平面SAD的一个法向量；（4）求平面ABCD的一个法向量。2，若AB是平面的一条斜线，n是的一个法向量，设AB与所成角为，则sin=nABnAB。例3，如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1，求AC1与平面BB1C1C所成角。练习：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是棱B1C1、AD的中点，求直线A1D1与平面BMD1N所成角的余弦值。例4，如图，AB平面BCD，BCCD，AB=BC，AD与平面BCD所成角为30°。（1）求AD与平面ABC所成的角；（2）AC与平面ABD所成角。C1CA1BAB1DCBANMD1C1B1A1DCBA10作业：1.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中BC=22，214CD，51DD，求A1C和B1D1所成角的大小。2．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是CC1的中点，求BE与平面B1BD所成角的余弦值。3.已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=AC，F为BB1上的一点，BF=BC=2a，FB1=a，（1）若D为BC中点，E为AD上不同于A、D的任意一点，求证EFFC1；（2）若A1B1=3a，求FC1与平面AA1B1B所成角的大小。4，如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD//BC，90BAD，PA底面ABCD且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB中点，（1）求证：PBDM；（2）求CD与平面ADMN所成角。（06浙江）ED1C1B1A1CBADB1D1A1C1DCBAEFC1B1A1ECDBANMDCBPA115、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，90BAD，AD//BCAB=BC=a，AD=2a，且PA底面AC，PD与底面成30°角（1）若AEPD，E为垂足，求证：BEPD；（2）求异面直线AE和CD所成角大小。6、如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧棱C1C上的一点，CP=m（1）试确定m，使直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为23；（2）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP，并证明你的结论。（06湖北）7.如图，在三棱锥P-ABC中，ABBC，AB=BC=kPA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP底面ABC。（1）求证：OD//平面PAB；（2）当k21时，求直线PA与平面PBC所成角大小；（3）当k取何值时，O在平面PBC内射影恰好为△PBC的重心？8，三棱锥P-ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3（1）求证：ABBC；（2）设AB=BC=32，求AC与平面PBC所成角大小。（04全国）PCBAODCAPBEDCBPADPA1C1D1B1CBA