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理解教材新知突破常考题型应用落实体验题型一题型二第二章题型三2.32.3.1第1部分跨越高分障碍随堂即时演练课时达标检测知识点一知识点二返回返回返回2．3.1直线与平面垂直的判定返回直线与平面的垂直[提出问题]鲁班是我国古代一位出色的发明家，他在做木匠活时，常常遇到有关直角的问题．虽然他手头有画直角的矩，但用起来很费事．于是，鲁班对矩进行改进，做成一把叫做曲尺的“L”形木尺．现在木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次，如右图．如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直．返回问题1：用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？提示：不能．问题2：上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？提示：直线垂直于平面内的两条相交直线．问题3：若直线垂直于平面内的无数条直线，直线与平面垂直吗？提示：不一定．返回[导入新知]1．直线与平面垂直的定义(1)自然语言：如果直线l与平面α内的________直线都______，就说直线l与平面α互相垂直，记作______.直线l叫做平面α的______，平面α叫做直线l的_______．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做________．任意一条垂直l⊥α垂线垂面垂足返回(2)图形语言：如图．画直线l与平面α垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．(3)符号语言：任意a⊂α，都有l⊥a⇒________.l⊥α2．直线与平面垂直的判定定理(1)自然语言：一条直线与一个平面内的_____________都垂直，则该直线与此平面垂直．(2)图形语言：如图所示．(3)符号语言：______________________________⇒l⊥α.a⊂α，b⊂α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b两条相交直线返回[化解疑难]1．关于直线与平面垂直的定义的理解：(1)定义中的“任何一条直线”这一词语，它与“所有直线”是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直．(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式．(3)若直线与平面垂直，则直线和平面内的任何一条直线都垂直，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法．返回(4)在画线面垂直时，要把直线画成和表示平面的平行四边形的横边垂直，符号语言表述为l⊥α.2．判定定理的条件中，“平面内两条相交直线”是关键性词语，此处强调相交，若两条直线不相交(即平行)，即使直线垂直于平面内无数条直线也不能判断直线与平面垂直．3．要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可．至于这两条直线是否与已知直线有交点，这是无关紧要的.返回直线与平面所成的角[提出问题]斜拉桥又称斜张桥，是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁，是由承压的塔、受拉的索和承弯的梁体组合起来的一种结构体系．其可看作是拉索代替支墩的多跨弹性支承连续梁．其可使梁体内弯矩减小，降低建筑高度，减轻了结构重量，节省了材料。斜拉桥由索塔、主梁、斜拉索组成．返回问题1：上图中拉索所在直线与桥面都是相交的关系，其倾斜程度相同吗？提示：不同．问题2：能用角来表示直线与平面相交时不同的倾斜程度吗？提示：能．问题3：直线与平面所成的角是空间角，能和异面直线所成角一样把空间角转化为平面角吗？提示：能．返回[导入新知](1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的______所成的_______，叫做这条直线和这个平面所成的角．如图，__________就是斜线AP与平面α所成的角．(2)当直线AP与平面垂直时，它们所成的角是______.(3)当直线与平面平行或在平面内时，它们所成的角是_____.(4)线面角θ的范围：_________________.射影锐角∠PAO90°0°0°≤θ≤90°返回[化解疑难]关于直线与平面所成的角的认识(1)把握定义应注意两点：①斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的；②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段．(2)其定义反映了求线面角的基本思想——平面化思想，即把空间角等价转化为平面角，并放在三角形内求解．返回线面垂直的定义及判定定理的理解[例1]下列说法中正确的个数是()①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．A．0B．1C．2D．3返回[解析]由直线和平面垂直的定理知①对；由直线与平面垂直的定义知，②正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条直线垂直，故③不对；④正确．[答案]D返回[类题通法]1．对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不是一回事，后者说法是不正确的，它可以使直线与平面斜交．2．判定定理中要注意必须是平面内两相交直线．返回[活学活用]1．下列说法中，正确的是()A．若直线l与平面α内无数条直线垂直，则l⊥αB．若直线l垂直于平面α，则l与平面α内的直线可能相交，可能异面，也可能平行C．若a∥b，a⊂α，l⊥α，则l⊥bD．若a⊥b，b⊥α，则a∥α解析：当l与α内的任何一条直线都垂直时，l⊥α，故A错；当l⊥α时，l与α内的直线相交或异面，但不会平行，故B错；C显然是正确的；而D中，a可能在α内，所以D错误．答案：C返回线面垂直的判定[例2]如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝1，AA1＝2，∠B1A1C1＝90°，D为BB1的中点．求证：AD⊥平面A1DC1.[证明]∵AA1⊥底面ABC，平面A1B1C1∥平面ABC，∴AA1⊥平面A1B1C1，∴A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1＝90°，返回∴A1C1⊥A1B1.而A1B1∩AA1＝A1，∴A1C1⊥平面AA1B1B.又AD⊂平面AA1B1B，∴A1C1⊥AD.由已知计算得AD＝2，A1D＝2，AA1＝2.∴AD2＋A1D2＝AA21，∴A1D⊥AD.∵A1C1∩A1D＝A1，∴AD⊥平面A1DC1.返回[类题通法]1．用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直时，需在平面内找两条相交直线，证明一条直线同时垂直于这两条相交直线，这是证明线面垂直的一个常用方法．2．线线垂直与线面垂直的转化关系．线线垂直线面垂直的判定定理线面垂直的定义线面垂直．返回3．解决线面垂直的常用方法：(1)利用勾股定理的逆定理．(2)利用等腰三角形底边的中线就是底边的高线．(3)利用线面垂直的定义．(4)利用平行转化，即a∥b，b⊥c，则a⊥c.返回[活学活用]2.如图，直角三角形ABC所在平面外有一点S，且SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)因为SA＝SC，D为AC的中点，所以SD⊥AC.则在Rt△ABC中，有AD＝DC＝BD，所以△ADS≌△BDS.返回所以∠BDS＝∠ADS＝90°，即SD⊥BD.又AC∩BD＝D，AC，BD⊂平面ABC，所以SD⊥平面ABC.(2)因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC.又由(1)知SD⊥BD，于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，所以BD⊥平面SAC.返回直线与平面所成角[例3]如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值．[解]取AA1的中点M，连接EM，BM，因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，返回从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角．设正方体的棱长为2，则EM＝AD＝2，BE＝22＋22＋12＝3，于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝EMBE＝23，即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为23.返回[类题通法]求斜线与平面所成角的步骤(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算．(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角．(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算．返回[活学活用]3．已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，求侧棱与底面所成角的余弦值．解：如图，设正三棱锥的底面边长为a，则侧棱长为2a.返回设O为底面中心，则∠SAO为SA与平面ABC所成的角．在Rt△SOA中，∵AO＝23×32a＝33a，∴cos∠SAO＝AOSA＝33a2a＝36，即侧棱与底面所成角的余弦值为36.返回6.证明线面垂直[典例]如图，已知P是△ABC所在平面外一点，PA，PB，PC两两互相垂直，H是△ABC的垂心．求证：PH⊥平面ABC.返回[解题流程]要证PH⊥平面ABC，需证PH垂直于平面ABC内两条相交直线.PA，PB，PC两两垂直且H是△ABC的垂心，则△ABC的一个顶点与H连线与对边垂直.由PC⊥PA且PC⊥PB―→PC⊥平面PAB―→PC⊥AB―→由H为△ABC垂心，接连CH，CH⊥AB―→AB⊥平面PHC―→AB⊥PH―→同理BC⊥PH―→得出结论.返回[规范解答]如图所示，[名师批注]①处易漏掉AP∩BP＝P，PC∩CH＝C和AB∩BC＝B的条件，而直接证明出线面垂直，虽然结果正确，但不严密.虽然写清了①的条件，若没有写清楚②处的条件或漏掉，都是不全面的，都容易失分.若漏掉③处而直接由线面垂直得出线线垂直也是不严谨的.返回∵PC⊥AP，PC⊥BP，AP∩BP＝P①，AP⊂平面APB，BP⊂平面APB②，∴PC⊥平面APB.3分∵AB⊂平面APB③，∴PC⊥AB.5分连接CH，∵H为△ABC的垂心，∴CH⊥AB.7分∵PC∩CH＝C①，PC⊂平面PHC，CH⊂平面PHC②，返回∴AB⊥平面PHC.∵PH⊂平面PHC③，∴AB⊥PH.(9分)同理可证PH⊥BC.(10分)∵AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC②且AB∩BC＝B①，∴PH⊥平面ABC.(12分)返回[活学活用]如图，已知PA⊥圆O所在平面，AB为圆O的直径，C是圆周上的任意一点，过A作AE⊥PC于E.求证：AE⊥平面PBC.证明：∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.∵AC⊥BC，AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC.∵AE⊂平面PAC，∴BC⊥AE.又∵PC⊥AE，BC∩PC＝C，PC⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，∴AE⊥平面PBC.返回[随堂即时演练]1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不确定答案：B返回2.如图所示，若斜线段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，则AB与平面α所成的角是()A．60°B．45°C．30°D．120°解析：∠ABO即是斜线AB与平面α所成的角，在Rt△AOB中，AB＝2BO，所以cos∠ABO＝12，即∠ABO＝60°.答案：A返回3.如图所示，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，则直线PB与平面ABC所成的角等于________．解析：因为PA⊥平面ABC，所以斜线PB在平面ABC上的射影为AB，所以∠PBA即为直线PB与平面ABC所成的角．在△PAB中，∠BAP＝90°，PA＝AB，所以∠PBA＝45°，即直线PB与平面ABC所成的角等于45°.答案：45°返回4.已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形一定是________．解析：连接AC、BD，则AC与BD交于点O.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，又∵PC⊥BD，PA∩PC＝P，PA⊂平面PAC，PC⊂平面PAC∴BD⊥平面PAC，又AC⊂平