椭圆的定义及标准方程优质公开课

椭圆的定义及标准方程（高三一轮复习）西安交大彬县阳光高级中学2017.12一、教学内容分析圆锥曲线是解析几何的主体内容，也是高中数学的重点内容，而椭圆是圆锥曲线的起始部分，通过本节课的学习，不但让学生对椭圆的知识结构有一个较清晰的认识，而且在处理问题时，让学生学会灵活运用定义，正确选用标准方程，恰当利用几何性质，合理的分析，准确的计算，并且为复习双曲线和抛物线奠定了基础。二、学生学习情况分析本班是文科实验班班，此课之前，学生已经学习过相关内容。此时，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。总体上来讲，由于学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，分析问题不透彻，知识体系不完整，使得学生在对椭圆定义的理解及其标准方程的灵活运用上有一定的难度。因此根据尝试教学法，教学过程中遵循“自主复习——练习探索——课堂研究——巩固运用”的四个要素，侧重学生的“练”、“思”、“究”的自主学习。通过学生的“练”、“思”、“究”，再到教师的“讲”，使学生的学习达到“探索有所得，研究获本质”。三、高考导航1.从近几年高考题的命题方向来看，大量的运算在逐渐减少，但与其他知识相结合在逐渐增加，圆锥曲线的概念、性质、方程等基础知识稳中求活，稳中求新，命题中经常涉及的有：（1）方程，（2）几何特征值a、b、c、p、e，（3）直线与圆锥曲线问题，从弦长到位置关系.（4）曲线与方程的关系、考查曲线方程的探求，如直接法、相关点法、待定系数法、定义法、交轨法等.分值一般在17分左右，解答题难度较大.2.预计今后高考命题有以下特点：（1）以选择或填空题考查圆锥曲线的定义和性质，难度为中档题，（2）以解答题形式重点考查圆锥曲线的综合问题，多与直线结合进行命题，难度较大，文科多侧重于椭圆.四、教学目标1、知识与能力：了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程画出椭圆方程。2、过程与方法：通过复习回顾，几何画板点的轨迹展示，用数形结合使学生对已学知识加深理解，采用探究式和小组合作解决一些椭圆定义及标准方程的有关问题。3、情感、态度与价值观：通过与同学、老师的交流、合作与探究，体会合作学习的乐趣；通过对椭圆的定义、几何图形、基本性质的探索，体会椭圆的几何图形与方程之间的相互联系和相互转化的规律，感受数学的严谨性；逐步形成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。五、教学重点与难点教学重点：1、掌握椭圆的定义，几何图形，标准方程及简单的几何性质。2、会求椭圆的标准方程。教学难点：椭圆的定义，理解数形结合的思想。六、教学过程I、知识梳理构建网络问题1：平面内与两个定点F1、F2的距离之和为常数的点的轨迹是什么?常数大于12||FF时，点的轨迹是椭圆常数等于12||FF时，点的轨迹是线段F1F2常数小于12||FF时，点的轨迹不存在问题2：椭圆的标准方程的两种形式是什么？12222byax，12222aybx,(a＞b＞0)分别表示中心在原点，焦点在x轴和y轴上的椭圆问题3：椭圆的图像特征是什么？2F1FMM2F1FMMII、.基础知识训练：1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．()(2)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形()(3)方程mx2＋ny2＝1(m0，n0，m≠n)表示的曲线是椭圆．()2．已知两定点A(－1,0)，B(1,0)，点M满足|MA|＋|MB|＝2，则点M的轨迹是()A．圆B．椭圆C．线段D．直线3．若△ABC的两个顶点坐标分别为A(－4,0)、B(4,0)，△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为()A．192522yxB．192522xyC．191622yxD．191622xy4.(2015·广东卷)已知椭圆x225＋y2m2＝1(m0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝()A．2B．3C．4D．95.已知方程191522kykx表示椭圆，则当实数k取何值时，方程表示：（1）焦点在x轴上的椭圆;（2）焦点在y轴上的椭圆;y轴上的椭圆.III、课堂精讲互动：考点一、椭圆的定义由椭圆的定义可知在平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．可以将椭圆上的点到两个焦点的距离进行转化，从而解决有关线段长度的问题．一般地，遇到与焦点距离有关的问题时，首先应考虑用定义来解题．例1、一动圆与已知圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．【思路点拨】两圆相切，圆心之间的距离与两圆半径有关，据此可以找到动圆圆心满足的条件．解：两定圆的圆心和半径分别是O1(－3,0)，r1＝1，O2(3,0)，r2＝9.设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，则由题设条件，可知|MO1|＝1＋R，|MO2|＝9－R，∴|MO1|＋|MO2|＝10，由椭圆的定义知：M在以O1、O2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3，b2＝a2－c2＝25－9＝16，故动圆圆心的轨迹方程为x225＋y216＝1.针对训练：1、如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是()A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆解：(1)连接QA.由已知得|QA|＝|QP|.所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.又因为点A在圆内，所以|OA|＜|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆．故选A.2、已知椭圆x24＋y22＝1的两个焦点是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF1F2的面积是()A.2B．2C．22D.3解：由椭圆的方程可知a＝2，c＝2，且|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，又|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝3，|PF2|＝1.又|F1F2|＝2c＝22，所以有|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，即△PF1F2为直角三角形，且∠PF2F为直角，所以S△PF1F2＝12|F1F2||PF2|＝12×22×1＝2.考点二椭圆的标准方程例2、求满足下列各条件的椭圆的标准方程：（1）长轴长为10，短轴长为6;（2）长轴长是短轴长的3倍且经过点A(3,0).【思路点拨】由已知条件设出椭圆的标准方程，解方程(组)，用待定系数法求解，应注意处理椭圆焦点位置不确定时的情况．解：(1)椭圆的标准方程是：192522yx或125922yx若椭圆的焦点在x轴上，设方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，∵椭圆过点A(3,0)，∴9a2＝1，a＝3，∵2a＝3·2b，∴b＝1，∴方程为x29＋y2＝1.若椭圆的焦点在y轴上，设椭圆方程为y2a2＋x2b2＝1(ab0)，∵椭圆过点A(3,0)，∴02a2＋9b2＝1，∴b＝3，又2a＝3·2b，∴a＝9，∴方程为y281＋x29＝1.综上所述，椭圆方程为x29＋y2＝1或y281＋x29＝1.针对训练：3、过点(5,3)，且与椭圆192522yx有相同焦点的椭圆标准方程为________．解：法一椭圆y225＋x29＝1的焦点为(0，－4)，(0,4)，即c＝4.由椭圆的定义知，2a＝3－02＋－5＋42＋3－02＋－5－42，解得a＝25.由c2＝a2－b2可得b2＝4.所以所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.法二设所求椭圆方程为y225－k＋x29－k＝1(k9)，将点(3，－5)的坐标代入可得－5225－k＋329－k＝1，解得k＝5(k＝21舍去)，所以所求椭圆的标准方程为y220＋x24＝1.IV、方法规律小结：1.椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等．2.椭圆的定义式必须满足2a＞|F1F2|.2、椭圆的标准方程的求法①定义法：根据定义，直接求出a2，b2，写出椭圆方程．②待定系数法．步骤：ⅰ.定型：是指确定类型，确定椭圆的焦点在x轴还是y轴上，从而设出相应的标准方程的形式．ⅱ.计算：根据已知条件，建立关于a、b、c的方程组，求出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程．V、课后作业：A类：1、已知F1(-8，0)，F2(8，0)，动点P满足|PF1|+|PF2|=16，则点P的轨迹为()A圆B椭圆C线段D直线2、椭圆191622yx左右焦点为F1、F2，CD为过F1的弦，则⊿CDF1的周长为______3、已知方程11122kykx表示椭圆，则k的取值范围是()A.-1k1B.k0C.k≥0D.k1或k-14、求满足以下条件的椭圆的标准方程(1)长轴长为10，短轴长为6(2)长轴是短轴的2倍，且过点(2，1)(3)经过点(5，1)，(3，2)B类：1．椭圆1422ymx的焦距为2，m的值等于()A．5B．3C．5或3D．82．“2m6”是“方程16222mymx表示椭圆”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3.已知椭圆06322mymx的一个焦点为(0，2)求m的值．课后复习回顾：1.椭圆的定义及求轨迹方程2.椭圆标准方程及常见问题3.椭圆的几何性质七、板书设计：椭圆的定义及参数方程一．知识梳理问题1问题2问题3三.学生练习针对训练：1、2、3、二．课堂精讲互动例1、例2、四．课堂总结八、教后反思：