影院座位设计my

实用标准文案文档大全数学建模论文班级：实验1201姓名：Schen学号：2012013080日期：2014/6/8实用标准文案文档大全《影院座位设计问题》摘要通过研究电影院的座位设计问题，根据观众对座位的满意程度主要取决于视角与仰角这一前提条件，建立满意程度最大的相关模型，并进行了相关求解。问题一，首先建立在满足仰角条件（β≤30°）情况下的优化模型，运用Matlab软件求解出当地板线的倾角为10°时，最佳位置距离屏幕的水平距离为6.2275米。接着分别对视角α和仰角β赋权重，对座位进行离散分析，并引入满意度函数建立了离散加权模型，最后运用Matlab软件求解出当地板线的倾角为10时，最佳位置距屏幕的水平距离为6.8635米。问题二，根据问题一中的离散加权模型，将座位看作离散的点，建立满意度函数平均值模型，再利用Matlab软件解得，当地板线的倾角为0543.15时，所有观众的平均满意程度最大。问题三，为进一步提高观众的满意程度，将地板线设计成折线形状，即相邻两排座位所在的点构成一条直线，且每排座位所在地板线的倾角以5.2变化，增加到20后保持不变，第一排抬高2.1米。关键词：离散分析加权平均满意度优化模型Matlab一、问题重述下图-1为影院的剖面示意图，座位的满意程度主要取决于视角和仰角。视角是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，如果太大会使人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求不超过30。记影院的屏幕高为h，上边缘距离地面高为H,影院的地板线通常与水平线有一个倾角，第一排和最后一排与屏幕水平距离分别为,dD，观众的平均座高为c（指眼睛到地面的距离），已知参数h=1.8m,H=5m,d=4.5m,D=19m,c=1.1m.(1)地板线倾角＝10，问最佳座位在什么地方。(2)求地板线倾角（一般不超过20），使所有观众的平均满意程度最大。(3)地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度。实用标准文案文档大全图-1影院剖面示意图二、问题的分析电影院座位的设计应满足什么要求？是一个非常现实的问题。根据题意观众对座位的满意程度主要取决于观看时的视角和仰角，越大越好，而越小越好，最佳位置就是要在这两者之间找到一个契合点，使观众对两者的综合满意程度达到最大。本文通过对水平视角和仰角取权重，建立适当的坐标系，从而建立一个线形型满意度函数。针对问题一，已知地板线倾角，求最佳座位所在，即将问题转化求综合满意度函数的最大值，建立离散加权的函数模型并利用Matlab数学软件运算求解；针对问题二，将所有观众视为离散的点，要使所有观众的平均满意程度达到最大，即将问题转化求满意度函数平均值的最大值。对此利用问题一所建立的满意度函数，将自变量转化为地板线倾角；针对问题三，对地板线形状进行优化设计，使观众的平均满意程度可以进一步提高。本文为使模型简化，更好地说明问题，文中将作以下假设。三、模型假设1.观众的平均满意度只取决于视角α和仰角β，其他因素忽略不计；2.最后排座位的最高点不超过屏幕的上边缘；3.相邻两排座位间的间距相等，取为0.8m；4.对于同一排座位，观众的满意程度相同；5.所有观众的座位等高为平均座高；6.影院的的地板成阶梯状。四、符号说明实用标准文案文档大全五、模型的建立与求解5.1问题一每一个到影院看电影的观众都想坐在最佳位置，而对座位的满意程度主要取决于两个因素：水平视角和仰角，且视角是观众眼睛到屏幕上下边缘的视线的夹角，越大越好，仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，太大使人的头部过分上仰，引起不适，要求不超过030。5.1.1模型Ⅰ的建立：仰角在满足条件的范围内,观众满意度只取决于视角以第一排观众的眼睛为原点，建立平面直角坐标系，如图-2所示：其中，AB为屏幕，MS为地板线，OE为所有的观众的眼睛所在的直线。则水平视角视高差，即从眼睛到头顶的竖直距离仰角S观众对水平视角为的满意程度地板线与水平线的倾角S观众对仰角为的满意程度d第一排离屏幕水平距离S平均满意程度D最后一排离屏幕水平距离cc,视角、仰角在综合满意度iS中的权重h屏幕的高度l相邻两排座位间沿地板线方向的间距H屏幕上边缘离地面的高度ctanxhcHhhHddDEStanxBOMNP屏幕地面地板视觉线xc图-2影院剖面坐标分析图xy实用标准文案文档大全由图可设视觉线OE上任意一点P的坐标为)tan,(xx，屏幕上下点的坐标分别为),(cHdA，),(chHdB，AP的斜率记为APk,BP的斜率记为BPk。由斜率公式得：)(tantandxcHxkAP，)(tan)tan(dxchHxkBP(1.1)则直线AP和BP的斜率与夹角满足如下关系：)tan)(tan()()(1tan2chHxcHxdxdxhkkkkAPBPAPBP(1.2)仰角满足条件：]30,0[所以：33)(tan033tan0dxcHxtantan3333cHxdcH(1.3)由公式(1.1)(1.2)得到模型为：)tan)(tan()()(arctanmax2chHxcHxdxdxhtantan33330..cHxdcHdDxts5.1.2模型Ⅰ的求解当10时，用Matlab软件运算求解（程序见附录1），得最大视角为α=13.9172°，仰角为β=30°，x=1.7275米。即P点的坐标为（1.7275,0.3046）为最佳位置。离屏幕的水平距离为4.5+1.7275=6.2275米。5.1.3模型Ⅱ的建立：离散加权模型在地板线上的座位可视为是离散的点，设两排座位在地板线方向上的前后间距为l（查阅相关资料间距一般取0.8米），则在水平方向的间距为cosl，考虑仰角和视角对观众的满意度为主要因素。对模型Ⅰ进行修正，将座位连续情况进行离散化可以得到：)(cos)1(tancos)1()(tantandlkcHlkdxcHx(2.1)实用标准文案文档大全)tancos)1)((tancos)1(()cos)1(()cos)1((tan2chHlkcHlkdlkdlkh(2.2)其中，nk,,3,2,1，n为地板线上的座位的总排数，且191]cos5.14[ln。根据题意，在假设条件下，对于第k排座位，建立观众对视角、仰角的满意度函数]1[如下：minmaxmintantantantankkS(2.3)minmaxmintantantantan1kkS(2.4)式中kk,为第k排座位上观众视角和仰角，maxmax,表示在给定的情况下最优满意度，minmin,表示在给定的情况下最差满意度。视角、仰角在综合满意度kS中的权重分别为cc,，建立第k排座位综合满意度函数如下：ccScScSkkk(2.5)根据地板线倾角10，通过计算可以得出8975.154210.5，9149.400451.4，主观给定权重4.0,6.0CC，根据模型的建立，可以得出：1357.0tan5025.0tan1596.34.06.04.06.0kkkkkkkSSccScScS(2.6)将式(2.1)和式(2.2)带入公式(2.6)得到优化模型为：1357.0)cos)1(tancos)1(*5025.0)tancos)1)((tancos)1(()cos)1(()cos)1((*1596.3max2dclkcHlkchHlkcHlkdlkdlkhSk19,,3,2,1,cos)1(tantan33330..klkxcHxdcHdDxts实用标准文案文档大全5.1.4模型Ⅱ的求解用Matlab软件运算求解（程序见附录2）可得：3635.2x米，4k排，最大满意度为6176.04S,最大视角为α=13.128°，仰角为9084.26,最佳位置离屏幕的水平距离为4.5+2.36235=6.8635米。5.2问题二5.2.1模型Ⅲ的建立要使所有观众的平均满意程度达到最大，即需求S的最大值。由模型Ⅱ可知，第k排观众的满意度为S,则观众平均满意程度函数为：nSSnkk1，平均满意度S的大小由每一排的满意度所决定，而又是由仰角和视角所决定。所以，要使观众的满意程度达到最大，取决于两个方面：(1)仰角不超过条件的座位所占的比例越大，观众的平均满意程度就越大；(2)所有座位的视角的均值越大，观众的平均满意程度就越大。由式(1.1)可知，地板线倾角θ的改变将同时使所有座位的仰角和视角的大小发生改变，且在某一座位(即x取某一定值)，在逐渐增大的过程中仰角逐渐减小，视角逐渐增大，见图2所示。仰角不超过条件的区域扩大，即地板线倾角越大,仰角不超过条件的座位所占的比例越大。024681012141618206.86.856.96.9577.057.17.15θ角变化α角变化α随θ的变化曲线实用标准文案文档大全024681012141618200246810121416θ角变化β角变化β随θ的变化曲线图-3视角α和仰角β随θ变化的变化曲线第一排观众的仰角为9149.40，不满足仰角的条件，由模型Ⅱ可知第k排座位所对应的仰角的正切值：nkdlkcHlkk,,3,2,1,)(cos)1(tancos)1(tan其中n为地板线上的座位的总排数：1]cos5.14[ln，随着地板线倾角的变化，相邻两排座位间的间距l不变，但相邻两排座位间的水平间距会发生改变。由于地板线倾角不超过20，所以2019n，并限制最后一排观众的视高不要超过屏幕的上边缘，即0543.15。由模型Ⅱ知第k排座位所对应的水平视角的正切值为：)tancos)1)((tancos)1(()cos)1(()cos)1((tan2chHlkcHlkdlkdlkh5.2.2模型Ⅲ的求解对一个取定的，判断x所在的位置仰角是否超过30，若超过，则该座位的综合满意度必须同时考虑仰角和视角的取值；否则，只需要考虑视角的取值，把所有座位的综合满意度相加，并求出观众的平均综合满意度，判断此时的平均满意度是否最大，最后一排的高度是否超过屏幕的上边缘，并记下最大值时的取值。当取地板线倾角为变化时，通过计算可以得出8975.151143.5，9149.400。由模型Ⅱ的(2.5)式得实用标准文案文档大全1357.0tan5025.0tan1596.34.06.04.06.0kkkkkkkSSccScScS（3.1）所以，将式(2.1)和式(2.2)带入公式(3.1)得到平均满意度的优化模型为：nSSnkk1max取整数其中nnklkxdDxnts,,2,1,cos)1(00543.1502019.用Matlab软件计算（程序见附录3）可得：最大平均满意度为，4520.0S对应地板线的倾角为0543.15。5.3问题三5.3.1模型的建立与求解由上两问可知,观众的满意程度与仰角,视角和地板线倾角都有关,而每一座位到屏幕的水平距离基本固定不变，考虑观众的满意度，就要考虑仰角，视角随着的变化情况。引理地板线不管设计成什么形状,各排的间距不变，区别在于各排的高度差如何变化，若竖直