数学建模之雨中行走摘要:一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走,以减少雨淋的时间。但如果考虑到降雨方向的变化,在全部距离上尽力地快跑是不是最好的策略?试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。关键词:淋雨量,降雨的大小,降雨的方向(风),路程的远近,行走的速度。问题重述要在雨中从一处沿直线跑到另一处,若雨速为常数且方向不变,试建立数学模型是否跑的越快,淋雨量越少。模型假设及符号说明(一)模型假设:1风速始终保持不变2降雨速度和强度保持不变3跑步的全程速度保持不变(二)符号说明(1)将人体转化成一个长方体,高a=1.5m(颈部以下),宽b=0.5m,厚c=0.2m。(2)跑步距离d=1000m,跑步最大速度Vm=5m/s,雨速u=4m/s,降雨量w=2cm/h(3)雨速为常数且方向不变(4)记跑步速度为v。模型建立与求解(1)不考虑雨的方向,设降雨淋遍全身,以最大速度跑步,估计跑完全程的总淋雨量。解:全身面积s=2ab+2ac+bc=2.2m²,淋雨时间t=d/Vm=200s降雨量w=2cm/n=10-4/18m/s∴总淋雨量Q=stw︽2.44L(2)假设雨从迎面吹来,雨线雨跑步方向在同一平面内,且与人体夹角为θ,如图1.建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,w,a,θ之间的关系,问速度v多大,总淋雨量最少。计算θ=0,θ=30°的总淋雨量。解:顶部淋雨量Q1=bcdwcosθ/v雨速水平分量usinθ。方向与v相反和速度为usinθ+v迎面单位时间、单位面积的淋雨量w(usinθ+v)淋雨量Q2=abdw(usinθ+v)/uv所求总淋雨量Q=Q1+Q2=.)sin(cosvvuaubdwcu当v=vm时Q最小。=0时Q1.15L=30°时Q1.55L(3)雨从背面吹来,雨线方向与跑步方向在同一平面内,期望与人体的夹角为a,如图2.建立总淋雨量与速度v及参数a,b,c,d,u,w,之间的关系,问速度v多大,总淋雨量最少。计算=30°是的总淋雨量。解:(3)与(2)不同的是,和速度为|usin-v|,于是总淋雨量若ccos-asin0,即tanc/a,则v=usin时Q最小,否则v=vm时Q最小当=30。时,tan0.2/1.5v=2m/sQ≈0.24升最小,可与v=vm,Q≈0.93升相比(4)以总淋雨量为纵轴,速度v为横轴,对(3)作图考虑的影响,并解释结果实际意义。解:雨从背面吹来,只要不太小,满足tanc/a(a=1.5m,c=0.2m时,7.6.)即可,v=usin,Q最小此时人体背部不淋雨,只有顶部淋雨。(5)若雨方向与跑步方向不在同一平面内,模型会有什么变化。再用一个角度表示雨的方向,应计算侧面的淋雨量,问题本质没用变化。答:即雨滴不是单从人的前面或后面的,而是从侧面或是其他的方向以一定的角度落下。模型评价通过对以上模型的分析我们可以知道,在雨中行走时并非跑得越快,淋得雨水就越少,要使身上淋的雨水最少,除了要考虑降雨的角度外,还要考虑降雨的速度,既是根据降雨角度和降雨速度来选择自己在雨中的行走速度,具体做法如下:(1)如果雨是迎着前进的方向落下,应该以最大的速度跑完全程。(2)如果雨是从背后落下,这时应该控制在雨中的速度,让它刚好等于落雨速度的水平分量。参考文献书名:数学建模作者:沈继红等编著出版地:哈尔滨出版社:哈尔滨工程大学出版社出版年:1998