matlab(7-4)汉明码和(7-4)循环码的编程设计

二、创新实验设计创新实验一：（7,4）汉明码的编码与译码实现1、实验目的实现（7,4）汉明码的编码与译码，通过这次实验不但加深了对汉明码编码和译码原理了解，而且对线性分组码有所了解。2、实验原理线性分组码的构造方法比较简单、理论较为成熟，应用比较广泛。汉明码是一种能够纠正一个错码的效率比较高的线性分组码，下面以（7,4）码为例就汉明码的编码与译码分别进行介绍：（1）编码原理一般来说，若汉明码长为n，信息位数为k，则监督位数r=n-k。若希望用r个监督位构造出r个监督关系式来指示一位错码的n种可能位置，则要求21rn或211rkr(1)设汉明码（n,k）中k=4，为了纠正一位错码，由式（1）可知，要求监督位数r≥3。若取r=3,则n=k+r=7。这样就构成了（7,4）码。用6543210aaaaaaa来表示这7个码元，用123sss的值表示3个监督关系式中的校正子，则123sss的值与错误码元位置的对应关系可以规定如表1所列。表2.1校正子和错码位置的关系123sss错码位置123sss错码位置0010a1014a0101a1105a1002a1116a0113a000无错码则由表1可得监督关系式：16542saaaa226531saaaa336430saaaa4在发送端编码时，信息位6543aaaa的值决定于输入信号，因此它们是随机的。监督位2a、1a、0a应根据信息位的取值按监督关系来确定，为使所编的码中无错码，则123,,SSS等于0，即65426531643000(5)0aaaaaaaaaaaa方程组（5）可等效成如下矩阵形式6543210111010001101010010110010aaaaaaa（6）式(6)可简化为0TTHA，H为监督矩阵，则由式(6)可得到监督矩阵11101001101010=[PI](7)1011001rH因为生成矩阵'=[IQ]=[I]kkGP，所以由(7)得生成矩阵G如下：k10001110100110[']00101010001011kGIQIP然后利用信息位和生成矩阵G相乘产生整个码组，即有65432106543=(8)AaaaaaaaaaaaG其中A为整个码组矩阵，6543aaaa是信息位。根据上述原理可以得到(7,4)汉明码的整个码组。（2）译码与检错、纠错原理当数字信号编码成汉明码后，由于信道噪声的存在，使得经过信道后的汉明码会发生差错，使得接收端接收到错码，因此需要多错码进行纠正，以提高通信系统的抗干扰能力及可靠性。下面分析纠错译码原理。设B为接收码组，它是一行7列的矩阵，即1234567=[]Bbbbbbbb，B中可能含有错码，错误图样7654321=[]EABeeeeeee，在E的表达式中，有0(0,1,2,7)1iiiiibaeiba当时当时若0ie，表示该码元没错；若1ie，表示该码元为错码。由EAB得(9)ABE(9)表示接收码组和错误图样之和等于正确码组U，通过（9）式就可以实现纠错。可以用标准阵来表示所有可能的2n个n元码组的接收矢量，(n,k)码的标准阵形式如下：123452223242523233343532345234522222nknknknknkjjjjjAAAAAEAEAEAEAEEAEAEAEAEEAEAEAEAEEAEAEAEAE应该注意到，码组1A（全0码字）起两个作用：既是其中一个正确码组，也是错误图样1E,代表1A所在行没有错误。标准阵中的1232,,nkAEEE是陪集首，陪集首的选择是有规定的，第j行的陪集首是在前j-1行中没有出现的最小码组，即错误图样E，如果不选错误图样作为陪集首，译码将会产生错误。对于(7,4)汉明码，其最小码重是3，设码的纠错能力为t，根据公式min12dt得该码的纠错能力为1，即能纠错一位错码。由于根据完备码的定义有02(12)tnkjnj将(7,4)码代入(12)可以得知，(7,4)汉明码为完备码组，只能纠错和检错一位错码。对于正确码组A而言，有0(10)TAH当接收到错码变成码组B时，有()(11)TTTTTSBHAEHAHEHEH其中S为校正子所构成的校正矩阵，由于S和E如（11）所示的一一对应的关系，对于(7,4)码，错误图样与伴随式的对应关系如下表2.2伴随式查询表错误图样伴随式000000000000000001001000001001000001001000001000011001000010101000001101000000111通过伴随式查询表，可以由伴随式得到错误图样，从而实现检错，进而实现纠错。3、实验内容由于编码涉及到矩阵的运算，而matlab在处理矩阵运算方面有独特优势，所以这次选择用matlab工具来实现（7,4）汉明码的编码和译码。(7,4)码的编码比较简单，已知监督矩阵H，可以通过函数求生成矩阵G，然后信息位和生成矩阵G相乘就可得到所有的码组，(7,4)汉明码的编码程序如下：%%%（7,4）汉明码编码——2012.11.10clearall;clc;H=[1110100;1101010;1011001];%(7,4)码的监督矩阵G=gen2par(H)%(7,4)码的生成矩阵m=[0000;0001;0010;0011;0100;0101;0110;0111;1000;1001;1010;1011;1100;1101;1110;1111];%%所有的信息位U=[rem(m*G,2)];disp('(7,4)汉明码的编码结果：');disp(U);由原理分析可知，要实现纠错和检错译码，关键在于伴随式查询表，因此如何实现伴随式查询表是编程的关键，(7,4)汉明码的译码程序如下：%%%下面是(7,4)码译码A=input('请输入接收码组：');[r,l]=size(A);E=[0000000;0000001;0000010;0000100;0001000;0010000;0100000;1000000];%%%%%求校正子，然后将其转化成十进制数fori=1:rSx=S(i,1)*4+S(i,2)*2+S(i,3);end%%%%下面是（7,4）码检错fori=1:rswitch(Sx)case0disp('此接收码字没错')case1disp('注意：此接收码字的第一位有错，请纠正')case2disp('注意：此接收码字的第二位有错，请纠正')case4disp('注意：此接收码字的第三位有错，请纠正')case3disp('注意：此接收码字的第四位有错，请纠正')case5disp('注意：此接收码字的第五位有错，请纠正')case6disp('注意：此接收码字的第六位有错，请纠正')case7disp('注意：此接收码字的第七位有错，请纠正')endend%%%下面为在知道哪位出错的情况下，进行纠正fori=1:rswitch(Sx)case0B(i,:)=A(i,:)+E(1,:);case1B(i,:)=A(i,:)+E(2,:);case2B(i,:)=A(i,:)+E(3,:);case4B(i,:)=A(i,:)+E(4,:);case3B(i,:)=A(i,:)+E(5,:);case5B(i,:)=A(i,:)+E(6,:);case6B(i,:)=A(i,:)+E(7,:);case7B(i,:)=A(i,:)+E(8,:);endendB=rem(B,2);disp('纠错后的码字');disp(B);由于可能在纠错过程中会产生错误，在此，我们设计了检错纠错是否产生错误的程序，程序如下：%%%%下面为检查纠错是否产生错误k=1;fork=1:16if(U(k,:)==B)flag=1;breakendendifflag==1disp('纠错无误');elsedisp('注意：纠错有误，请检查')End由于译码的目的就是找出信息位c，所以，需要从纠错后的码组中提取出信息位，提取信息位的程序如下：%%%下面为提取码的信息位forj=1:4c(:,j)=B(:,j);enddisp('信息位c如下：')disp(c)4、实验结果分析运行编码程序后，得到如下结果通过理论计算，可以得出实验结果和理论编码结果吻合，可以发现，（7,4）码的最小码重是3。当接收码组为[1101100]时，译码结果如下运行程序后，可以看到：当接收码组为[1101100]时，会出现“注意：此接收码字的第六位有错，请纠正”的提示，在程序中，为防止纠错错误，我设置了纠错后的码和编码结果的比较，如果纠错后的码和编码结果当中的某个码组相同，说明纠错无误，否则纠错有误。当接收码组为[1101100]时，经过纠错后出现纠错无误的结果，说明纠错后的码是正确码组。然后提取纠错后的码组的信息位c，从运行结果可以看出，c=1001。当接收码组为[0101101]时，运行结果如下：此接收码组本来就是一个正确码组，所以通过运行程序后，会出现“此接收码字没错”的提示，纠错后的码字和接收的码组是相同的，检查到纠错无误，然后提取信息位c，信息位c=0101，整个译码完成。5、改进建议(7,4)汉明码的编码与译码相对比较简单，可以通过matlab编程实现对信道编码性能的分析，可以编程实现比较编码后的误码率和没编码的误码率，也可以编程实现在有噪声的情况下来进行译码。创新实验二：（7,4）循环码的编码与译码1．实验编码原理：根据循环码的代数性质建立系统编码的过程，可以把消息矢量用如下多项式表示：012211...)(mxmxmxmxmkkkk要编码成系统循环码形式，把消息比特移入码字寄存器的最右边k位，而把监督比特加在最左边的n-k个中，则要用knx乘以m(x)得到knxm(x)=knxm(x)=q(x)g(x)+p(x)，其中p(x)可以表示为p(x)=，则p(x)+knxm(x)=+另U(x)=p(x)+knxm(x)，则U=（0p，1p，2p，···，1knp，0m，1m，···，1km）。本实验根据以上原理，用matlab实现书上例6.8系统形式的循环码，生成多项式为g(x)=2．实验译码原理：译码的实验原理g(x)=，在（n，k）循环码中，由于g(x)能除尽,因此1nx可分解成g(x)和其他因式的乘积，记为)()(1xhxgxn即可写成)(1)(xgxxhn即h(x)=则)(*xh=，其中)(*xh式h(x)的逆多项式。监督矩阵多项式可表示为)()()()(***2xhxxhxhxxH，3．（7,4）循环码的编码（4位）的程序：clear;clc;a=input('请输入消息矢量：');%高次项系数在前的生成多项式Gx=[1011];%将数组a的高位依次放在数组Data的低位Data=zeros(1,7);Data(1)=a(4);knknnknkxmxmxmxm0112211...0111...pxpxpknkn0111...pxpxpknknknknnknkxmxmxmxm0112211...31xx31xx124xxx134xxxData(2)=a(3);Data(3)=a(2);Data(4)=a(1);%Data除以Gx得到余数Rx[Qx,Rx]=deconv(Data,Gx);b=Rx+Data;%将数组b的高位放在后面c=b(1);b(1)=b(7);b(7)=c;c=b(2);b(2)=b(6);b(6)=c;c=b(3);b(3)=b(5);b(5)=c;%将数组b校正fori