第二章-光的衍射--习题及答案

第二章光的衍射1.单色平面光照射到一小圆孔上，将其波面分成半波带。求第к个带的半径。若极点到观察点的距离r0为1m，单色光波长为450nm，求此时第一半波带的半径。解：2022rrkk而20krrk20krrk20202krrk将上式两边平方，得422020202kkrrrk略去22k项，则0krk将cm104500cm,100,1-80rk带入上式，得cm067.02.平行单色光从左向右垂直射到一个有圆形小孔的屏上，设此孔可以像照相机光圈那样改变大小。问：（1）小孔半径满足什么条件时，才能使得此小孔右侧轴线上距小空孔中心4m的P点的光强分别得到极大值和极小值；（2）P点最亮时，小孔直径应为多大？设此时的波长为500nm。解：（1）根据上题结论0krk将cm105cm,400-50r代入，得cm1414.01054005kkk当k为奇数时，P点为极大值；k为偶数时，P点为极小值。（2）P点最亮时，小孔的直径为cm2828.02201r3．波长为500nm的单色点光源离光阑1m，光阑上有一个内外半径分别为0.5mm和1mm的透光圆环，接收点P离光阑1m，求P点的光强I与没有光阑时的光强度I0之比。解：根据题意m1R500nmmm1Rmm5.0Rm121hkhk0r有光阑时，由公式RrRRrrRRkhh11)(02002得11000110001105005.011620211RrRkhk4100011000110500111620222RrRkhk按圆孔里面套一个小圆屏幕13221312121212121aaaaaaaap没有光阑时210aa所以4．波长为632.8nm的平行光射向直径为2.76mm的圆孔，与孔相距1m处放一屏。试问：（1）屏上正对圆孔中心的P点是亮点还是暗点？（2）要使P点变成与（1）相反的情况，至少要把屏幕分别向前或向后移动多少？解：（1）P点的亮暗取决于圆孔中包含的波代数是奇数还是偶数.当平行光如射时,波带数为310108.63238.123620202rdrk故P点为亮点.(2)当P点向前移向圆孔时,相应的波带数增加;波带数增大到4时,P点变成暗点,此时,P点至圆孔的距离为750mmmm108.632438.16220kr则P点移动的距离为25cm75cm-100cm0rrr当P点向后移离圆孔时,波带数减少,减少为2时,P点也变成暗点。与此对应的P到圆孔的距离为1500mmmm108.632238.16220kr则P点移动的距离为50cm100cm-cm15000rrr５.一波带片由五个半波带组成.第一波带片为半径r1的不透明圆盘,第二半波带是半径r1至r2的透明圆环,第三半波带是r2至r3的不透明圆环,第四半波带是r3至r4的透明圆环,第五半波带是r4至无穷大的不透明区域,已知r1:r2：r3:r4=1:2:3:4,用波长500nm的平行单色光照明,最亮的像点在距波带片1m的轴上.试求:(1)r1;(2)像点的光强;(3)光强极大值出现在轴上哪些位置上.解：因为5个半波带组成的半波带片上,,11K1r不透光;212,2rrK至透光;23,3rK至3r不透光;34,4rK至4r透光;45,5rK至无穷大不透光.4:3:2:1:::321rrrrr单色平行光nm5000R第一条最亮的像点在1000mmm10r的轴上,即mm10301rf(1)12120rkRrfh707.05.0105001106301krr(2)像点的光强:224224)(aaaAIPP所以02164IaIp(3)光强极大值出现在轴的位置是(即7,5,3fff)mm10m131rfm717m515m313151312ffffff6.波长为λ的点光源经波带片成一个像点,该波带片有100个透明奇数半波带(1,3,5,……)。另外100个不透明偶数半波带.比较用波带片和换上同样焦距和口径的透镜时该像点的强度比I:I0.解:100个奇数半波带通光总振幅aaA10010011002)100(aI同样焦距和口径的透镜可划分为200个半波带通光总振幅为aaaA2001200219911200220)100(4200aaI41)100(4)100(220aaII7.平面光的波长为480nm,垂直照射到宽度为0.4mm的狭缝上,会聚透镜的焦距为60cm.分别计算当缝的两边到P点的相位为π/2和π/6时,P点离焦点的距离.解：设P点离焦点的距离为y，透镜的焦距为f。缝宽为b，则位相差和光程差的关系式为fybbb2tan2sin22故bfy2当缝的两边到P点的位相差为2时，P点离焦点的距离为mm18.024.02600108.424bfy当缝的两边到P点的位相差为6时，P点离焦点的距离为mm06.064.02600108.424bfy8.白光形成的单缝衍射图样中,其中某一波长的第三个次最大值与波长为600nm的光波的第二个次最大值重合.求该光波的波长.解：由单缝衍射次最大值的位置公式可知21sin0kb得212213sinb所以6.42875nm所以该光为紫色光.9.波长为546.1nm的平行光垂直地射在1mm宽的缝上,若将焦距为100cm的透镜紧贴于缝的后面,并使光焦距到屏上,问衍射图样的中央到(1)第一最小值;(2)第一最大值;(3)第三最小值的距离分别为多少?解:根据单缝衍射图样的最小值位置的公式可知:kfybbbtansin得第一、第三最小值的位置分别为mm5461.010461.51100041bfymm638.133bfy由单缝衍射的其它最大值（即次最大）位置的近似式21sin00kfybbk得mm819.010461.5110002323410bfy10.钠光通过宽0.2mm的狭缝后,投射到与缝相距300cm的照相底片上.所得的第一最小值与第二最小值间的距离为0.885cm,问钠光的波长为多少?若改用X射线(λ=0.1nm)做此实验,问底片上这两个最小值之间的距离是多少?解：如果近似按夫琅和费单缝衍射处理，则根据公式bkk212sin0得第二最小值与第一最小值之间的距离近似地为bfbfbfyyy212那么nm590300885.002.0fby如果改用cm10408时cm10602.0104030038bfy12.一束平行白光垂直入射在每毫米50条刻痕的光栅上，问第一级光谱的末端和第二光谱的始端的衍射角θ之差为多少？(设可见光中最短的紫光波长为400nm，最长的红光波长为760nm)解：由光栅方程jdsin得241108.302.0106.7sind红所以18.21242100.402.0100.422sind紫所以29.22式中mm02.0501d所以rad10263618.229.231213.用可见光(760～400nm)照射光栅是，一级光谱和二级光谱是否重叠？二级和三级怎样？若重叠，则重叠范围是多少？解：根据光栅方程jdsin得,1jddnm760sin1红2j，ddnm8002sin2紫因为21所以一级和二级不重叠.而,2j2sin2ddnm1520红,3jddnm12003sin3紫因为32所以二级和三级光谱部分交迭.设第3级紫光和第2级波长的光重合则dd紫321所以nm60040023231紫设第2级红光和第3级波长为2的光重合则dd红232所以nm7.50676032322红综上,一级光谱与二级光谱不重叠;二级光谱的nm700~600与三级光谱的nm7.506~400重叠.14.用波长为589nm的单色光照射一衍射光栅，其光谱的中央最大值和第二十级主最大值之间的衍射角为15°10'，求该光栅1cm内的缝数是多少？解:）12,2,1,0(sinjjd）条/cm(22210589211800115sin17jjd15.用每毫米内有400条刻痕的平面透射光栅观察波长为589nm的钠光谱。试问：(1)光垂直入射时，最多能观察到几级光谱？(2)光以30角入射时,最多能观察到几级光谱?解:)1(根据光栅方程jdsin得sindj可见j的最大值与1sin的情况相对应(sin真正等于1时,光就不能到达屏上).根据已知条件cm40001mm4001d,并取,1sin则得2.4105890400018j(此处j只能取整数,分数无实际意义)即能得到最大为第四级的光谱线.(2)根据平行光倾斜入射时的光栅方程),2,1,0()sin(sin0jjd,可得)sin(sin0dj同样,取,1sin得4.6105890)130(sin400018j即能得到最大为第六级的光谱线.16.白光垂直照射到一个每毫米250条刻痕的透射光栅上，试问在衍射角为30°处会出现哪些波长的光？其颜色如何？解:由题意可知毫米条2501d30760nmnm390当nm760时,由公式jdsin得6.2210760250130sin6dj当nm390时,30sindj1.521039025016所以1.56.2j这里j可取3,4,5当3j时nm66721025031sin6jd(为红色)当4j时jdsinnm500210250416(为绿色)当5j时jdsinnm400210250516(为紫色)17.用波长为624nm的单色光照射一光栅，已知该光栅的缝宽b为0.012mm，不透明部分的宽度a为0.029mm，缝数N为103条。求：(1)单缝衍射图样的中央角宽度；(2)单缝衍射图样中央宽度内能看到多少级光谱？(3)谱线的半宽度为多少？解：（1）单缝衍射图样的中央角宽度rad104.10102.110240.62222351b(2)单缝衍射图样包络下的范围内共有光谱级数由下列式子确定42.3012.0041.0bd式中d为光栅的光栅常数.所以看到的级数为3.(3)谱线的半角宽度的公式为:cosNd令）即0(1cosrad1052.10041.0101024.6535Nd＝18.NaCl的晶体结构是简单的立方点阵，其分子量M=58.5，密度ρ=2.17g/cm3，(1)试证明相邻两离子间的平均距离为2819.023ANMnm式中NA=6.02×1023/mol为阿伏加德罗常数；（2）用X射线照射晶面时，第二级光谱的最大值在掠射角为1°的方向上出现.试计算该X射线的波长.解:(1)晶胞的棱边为。现先计算晶胞的为离那么亮离子间的平均距2,0ddd棱边长d,由于每个晶胞包含四个NaCl分子,那么密度ρ为34dmVmNaCl这里,NaCl分