空间向量与空间角

课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练【课标要求】第3课时空间向量与空间角【核心扫描】理解直线与平面所成角的概念．能够利用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题．体会用空间向量解决立体几何问题的三步曲．向量法求解线线、线面、面面的夹角．(重点)线线、线面、面面的夹角与向量的应用．(难点)1．2．3．1．2．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练想一想：当一条直线l与一个平面α的夹角为0时，这条直线一定在平面内吗？提示不一定，这条直线还可能与平面平行．自学导引1．直线与平面的夹角定义：平面外一条直线与它在该平面内的_____的_____，特别当直线与平面平行或在平面内时，直线与平面的夹角为__，当直线与平面垂直时，直线与平面的夹角为___．投影夹角0π2课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练空间中的角角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则cosθ＝_____________＝______直线与平面所成的角设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝_____________＝_____二面角设二面角αlβ的平面角为θ，平面α、β的法向量为n1，n2，则|cosθ|＝_______________＝_______[0，π]|cos〈a，b〉|2．|cos〈a，n〉||cos〈n1，n2〉||a·b||a|·|b|(0，π2]|a·n||a|·|n|(0，π2]|n1·n2||n1||n2|课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练试一试：若二面角αlβ的两个半平面的法向量分别为n1，n2，试判断二面角的平面角与两法向量夹角〈n1，n2〉的关系．提示相等或互补课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练两异面直线所成角的求法(1)平移法：即通过平移其中一条(也可两条同时平移)，使它们转化为两条相交直线，然后通过解三角形获解．名师点睛(2)向量法：设直线l1，l2的方向向量分别为a，b，a与b的夹角为φ，则l1与l2所成角θ满足cosθ＝|cosφ|＝|a·b||a||b|.1．直线与平面所成角的求法(1)几何法：找出斜线在平面上的射影，则斜线与射影所成角就是线面角，可通过解由斜线段、垂线段和射影线段构成的直角三角形获解．2．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练二面角的求法(1)几何法：作出二面角的平面角，然后通过解三角形获解．(2)向量法：设二面角αlβ的两个半平面的法向量分别为n1，n2.①当平面α、β的法向量与α、β的关系如图所示时，二面角αlβ的平面角即为两法向量n1，n2的夹角〈n1，n2〉．(2)向量法：设直线l的方向向量为a，平面α的一个法向量为n，直线l与平面α所成角为θ，a与n的夹角为φ，则有cosθ＝sinφ，或sinθ＝|cosφ|＝_______.3．|a·n||a||n|课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练②当平面α、β的法向量与α、β的关系如图所示时，二面角αlβ的平面角与两法向量n1，n2的夹角〈n1，n2〉互补．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练题型一求异面直线的夹角正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1、A1C1的中点，求异面直线AE与CF所成角的余弦值．【例1】[思路探索]可考虑建立空间直角坐标系，求出AE→，CF→的坐标，利用坐标运算求所求角的余弦值．解不妨设正方体棱长为2，分别取DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练A(2，0，0)、C(0，2，0)、E(1，0，2)、F(1，1，2)，则AE→＝(－1，0，2)，CF→＝(1，－1，2)∴|AE→|＝5，|CF→|＝6.AE→·CF→＝－1＋0＋4＝3.又AE→·CF→＝|AE→||CF→|cos〈AE→，CF→〉＝30cos〈AE→，CF→〉∴cos〈AE→，CF→〉＝3010，∴所求值为3010.规律方法在解决立体几何中两异面直线所成角问题时，若能构建空间直角坐标系，则建立空间直角坐标系，利用向量法求解．但应用向量法时一定要注意向量所成的角与异面直线所成角的区别．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA与平面ABCD所成的角为60°，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.(1)建立适当的坐标系，并写出点B、P的坐标；(2)求异面直线PA与BC所成的角的余弦值．【变式1】解(1)如图，建立空间直角坐标系．∵∠ADC＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.∴A(2，0，0)，C(0，1，0)，B(2，4，0)．由PD⊥平面ABCD，得课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练∠PAD为PA与平面ABCD所成的角，∴∠PAD＝60°.在Rt△PAD中，由AD＝2，得PD＝23.∴P(0，0，23)．(2)由(1)得，PA→＝(2，0，－23)，BC→＝(－2，－3，0)，∴cos〈PA→，BC→〉＝2×（－2）＋0×（－3）＋（－23）×04×13＝－1313，即PA与BC所成角的余弦值为1313.课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练[思路探索]利用正三棱柱的性质，建立适当的空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，取A1B1的中点M，连结C1M，证明∠C1AM是AC1与平面A1ABB1所成的角；另一种是利用平面A1ABB1的法向量n＝(λ，x，y)求解．题型二求线面角【例2】正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，求AC1与侧面ABB1A1所成的角．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练解建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(0，a，0)，A1(0，0，2a)，C1(－32a，a2，2a)，法一取A1B1的中点M，则M(0，a2，2a)，连结AM、MC1，有MC1→＝(－32a，0，0)，AB→＝(0，a，0)，AA1→＝(0，0，2a)．∴MC1→·AB→＝0，MC1→·AA1→＝0，∴MC1→⊥AB→，MC1→⊥AA1→，课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练则MC1⊥AB，MC1⊥AA1，又AB∩AA1＝A，∴MC1⊥平面ABB1A1.∴∠C1AM是AC1与侧面A1ABB1所成的角．由于AC1→＝(－32a，a2，2a)，AM→＝(0，a2，2a)，∴AC1→·AM→＝0＋a24＋2a2＝9a24，|AC1→|＝3a24＋a24＋2a2＝3a，|AM→|＝a24＋2a2＝32a，课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练∴cos〈AC1→，AM→〉＝9a243a×3a2＝32.∴〈AC1→，AM→〉＝30°，即AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.法二AB→＝(0，a，0)，AA1→＝(0，0，2a)，AC1→＝(－32a，a2，2a)．设侧面ABB1A1的法向量n＝(λ，x，y)，∴n·AB→＝0且n·AA1→＝0.∴ax＝0且2ay＝0.课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练规律方法用向量法求线面角的一般步骤是：先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量有关知识求解线面角．法二给出了用向量法求线面角的常用方法，即先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算．∴x＝y＝0.故n＝(λ，0，0)．∵AC1→＝(－32a，a2，2a)，∴cos〈AC1→，n〉＝n·AC1→|n||AC1→|＝－λ2|λ|.∴|cos〈AC1→，n〉|＝12.∴AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°.课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练【变式2】已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为2a，M为A1B1的中点，求BC1与平面AMC1所成角的正弦值．解建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，M(0，a2，2a)，C1(－32a，a2，2a)，B(0，a，0)，故AC1→＝(－32a，a2，2a)，AM→＝(0，a2，2a)，BC1→＝(－32a，－a2，2a)．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练设平面AMC1的法向量为n＝(x，y，z)．则AC1→·n＝0，AM→·n＝0.∴－32ax＋a2y＋2az＝0，a2y＋2az＝0，令y＝2，则z＝－22，x＝0.∴n＝(0，2，－22)．又BC1→＝(－32a，－a2，2a)，课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练∴cos〈BC1→，n〉＝BC1→·n|BC1→||n|＝－a－a3a×92＝－269.设BC1与平面AMC1所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈BC1→，n〉|＝269.课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练(12分)如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点，求二面角AA1DB的余弦值．题型三二面角的求法【例3】课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练[规范解答]如图所示，取BC中点O，连结AO.因为△ABC是正三角形，所以AO⊥BC，因为在正三棱柱ABC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，所以AO⊥平面BCC1B1.取B1C1中点为O1，以O为原点，OB→，OO1→，OA→为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则B(1，0，0)，D(－1，1，0)，A1(0，2，3)，A(0，0，3)，B1(1，2，0).2分设平面A1AD的法向量为n＝(x，y，z)，AD→＝(－1，1，－3)，AA1→＝(0，2，0)．课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练因为n⊥AD→，n⊥AA1→，得n·AD→＝0，n·AA1→＝0，得－x＋y－3z＝0，2y＝0，所以y＝0，x＝－3z.令z＝1，得n＝(－3，0，1)为平面A1AD的一个法向量．5分又因为AB1→＝(1，2，－3)，BD→＝(－2，1，0)，BA1→＝(－1，2，3)，所以AB1→·BD→＝－2＋2＋0＝0，AB1→·BA1→＝－1＋4－3＝0，课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练【题后反思】几何法求二面角，往往需要作出其平面角，这是该方法的一大难点．而用向量法求解二面角，无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，转化为两直线(或两向量)所成的角，通过向量的数量积运算即可获解，体现了空间向量的巨大优越性．所以AB1→⊥BD→，AB1→⊥BA1→，所以AB1⊥平面A1BD，所以AB1→是平面A1BD的一个法向量，8分所以cos〈n，AB1→〉＝n·AB1→|n||AB1→|＝－3－32·22＝－64，10分所以二面角A­A1D­B的余弦值为64.12分课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练【变式3】若PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AC＝1，BC＝2，求二面角A­PB­C的余弦值．解如图所示建立空间直角坐标系，则A(0，0，0)，B(2，1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，故AP→＝(0，0，1)，AB→＝(2，1，0)，CB→＝(2，0，0)，CP→＝(0，－1，1)，设平面PAB的法向量为m＝(x，y，z)，则m·AP→＝0，m·AB→＝0⇒（x，y，z）·（0，0，1）＝0，（x，y，z）·（2，1，0）＝0⇒课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练⇒z＝0，2x＋y＝0，令x＝1，则y＝－2，故m＝(1，－2，0)．设平面PBC的法向量为n＝(x′，y′，z′)，则n·CB→＝0，n·CP→＝0⇒（x′，y′，z′）·（2，0，0）＝0，（x′，y′，z′）·（0，－1，1）＝0⇒2x′＝0，－y′＋z′＝0.令y′＝－1，则z′＝－1，故n＝(0，－1，－1)，∴cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝33.∴二面角A­PB­C的余弦值为33.课前探究学习课堂讲练互动活页规范训练空间向量的具体应用主要体现为两种方法——向量法和坐标法．这两种方法的思想都是利用空间向量表示立体图形中的点、线、面等元素，建立立体图形和空间向量之间的联系，然后进行空间