二次根式复习课

二次根式复习课理网络·明结构类型之一确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围二次根式的定义已明确其被开方数为非负数，根据要求列出不等式(组)即可求出字母的取值范围，常见的字母取值范围限制条件为：分式的分母不为零，二次根式的被开方数大于或等于零，零指数幂和负整数幂的底数不为零．探要点·究所然例1求下列式子有意义的x的取值范围．(1)14－3x；(2)3－xx－2；(3)－x2；(4)2x2＋1；(5)2x－3＋3－2x.解：(1)由4－3x＞0，得x＜43，∴x的取值范围是x＜43；(2)由3－x≥0且x－2≠0，得x≤3且x≠－2，∴x的取值范围是x≤3且x≠－2；(3)根据题意，得－x2≥0.又∵x2≥0，∴x2＝0，解得x＝0.∴x的取值范围是x＝0；(4)∵x2≥0，∴2x2＋1＞0，∴x的取值范围是任意实数；(5)由2x－3≥0且3－2x≥0，得x＝32，∴x的取值范围是x＝32.A．x≥3B．x≥3且x≠4C．x≤3D．x＜3变式跟进1(2015·重庆校级期中)使x－3x－4有意义的x的取值范围是()B变式跟进2化简1＋x－－1－x结果是()A．21＋xB．－2－1－xC．0D．无法化简C【解析】由1＋x≥0且－1－x≥0，得x＝－1，则1＋x－－1－x＝0.类型之二二次根式性质的应用正确运用二次根式的性质(a)2＝a(a≥0)，a2＝|a|进行化简．要明确式子(a)2中隐含了a≥0这一条件，a2中若a为负数，要先把a2转化为(－a)2再进行化简，即当a＜0时，a2＝（－a）2＝－a.【解析】根据二次根式的性质去掉根号，再结合数轴去掉绝对值符号，合并同类项．解：原式＝|a|＋|b－2|－|a－b|＝－a＋(b－2)－(b－a)＝－a＋b－2－b＋a＝－2.例2已知实数a，b在数轴上的对应点如图1－1所示．化简：a2＋（b－2）2－（a－b）2.图1－1A．1B．b＋1C．2aD．1－2a【解析】由数轴可得：a－1＜0，a－b＜0，则原式＝1－a＋a－b＋b＝1.变式跟进(2015·滨州月考)实数a，b在数轴上的位置如图1－2所示，则化简（a－1）2－（a－b）2＋b的结果是()图1－2A类型之三二次根式的非负性的应用最小的非负数是零；若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，像|a|，a2，a(a≥0)形式的数都表示非负数，灵活运用非负数的性质解题更简便．例3若a，b，c满足b－2a＋3＋|a＋b|＝c－4＋4－c，求2a－3b＋c2的值．解：∵c－4≥0且4－c≥0，∴c＝4，∴b－2a＋3＋|a＋b|＝0，∴b－2a＋3＝0，a＋b＝0，解得a＝1，b＝－1，∴原式＝2×1－3×(－1)＋42＝2＋3＋16＝21.【点悟】运用二次根式的定义得出x≥a且x≤a，故有x＝a，这是由不等关系推出相等关系的一种十分有效的方法．由a≥0，b≥0且a＋b＝0，得到a＝b＝0，这是求一个方程中含有多个未知数的有效方法之一．这类题型的一般形式有如下几种：x＋y＋z＝0；x＋|y|＋z2＝0等．A．4B．±4C．16D．±16变式跟进1已知x，y为实数，且x2－4－x＋2＝4－x2＋x＋y－2，则xy等于()A【解析】由题意，得x2－4≥0，4－x2≥0，x＋2≥0，x2－4－x＋2≥0，解得x＝－2.由x2－4－x＋2＝4－x2＋x＋y－2，得y＝4，∴xy＝（－2）4＝4.变式跟进2已知实数a满足|2015－a|＋a－2016＝a，则a－20152的值为__________．2016【解析】由题意，得a－2016≥0，∴a≥2016，∴去掉绝对值，得a－2015＋a－2016＝a，∴a－2016＝2015，∴a－2016＝20152，∴a－20152＝2016.类型之四二次根式的运算二次根式加减运算的重点是将二次根式化成最简二次根式，再进行合并．进行乘、除运算时要学会运用乘法公式和运算律，同时注意字母的取值．总之，掌握二次根式的加、减、乘、除运算法则及运算顺序是关键．例4计算下列各式：(1)18＋227－8；(2)(3－1)(3＋1)＋(33－1)2；(3)22－1.解：(1)原式＝32＋63－22＝2＋63；(2)原式＝3－1＋27－63＋1＝30－63；(3)原式＝2(2＋1)＝2＋2.变式跟进计算：(1)14÷6×221；(2)12－613＋48；(3)(3－1)2－(5－2)(5＋2)；(4)(5＋2)(2－5)＋13－7－37＋2.解：(1)原式＝14×16×221＝29＝23；(2)原式＝23－23＋43＝43；(3)原式＝3－23＋1－(5－2)＝1－23；(4)原式＝4－5＋3＋72－3（7－2）3＝－1＋32＋72－7＋2＝52－72.类型之五二次根式的化简求值二次根式是代数式的组成部分，根据给出的字母的值，求代数式的值，可以把要求的式子先化简，再代入求值，也可以把已知式子适当变形，整体代入求解．例5(2015·北流期中)已知：x＝3＋2，y＝3－2，求代数式x2－y2＋5xy的值．【解析】首先把代数式利用平方差公式因式分解，再代入求值．解：∵x＝3＋2，y＝3－2，∴x＋y＝23，x－y＝22，xy＝1，∴x2－y2＋5xy＝(x＋y)(x－y)＋5xy＝23×22＋5×1＝46＋5.变式跟进1(2015·启东校极月考)已知x＝12－3，y＝12＋3，求x2＋xy＋y2的值．解：∵x＝12－3＝2＋3，y＝12＋3＝2－3，∴原式＝(x＋y)2－xy＝(2＋3＋2－3)2－(2＋3)(2－3)＝16－1＝15.变式跟进2先化简，再求值：2xx2－x－2÷(1－xx＋1)－x2＋2xx2－4，其中x＝3＋2.解：原式＝2x（x－2）（x＋1）÷x＋1－xx＋1－x（x＋2）（x＋2）（x－2）＝2x（x－2）（x＋1）·x＋11－xx－2＝2xx－2－xx－2＝xx－2.当x＝3＋2时，原式＝3＋233.类型之六实数的大小比较比较两个二次根式的大小的方法较多，常用作差法：a－b＞0，则a＞b；平方法：若a2＞b2，则a＞b(a，b为正数)；倒数法：若1a＞1b，则a＜b(a，b为正数)；计算器求值法等．在比较大小的过程中，要根据数的特点，灵活选择方法．例6比较12－13与14－15的大小．解：∵(14＋13)2＝27＋214×13，(12＋15)2＝27＋212×15，又∵214×13＞212×15，∴14＋13＞12＋15，∴12－13＜14－15.变式跟进比较大小：5＋15与7＋13.解：∵(5＋15)2＝20＋275，(7＋13)2＝20＋291.又∵75＜91，∴5＋15＜7＋13.类型之七二次根式的应用二次根式与几何的综合运用，主要是根据几何图形特征结合勾股定理求线段的长、图形的周长和面积．在计算时，要灵活运用二次根式的性质和计算技巧．例7已知在Rt△OAB中，∠B＝90°，AO＝12，BA＝2.把△OAB按如图1－3方式放置在直角坐标系中，使点O与原点重合，点A落在x轴正半轴上．求点B的坐标．图1－3解：如答图，过点B作BC⊥x轴，交x轴于点C.∵∠OBA＝90°，OA＝12，AB＝2，∴OB＝OA2－AB2＝12－4＝22.∵12BC·OA＝12OB·AB，∴BC＝2×2212＝263.在Rt△OBC中，OC＝OB2－BC2＝433，∴B点坐标为(433，263)．例7答图变式跟进如图1－4，在四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，∠B＝45°，AB＝26，CD＝3.求四边形ABCD的面积．图1－4解：如答图，延长AD和BC相交于E点．∵∠A＝∠BCD＝90°，∠B＝45°，∴△ABE和△CDE都为等腰直角三角形，∴S△ABE＝12AB2＝12×(26)2＝12，S△CDE＝12CD2＝12×(3)2＝32，∴四边形ABCD的面积＝12－32＝212.变式跟进答图类型之八二次根式的规律探究型问题探究一类式子的规律是培养思维能力的有效方法，解答此类题要用到类比思想．例8(2015·山西)阅读与计算：阅读以下材料，并完成相应的任务．斐波那契(约1170－1250)是意大利数学家，他研究了一列数，这列数非常奇妙，被称为斐波那契数列(按照一定顺序排列着的一列数称为数列)．后来人们在研究它的过程中，发现了许多意想不到的结果，在实际生活中，很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列还有很多有趣的性质，在实际生活中也有广泛的应用．斐波那契数列中的第n个数列可以用151＋52n－1－52n表示(其中n≥1)．这是用无理数表示有理数的一个范例．任务：请根据以上材料，通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数．解：第1个数：当n＝1时，151＋52n－1－52n＝151＋52－1－52＝15×5＝1；第2个数：当n＝2时，151＋52n－1－52n＝151＋522－1－522＝151＋52－1－521＋52＋1－52＝15×5×1＝1.变式跟进已知12－3的整数部分为a，小数部分为b，求a2＋b2的值．解：∵12－3＝2＋3，1＜3＜2，∴a＝3，b＝3－1，∴a2＋b2＝9＋(3－1)2＝9＋4－23＝13－23.