第四章-偏微分方程的有限差分法

计算物理学[e-mail]1/75第四章偏微分方程的有限差分法4.1有限差分法原理4.2热传导方程的差分解法4.3波动方程的差分解法计算物理学[e-mail]2/754.1有限差分法原理抛物线形双曲型椭圆形不可逆过程可逆过程平衡过程热传导方程波动方程位势方程物理学中许多物理规律都用偏微分方程描述，偏微分方程主要分为以下三类：fauuctudfauuctud22fauuc上式中a,c,f以及未知函数u为定义在求解区域上的实（复）函数计算物理学[e-mail]3/754.1有限差分法原理2222fdfxdxfdfxdx有限差分解法差分近似代替微分，差商近似代替微商这样就把求解区域内连续分布函数离散化成求网络节点上的分立函数值，从而把所需求解的微分方程变为一组相应的差分方程，进一步可以求解离散节点上的函数值。数学基础泰勒（Taylor）展开计算物理学[e-mail]4/754.1有限差分法原理差商公式的构造223323223323232323232323()()2!3!()()2!3!22(2)()22!3!22(2)()22!3!dfhdfhdffxhfxhdxdxdxdfhdfhdffxhfxhdxdxdxhhdfdfdffxhfxhdxdxdxhhdfdfdffxhfxhdxdxdx利用泰勒级数展开定义差商计算物理学[e-mail]5/754.1有限差分法原理()()ffxhfxxh误差为O(h)差商公式：一阶向前差商：()()ffxfxhxh一阶向后差商：223323223323()()2!3!()()2!3!dfhdfhdffxhfxhdxdxdxdfhdfhdffxhfxhdxdxdx计算物理学[e-mail]6/754.1有限差分法原理二阶向前差商：式(2)-式(1)X2222(2)2()()ffxhfxhfxxh223323232323()()(1)2!3!22(2)()2(2)2!3!dfhdfhdffxhfxhdxdxdxhhdfdfdffxhfxhdxdxdx误差为O(h2)差商公式：计算物理学[e-mail]7/754.1有限差分法原理二阶向后差商:式(2)-式(1)X2222()2()(2)ffxfxhfxhxh223323232323()()(1)2!3!22(2)()2(2)2!3!dfhdfhdffxhfxhdxdxdxhhdfdfdffxhfxhdxdxdx计算物理学[e-mail]8/754.1有限差分法原理(2)4()3()2ffxhfxhfxxh一阶向前差商：222223323(2)2()()()()2!3!ffxhfxhfxxhdfhdfhdffxhfxhdxdxdx2222fdfxdx计算物理学[e-mail]9/754.1有限差分法原理(2)4()3()2ffxhfxhfxxh一阶向后差商：222223323()2()(2)()()2!3!ffxfxhfxhxhdfhdfhdffxhfxhdxdxdx2222fdfxdx计算物理学[e-mail]10/754.1有限差分法原理()()2offxhfxhxh一阶中心差商：223323223323()()2!3!()()2!3!dfhdfhdffxhfxhdxdxdxdfhdfhdffxhfxhdxdxdx计算物理学[e-mail]11/754.1有限差分法原理222()2()()offxhfxfxhxh二阶中心差商：223323223323()()2!3!()()2!3!dfhdfhdffxhfxhdxdxdxdfhdfhdffxhfxhdxdxdx计算物理学[e-mail]12/754.1有限差分法原理差分格式的收敛性和稳定性收敛性：稳定性：当步长h−→0时，差分方程的解趋向于微分方程的解。误差在运算过程中不会失控，即累计误差不会无限增加。计算物理学[e-mail]13/754.1有限差分法原理从数学上讲，没有限制的微分方程会有无穷多个解，不能构成一个定解问题。从物理上讲，描述物理问题的微分方程仅适用于描述在一个连续体或物理场的内部发生的物理过程，仅靠这些微分方程不足以确定物理过程的具体特征。因此，要想解决实际的物理问题，必须知道一个连续体或物理场的初始状态和边界受到的外界影响。计算物理学[e-mail]14/754.1有限差分法原理初始条件：与时间相联系边界条件：边界受到外界的影响偏微分方程的定解条件常见的物理问题可以归结为三大类边界条件),,(),,(2010zyxftuzyxfutt计算物理学[e-mail]15/754.1有限差分法原理2第二类边界条件（诺依曼Neumann）1第一类边界条件（狄利克雷Dirichlet）),(0truu热传导问题：边界Г上温度分布已知热传导问题：通过边界Г单位面积上的热流量已知),(0trqnun表示Γ的外法线q0定义在Γ上的已知函数uuuuninjnnxy计算物理学[e-mail]16/754.1有限差分法原理由热力学傅立叶定律得：QukStn热流量：QuqkStn单位面积上的热流量：K:热传导系数单位时间内通过给定截面的热量，正比例于垂直于该界面方向上的温度变化率和截面面积，而热量传递的方向则与温度升高的方向相反。计算物理学[e-mail]17/754.1有限差分法原理3第三类边界条件（洛平Robin）热传导问题：边界表面Г与外界之间的热量交换已知),(000trcnubuaa0,b0.c0定义在Γ上的已知函数外界温度为u0，热交换规律遵循热传导实验定律：单位时间内，从边界单位面积传递给周围的热流量正比于边界表面和外界的温度差。计算物理学[e-mail]18/754.1有限差分法原理对于实际物理问题，边界条件往往是很复杂的，可能是一种或不同边界区域几种边界条件的组合，甚至不能用这三类边界条件描述。0quuα：热交换系数u：边界温度QuqkStn单位面积上的热流量：0ukuun0uukun计算物理学[e-mail]19/754.2热传导方程的差分解法物理学中对热传导、热辐射以及气体扩散现象的描述，常可以归结为同一类型的抛物线型方程，通常采用二阶偏微分方程描述，这类方程统称为热传导方程。fauuctud计算物理学[e-mail]20/754.2热传导方程的差分解法一维各向同性、均匀介质，且无热源的热传导方程：2200tTuuxltx为了求解u(x,t)，还必须利用边界条件和初始条件。定解条件：边界条件和初始条件。定解问题：解存在、唯一并且连续依赖初始条件。4.2.1一维热传导方程的差分解法计算物理学[e-mail]21/754.2热传导方程的差分解法22210,,,0utgtultuutxxtugx对于一维热传导问题（第一类边界条件）00xtlT数值解就是在求解区域:00tGxTl中某些离散点（xi,ti）上求出u(xi,ti)足够近似的解。计算物理学[e-mail]22/754.2热传导方程的差分解法1把求解区域离散化（确定离散点）00i=0,1,,Nk=0,1,,MkilhxxihihTkNttkM,,(,),ikikikxtikuxtuxtxitkTl,iku计算物理学[e-mail]23/754.2热传导方程的差分解法2推导差分递推公式222,2,,(,)uxhtuxtuxhtuxtxh在节点（xi,tk）上2221,,1,2,2,,(,)2ikikikikxxttikikikuxhtuxtuxhtuxtxhuuuh二阶向前差商O(h2)计算物理学[e-mail]24/754.2热传导方程的差分解法同样，在节点（xi,tk）上,1,,,(,)ikikikxxttikikuxtuxtxttuu一阶向前差商O(h)计算物理学[e-mail]25/754.2热传导方程的差分解法一维热传导方程可以近似为,1,1,,1,22ikikikikikuuuuuh令2h,11,,1,(12)ikikikikuuuuO(h)计算物理学[e-mail]26/754.2热传导方程的差分解法,11,,1,(12)ikikikikuuuuxtxitk,1iku初始条件边界条件计算物理学[e-mail]27/754.2热传导方程的差分解法一维热传