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13.电场与磁场[基本公式]1．电场强度E＝Fq适用任何电场E＝kQr2点电荷电场E＝UABd＝φA－φBd匀强电场2．电势、电势差、电势能、电功：WAB＝qUAB＝q(φA－φB)(与路径无关)．3．电容器的电容C＝QU＝ΔQΔU任何电容器C＝εrS4πkd平行板电容器4．电荷在匀强电场中偏转(v0⊥E)沿v0方向：匀速l＝v0t沿E方向：加速vy＝at＝qUdm·lv0y＝12at2＝qUl22dmv20tanθ＝vyv0＝qUldmv205．安培力1当I∥B时，F＝0最小2当I⊥B时，F＝BIL最大6．洛伦兹力1当v∥B时，F洛＝0最小2当v⊥B时，F洛＝Bqv最大7．带电粒子在匀强磁场中的运动(1)洛伦兹力充当向心力：qvB＝mrω2＝mv2r＝mr4π2T2＝4π2mrf2＝ma.2(2)圆周运动的半径r＝mvqB，周期T＝2πmqB.8．速度选择器、电磁流量计、磁流体发电机、霍尔效应稳定时，电荷所受电场力和洛伦兹力平衡．9．回旋加速器(1)粒子在磁场中运动一周，被加速两次；交变电场的频率与粒子在磁场中做圆周运动的频率相同．T电场＝T回旋＝T＝2πmqB.(2)粒子在电场中每加速一次，都有qU＝ΔEk.(3)粒子在边界射出时，都有相同的圆周半径R，有R＝mvqB.(4)粒子飞出加速器时的动能为Ek＝mv22＝B2R2q22m.(在粒子质量、电荷量确定的情况下，粒子所能达到的最大动能只与加速器的半径R和磁感应强度B有关，与加速电压无关)[二级结论]1．顺着电场线方向电势φ一定降低．2．等量异种电荷连线的中垂线(面)的电势与无穷远处电势相等(等于零)．3．在匀强电场中，长度相等且平行的两线段的端点的电势差相等．4．电容器充电电流，流入正极、流出负极；电容器放电电流，流出正极，流入负极．5．带电粒子在电场和重力场中做竖直方向的圆周运动用等效法：当重力和电场力的合力沿半径且背离圆心处速度最大，当其合力沿半径指向圆心处速度最小．6．同向电流相吸，反向电流相斥，交叉电流有转到同向的趋势．7．圆周运动中有关对称的规律：(1)从直线边界射入匀强磁场的粒子，从同一边界射出时，速度与边界的夹角相等，如图甲所示；(2)在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出，如图乙所示．8．最小圆形磁场区域的计算：找到磁场边界的两点，以这两点的距离为直径的圆面积最小．9．带电粒子在匀强电场、匀强磁场和重力场中，如果做直线运动，一定做匀速直线运动．如果做匀速圆周运动，重力和电场力一定平衡，只有洛伦兹力提供向心力．3[临考必练]1.如图所示，一均匀的带电荷量为＋Q的细棒，在过中点c垂直于细棒的直线上有a、b、d三点，且ab＝bc＝cd＝L，在a点处有一电荷量为＋Q2的固定点电荷．已知b点处的电场强度为零，则d点处电场强度的大小为(k为静电力常量)()A．k5Q9L2B.k3QL2C．k3Q2L2D．k9Q2L2解析：电荷量为＋Q2的点电荷在b处产生电场强度为E＝kQ2L2，方向向右．在b点处的场强为零，根据电场的叠加原理可知细棒与点电荷在b处产生电场强度大小相等，方向相反，则知细棒在b处产生的电场强度大小为E′＝kQ2L2，方向向左．根据对称性可知细棒在d处产生的电场强度大小为kQ2L2，方向向右；而电荷量为＋Q2的点电荷在d处产生电场强度为E″＝kQ23L2＝kQ18L2，方向向右．所以d点处电场强度的大小为Ed＝E″＋E′＝5kQ9L2，方向向右，故选A.答案：A2.平行板电容器的两极板M、N接在一恒压电源上，N板接地．板间有a、b、c三点．若将上板M向下移动少许至图中虚线位置，则()A．b点场强减小B.b、c两点间电势差减小C．c点电势升高D．a点电势降低解析：电源电压不变，即电容器的极板间电压不变，当M向下移动时，极板间距减小，根据E＝Ud，故极板间的场强增大，所以b点的场强增大，选项A错误；b、c两点间电势差Ubc＝E·bc，E增大，而bc不变，故Ubc增大，选项B错误；同理c、N间的电势差也增大，而N点的电势为0，由电源的正极连接下极板可知，UNc＝φN－φc＝－φc，所以c点的电势降低，选项C错误；同理a点的电势也降低，选项D正确．答案：D3.(多选)如图所示，虚线为某电场中的三条电场线1、2、3，实线表示某带电粒子仅在电场力作用下的运动轨迹，a、b是轨迹上的两点，则下列说法中正确的是()A．粒子在a点的加速度大小小于在b点的加速度大小B．粒子在a点的电势能大于在b点的电势能4C．粒子在a点的速度大小大于在b点的速度大小D．a点的电势高于b点的电势解析：由题图知a处电场线比b处稀疏，即EaEb，由牛顿第二定律知qE＝ma，则粒子在a点的加速度大小小于在b点的加速度大小，A项正确．由粒子做曲线运动的条件知粒子受到指向轨迹凹侧的电场力，且电场线上某点电场力的方向一定沿该点电场线的切线方向，若粒子由a向b运动，其运动方向与其所受电场力方向成锐角，电场力做正功，电势能减小，动能增加，速度增大；若粒子由b向a运动，其运动方向与其所受电场力方向成钝角，电场力做负功，电势能增加，动能减小，速度减小，即不论粒子的运动方向和电性如何，粒子在a点的电势能大于在b点的电势能，在a点的速度大小小于在b点的速度大小，B项正确，C项错误．由于电场线的方向不能确定，故无法判断a、b两点电势的高低，D项错误．答案：AB4．(多选)一质量为m、电荷量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀速圆周运动．若磁场方向垂直于它的运动平面，且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的3倍，则负电荷做圆周运动的角速度可能是()A.4qBmB.3qBmC.2qBmD.qBm解析：依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”，磁场方向有两种可能．当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相同时，根据牛顿第二定律可知4Bqv＝mv2R得v＝4BqRm，负电荷运动的角速度为ω＝vR＝4Bqm；当负电荷所受的洛伦兹力与电场力方向相反时，则2Bqv＝mv2R，v＝2BqRm，负电荷运动的角速度为ω＝vR＝2Bqm.答案：AC5.如图所示，竖直线MN∥PQ，MN与PQ间的距离为a，其间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，O是MN上一点，O处有一粒子源，某时刻放出大量速率均为v(方向均垂直磁场方向)、比荷一定的带负电粒子(粒子重力及粒子间的相互作用力不计)，已知沿图中与MN成θ＝60°角射入的粒子恰好垂直PQ射出磁场，则粒子在磁场中运动的最长时间为()A.πa3vB.23πa3vC.4πa3vD.2πav解析：当θ＝60°时，粒子的运动轨迹如图甲所示，则a＝Rsin30°，即R＝2a.设带5电粒子在磁场中运动轨迹所对的圆心角为α，则其在磁场中运动的时间为t＝α2πT，即α越大，粒子在磁场中运动时间越长，α最大时粒子的运动轨迹恰好与磁场的右边界相切，如图乙所示，因R＝2a，此时圆心角αm为120°，即最长运动时间为T3，而T＝2πRv＝4πav，所以粒子在磁场中运动的最长时间为4πa3v，C正确．答案：C6.如图所示，梯形abdc位于某匀强电场所在平面内，两底角分别为60°、30°，cd＝2ab＝4cm，已知a、b两点的电势分别为4V、0V，将电荷量q＝1.6×10－3C的正电荷由a点移动到c点，克服电场力做功6.4×10－3J，则下列关于电场强度的说法正确的是()A．垂直ab向上，大小为400V/mB．垂直bd斜向上，大小为400V/mC．平行ca斜向上，大小为200V/mD．平行bd斜向上，大小为200V/m解析：由W＝qU知Uac＝Wq＝－6.4×10－31.6×10－3V＝－4V，而φa＝4V，所以φc＝8V，过b点作be∥ac交cd于e，因在匀强电场中，任意两条平行线上距离相等的两点间电势差相等，所以Uab＝Uce，即φe＝4V，又因cd＝2ab，所以Ucd＝2Uab，即φd＝0V，所以bd为一条等势线，又由几何关系知eb⊥bd，由电场线与等势线的关系知电场强度必垂直bd斜向上，大小为E＝Uebed·sin30°＝41×10－2V/m＝400V/m，B项正确．答案：B7．如图所示，直角坐标系xOy位于同一竖直平面内，其中x轴水平、y轴竖直，xOy平面内长方形区域OABC内有方向垂直OA的匀强电场，OA长为l，与x轴间的夹角θ＝30°.一质量为m、电荷量为q的带正电的小球(可看作质点)从y轴上的P点沿x轴方向以一定速6度射出，恰好从OA的中点M垂直OA进入电场区域．已知重力加速度为g.(1)求P的纵坐标yP及小球从P射出时的速度v0；(2)已知电场强度的大小为E＝3mg2q，若小球不能从BC边界离开电场，OC长度应满足什么条件？解析：(1)设小球从P点运动到M点所用时间为t1，则在竖直方向上有yP－l2sinθ＝12gt21水平方向上有l2cosθ＝v0t1又v0tanθ＝gt1由以上几式联立解得yP＝58l，v0＝gl2.(2)设小球到达M时速度为vM，进入电场后加速度为a，有vM＝v0sinθ又mgcosθ＝qE小球在电场中沿vM方向做匀速直线运动，沿与vM的方向垂直的方向做加速度为a的匀加速运动，设边界OC的长度为d时，小球不能从BC边界射出，且在电场中运动时间为t2.由牛顿第二定律得mgsinθ＝madvMt2.在竖直方向上l2＝12at22解得d2l.答案：(1)58lgl2(2)d2l8．如图所示，三角形区域磁场的三个顶点a、b、c在直角坐标系内的坐标分别为(0,23cm)、(－2cm,0)、(2cm，0)，磁感应强度B＝4×10－4T，大量比荷qm＝2.5×105C/kg、不计重力的正离子，从O点以相同的速率v＝23m/s沿不同方向垂直磁场射入该磁场区域．求：7(1)离子运动的半径．(2)从ac边离开磁场的离子，离开磁场时距c点最近的位置坐标值．(3)从磁场区域射出的离子中，在磁场中运动的最长时间．解析：(1)由qvB＝mv2R得，R＝mvqB，代入数据可解得R＝23cm.(2)设从ac边离开磁场的离子距c最近的点的坐标为M(x，y)，M点为以a为圆心，以aO为半径的圆周与ac的交点，则x＝Rsin30°＝3cmy＝R－Rcos30°＝(23－3)cm离c最近的点的坐标值为M(3，23－3)．(3)依题意知，所有离子的轨道半径相同，则可知弦越长，对应的圆心角越大，易知从a点离开磁场的离子在磁场中运动时间最长，其轨迹所对的圆心角为60°T＝2πmBq＝π50st＝T6＝π300s.答案：(1)23cm(2)(3，23－3)(3)π300s