2020高考数学专题突破练6圆锥曲线定点定值最值范围探索性问题文含解析

1专题突破练(6)圆锥曲线定点、定值、最值、范围、探索性问题一、选择题1．设AB为过抛物线y2＝2px(p0)的焦点的弦，则|AB|的最小值为()A．p2B．pC．2pD．无法确定答案C解析当弦AB垂直于对称轴时|AB|最短，这时x＝p2，∴y＝±p，|AB|min＝2p．故选C．2．已知F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，A(1，4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为()A．4B．6C．8D．9答案D解析注意到P点在双曲线的右支上，且双曲线右焦点为F′(4，0)，于是由双曲线定义得|PF|－|PF′|＝2a＝4，故|PF|＋|PA|＝2a＋|PF′|＋|PA|≥4＋|AF′|＝9，当且仅当A，P，F′三点共线时等号成立．故选D．3．已知M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，若以F为圆心，|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A．(0，2)B．[0，2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)答案C解析由题意知圆心F到抛物线的准线的距离为4，且|FM|4，根据抛物线的定义知|FM|＝y0＋2，所以y0＋24，得y02，故y0的取值范围是(2，＋∞)．4．过椭圆x225＋y216＝1的中心任作一直线交椭圆于P，Q两点，F是椭圆的一个焦点，则△PQF周长的最小值是()A．14B．16C．18D．20答案C解析如图，设F为椭圆的左焦点，右焦点为F2，根据椭圆的对称性可知|FQ|＝|PF2|，|OP|＝|OQ|，所以△PQF的周长为|PF|＋|FQ|＋|PQ|＝|PF|＋|PF2|＋2|PO|＝2a＋2|PO|＝10＋2|PO|，易知2|OP|的最小值为椭圆的短轴长，即点P，Q为椭圆的上下顶点时，△PQF的周长取得最小值10＋2×4＝18．故选C．5．(2018·豫南九校联考)已知两定点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为()2A．55B．105C．255D．2105答案A解析点A关于直线l：y＝x＋3的对称点A′(－3，2)，连接A′B与直线l相交，当点P在交点处时，2a＝|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|＝|A′B|＝25，此时a取得最小值5，又c＝1，所以椭圆C的离心率的最大值为55，故选A．6．(2019·厦门一中开学考试)已知△ABC三个顶点A，B，C都在曲线x29＋y24＝1上，且BC→＋2OB→＝0(其中O为坐标原点)，M，N分别为AB，AC的中点，若直线OM，ON的斜率存在且分别为k1，k2，则|k1|＋|k2|的取值范围为()A．89，＋∞B．[0，＋∞)C．0，43D．43，＋∞答案D解析由于A，B都在曲线x29＋y24＝1上，则有x2A9＋y2A4＝1，x2B9＋y2B4＝1，两式相减并整理可得y2A－y2Bx2A－x2B＝－49，由BC→＋2OB→＝0知，BC→＝－2OB→，则B，C关于坐标原点对称，而M，N分别为AB，AC的中点，则k1＝kAC，k2＝kAB，则|k1|＋|k2|＝|kAC|＋|kAB|≥2|kAB||kAC|＝2×yA－yBxA－xB·yA－yCxA－xC＝2yA－yBxA－xB·yA＋yBxA＋xB＝2y2A－y2Bx2A－x2B＝43，当且仅当|kAB|＝|kAC|时，等号成立．故选D．二、填空题7．(2018·湖北黄冈中学二模)设椭圆x24＋y2＝1上任意一点A到两条直线x±2y＝0的距离分别为d1，d2，则d1d2的最大值为________．答案453解析设点A的坐标为(2cosα，sinα)，则d1d2＝|2cosα＋2sinα|5·|2cosα－2sinα|5＝4|cos2α|5≤45，所以d1d2的最大值为45．8．(2018·河南六市联考一)已知P是双曲线C：x22－y2＝1右支上一点，直线l是双曲线的一条渐近线，P在l上的射影为Q，F1是双曲线的左焦点，则|PF1|＋|PQ|的最小值是________．答案1＋22解析设双曲线的右焦点为F2(3，0)，不妨设渐近线l：x－2y＝0，则点F2(3，0)到渐近线l的距离为1，由于点P在双曲线右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a＝22，|PF1|＝22＋|PF2|，|PF1|＋|PQ|＝22＋|PF2|＋|PQ|≥22＋1，当且仅当点Q，P，F2三点共线，且P在Q，F2之间时取等号，故|PF1|＋|PQ|的最小值是1＋22．9．(2018·厦门质检一)过抛物线E：y2＝4x焦点的直线l与E交于A，B两点，E在点A，B处的切线分别与y轴交于C，D两点，则42|CD|－|AB|的最大值是________．答案8解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，切线AC的方程为x＝t(y－y1)＋x1＝t(y－y1)＋y214，代入抛物线的方程，消去x，得y2－4ty＋4ty1－y21＝0．由Δ＝16t2－4(4ty1－y21)＝0，得t＝y12，所以直线AC的方程为x＝y12(y－y1)＋y214，其中令x＝0，得yC＝y12，同理可求得yD＝y22，所以|CD|＝12|y1－y2|．由题意，知抛物线的焦点为F(1，0)，则设直线AB的方程为x＝my＋1，代入抛物线的方程，消去x，得y2－4my－4＝0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，所以42|CD|－|AB|＝22|y1－y2|－1＋m2·|y1－y2|＝22y1＋y22－4y1y2－1＋m2·y1＋y22－4y1y2＝821＋m2－4(1＋m2)＝－4×(1＋m2－2)2＋8，所以当1＋m2＝2时，42|CD|－|AB|取得最大值为8．三、解答题10．(2018·济南模拟)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：x2＝4y，直线l与抛物线C1交于A，B两点．4(1)若直线OA，OB的斜率之积为－14，证明：直线l过定点；(2)若线段AB的中点M在曲线C2：y＝4－14x2(－22x22)上，求|AB|的最大值．解设A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)证明：由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋m，由x2＝4y，y＝kx＋m，得x2－4kx－4m＝0，则Δ＝16(k2＋m)0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4m，∴kOA·kOB＝y1·y2x1·x2＝14x21·14x22x1·x2＝x1·x216＝－m4，由已知kOA·kOB＝－14，得m＝1，∴直线l的方程为y＝kx＋1，∴直线l过定点(0，1)．(2)设M(x0，y0)，则由(1)知x0＝x1＋x22＝2k，y0＝kx0＋m＝2k2＋m，将M(x0，y0)代入C2：y＝4－14x2(－22x22)得2k2＋m＝4－14(2k)2，∴m＝4－3k2，∵－22x022，∴－222k22，∴－2k2，又∵Δ＝16(k2＋m)＝16(k2＋4－3k2)＝32(2－k2)0，∴－2k2，故k的取值范围是k∈(－2，2)．|AB|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝1＋k2·16k2＋m，将m＝4－3k2代入得|AB|＝42·k2＋12－k2≤42·k2＋1＋2－k22＝62，当且仅当k2＋1＝2－k2，即k＝±22时取等号，故|AB|的最大值为62．511．(2018·湖南六校联考)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左、右顶点分别为M，N，点P是椭圆上异于点M，N的任意一点，记直线PM，PN的斜率分别为kPM，kPN，满足kPM·kPN＝－34．(1)求椭圆C的离心率；(2)设椭圆C的左焦点为F(－c，0)，过点F的直线AB交椭圆于A，B两点，AB的中点为G，AB的垂直平分线与x轴和y轴分别交于D，E两点，O是坐标原点．记△GFD的面积为S1，△OED的面积为S2，求2S1S2S21＋S22的取值范围．解(1)设P(x0，y0)，则x20a2＋y20b2＝1，即y20x20－a2＝－b2a2，因为kPM·kPN＝y0x0＋a·y0x0－a＝－34，所以－b2a2＝－34，又a2＝b2＋c2，则有a2＝4c2，a＝2c，因此椭圆C的离心率e＝ca＝12．(2)由(1)可知a＝2c，b＝a2－c2＝3c，则椭圆的方程为x24c2＋y23c2＝1．根据条件知直线AB的斜率一定存在且不为零，设直线AB的方程为y＝k(x＋c)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(xD，0)，联立y＝kx＋c，x24c2＋y23c2＝1，消去y并整理得(4k2＋3)x2＋8ck2x＋4k2c2－12c2＝0，从而有x1＋x2＝－8ck24k2＋3，y1＋y2＝k(x1＋x2＋2c)＝6ck4k2＋3，所以G－4ck24k2＋3，3ck4k2＋3．6因为DG⊥AB，所以3ck4k2＋3－4ck24k2＋3－xD·k＝－1，解得xD＝－ck24k2＋3．由Rt△FGD与Rt△EOD相似，所以S1S2＝GD2OD2＝－4ck24k2＋3＋ck24k2＋32＋3ck4k2＋32－ck24k2＋32＝9＋9k29，令S1S2＝t，则t9，从而2S1S2S21＋S22＝2t＋1t29＋19＝941，即2S1S2S21＋S22的取值范围是0，941．12．(2018·合肥质检二)已知点A(1，0)和动点B，以线段AB为直径的圆内切于圆O：x2＋y2＝4．(1)求动点B的轨迹方程；(2)已知点P(2，0)，Q(2，－1)，经过点Q的直线l与动点B的轨迹交于M，N两点，求证：直线PM与直线PN的斜率之和为定值．解(1)如图，设以线段AB为直径的圆的圆心为C，取A′(－1，0)．依题意，圆C内切于圆O，设切点为D，则O，C，D三点共线．∵O为AA′的中点，C为AB的中点，∴|A′B|＝2|OC|．∴|BA′|＋|BA|＝2|OC|＋2|AC|＝2|OC|＋2|CD|＝2|OD|＝4|AA′|＝2．依椭圆的定义可知，动点B的轨迹为椭圆，设为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，其中|BA′|＋|BA|＝2a＝4，|AA′|＝2c＝2，7∴a＝2，c＝1，∴b2＝a2－c2＝3，∴动点B的轨迹方程为x24＋y23＝1．(2)证明：当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为x＝2，此时直线l与椭圆x24＋y23＝1相切，与题意不符；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－2)．由y＋1＝kx－2，x24＋y23＝1，得(4k2＋3)x2－(16k2＋8k)x＋16k2＋16k－8＝0．设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝16k2＋8k4k2＋3，x1x2＝16k2＋16k－84k2＋3，由Δ＝96(1－2k)0⇒k12．∴kPM＋kPN＝y1x1－2＋y2x2－2＝kx1－2－1x1－2＋kx2－2－1x2－2＝2k－1x1－2＋1x2－2＝2k－x1＋x2－4x1－2x2－2＝2k－x1＋x2－4x1x2－2x1＋x2＋4＝2k－16k2＋8k4k2＋3－416k2＋16k－84k2＋3－216k2＋8k4k2＋3＋4＝2k＋3－2k＝3，为定值．13．(2018·石家庄二中模拟)已知F1，F2为椭圆C：x22＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆长轴上一点M(m，0)(不含端点)作一条直线l，交椭圆于A，B两点．(1)若直线AF2，AB，BF2的斜率依次成等差数列(公差不为0)，求实数m的取值范围；(2)若过点P0，－13的直线交椭圆C于E，F两点，则以EF为直径的圆是否恒过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．解(1)由题意知F1(－1，0)，F2(1，0)，8直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y＝k(x－m)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＝k(x1－m)，y2＝k(x2－m)，因为y1x1－1＋y2x2－1＝2k，即kx1－mx1－1＋kx2