2020高考数学第一章集合与常用逻辑用语

第一章集合与常用逻辑用语第一节集__合1．集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．(2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉.(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(4)五个特定的集合：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N＋ZQR2．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的元素都是集合B的元素x∈A⇒x∈BA⊆B或B⊇A真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于AA⊆B，且存在x0∈B，x0∉AAB或BA相等集合A，B的元素完全相同A⊆B，B⊆AA＝B空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集任意的x，x∉∅，∅⊆A∅3．集合的基本运算表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集属于集合A且属于集合B的元素组成的集合{x|x∈A，且x∈B}A∩B并集属于集合A或属于集合B的元素组成的集合{x|x∈A，或x∈B}A∪B补集全集U中不属于集合A的元素组成的集合{x|x∈U，且x∉A}∁UA4．集合问题中的几个基本结论(1)集合A是其本身的子集，即A⊆A；(2)子集关系的传递性，即A⊆B，B⊆C⇒A⊆C；(3)A∪A＝A∩A＝A，A∪∅＝A，A∩∅＝∅，∁UU＝∅，∁U∅＝U.(4)A∩B＝A⇒A⊆B，A∪B＝B⇒A⊆B.[小题体验]1．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足A⊆C⊆B的集合C的个数为()A．1B．2C．3D．4答案：D2．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．答案：53．(2018·江苏高考)已知集合A＝{0,1,2,8}，B＝{－1,1,6,8}，那么A∩B＝________.解析：A∩B＝{0,1,2,8}∩{－1,1,6,8}＝{1,8}．答案：{1,8}1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件．2．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系．3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．[小题纠偏]1．(2019·浙江名校联考)已知∁RM＝{x|ln|x|＞1}，N＝yy＝1x，x＞0，则M∪N＝()A．(0，e]B．[－e，＋∞)C．(－∞，－e]∪(0，＋∞)D．[－e，e]解析：选B由ln|x|＞1得|x|＞e，∴M＝[－e，e]．N＝(0，＋∞)，∴M∪N＝[－e，＋∞)．故选B.2．若集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A，则由m的可能取值组成的集合为________．解析：当m＋1＞2m－1，即m＜2时，B＝∅，满足B⊆A；若B≠∅，且满足B⊆A，如图所示，则m＋1≤2m－1，m＋1≥－2，2m－1≤5，即m≥2，m≥－3，m≤3，所以2≤m≤3.故m＜2或2≤m≤3，即所求集合为{m|m≤3}．答案：{m|m≤3}3．已知集合A＝{0,x＋1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x的值为________．解析：∵－4∈A，∴x＋1＝－4或x2－5x＝－4.∴x＝－5或x＝1或x＝4.若x＝1，则A＝{0,2，－4}，满足条件；若x＝4，则A＝{0,5，－4}，满足条件；若x＝－5，则A＝{0，－4,50}，满足条件．所以x＝1或x＝4或－5.答案：1或4或－5考点一集合的基本概念基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．下列命题正确的有()①很小的实数可以构成集合；②(易错题)集合{}y|y＝x2－1与集合{(x，y)|y＝x2－1}是同一个集合；③1，32，64，－12，0.5这些数组成的集合有5个元素；④集合{(x，y)|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限内的点集．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选A由题意得，①不满足集合的确定性，故错误；②两个集合，一个是数集，一个是点集，故错误；③中－12＝0.5，出现了重复，不满足集合的互异性，故错误；④不仅仅表示的是第二、四象限的点，还可表示原点，故错误．综上，没有正确命题，故选A.2．已知a＞0，b∈R，若a，4，ba＝{a－b,0，a2}，则a2＋b2的值为()A．2B．4C．6D．8解析：选B由已知得a≠0，则ba＝0，所以b＝0，于是a2＝4，即a＝2或a＝－2，因为a＞0，所以a＝2，故a2＋b2＝22＋02＝4.3．若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a等于()A.92B.98C．0D．0或98解析：选D若集合A中只有一个元素，则方程ax2－3x＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a＝0时，x＝23，符合题意．当a≠0时，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝98，所以a的值为0或98.4．(易错题)(2019·江西重点中学协作体联考)设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，M＝{x|x＝ab，a∈A，b∈B}，则M中的元素个数为________．解析：结合题意列表计算M中所有可能的值如下：ba2341234246836912观察可得：M＝{2,3,4,6,8,9,12}，据此可知M中的元素个数为7.答案：7[谨记通法]与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．考点二集合间的基本关系重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．已知集合M＝{1,2,3,4}，则集合P＝{x|x∈M且2x∉M}的子集有()A．8个B．4个C．3个D．2个解析：选B由题意，得P＝{3,4}，所以集合P的子集有22＝4个．2．已知集合A＝{x|x2＋x－2＝0}，B＝{x|ax＝1}，若B⊆A，则a＝()A．－12或1B．2或－1C．－2或1或0D．－12或1或0解析：选D集合A＝{x|x2＋x－2＝0}＝{－2,1}．当x＝－2时，－2a＝1，解得a＝－12；当x＝1时，a＝1；又因为B是空集时也符合题意，这时a＝0，故选D.[由题悟法]集合间基本关系的两种判定方法和一个关键[即时应用]1．集合{a，b，c，d，e}的真子集的个数为()A．32B．31C．30D．29解析：选B因为集合有5个元素，所以其子集的个数为25＝32个，其真子集的个数为25－1＝31个．2．已知集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－m＜x＜m}，若B⊆A，则m的取值范围为________．解析：当m≤0时，B＝∅，显然B⊆A.当m＞0时，∵A＝{x|－1＜x＜3}．当B⊆A时，在数轴上标出两集合，如图，∴－m≥－1，m≤3，－m＜m.∴0＜m≤1.综上所述m的取值范围为(－∞，1]．答案：(－∞，1]考点三集合的基本运算题点多变型考点——多角探明[锁定考向]集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力．常见的命题角度有：(1)集合的运算；(2)利用集合运算求参数；(3)新定义集合问题．[题点全练]角度一：集合的运算1．(2018·北京高考)已知集合A＝{x||x|＜2}，B＝{－2,0,1,2}，则A∩B＝()A．{0,1}B．{－1,0,1}C．{－2,0,1,2}D．{－1,0,1,2}解析：选A∵A＝{x||x|＜2}＝{x|－2＜x＜2}，B＝{－2,0,1,2}，∴A∩B＝{0,1}．故选A.2．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁RA＝()A．{x|－1＜x＜2}B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}解析：选B∵x2－x－2＞0，∴(x－2)(x＋1)＞0，∴x＞2或x＜－1，即A＝{x|x＞2或x＜－1}．则∁RA＝{x|－1≤x≤2}．故选B.角度二：利用集合运算求参数3．(2019·浙江联盟校联考)已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜a}，若P∪Q＝{x|－1＜x＜2}，则实数a的值为()A．1B．2C．12D．32解析：选B因为P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜a}，所以当a≤1时，P∪Q＝{x|－1＜x＜1}，不符合题意；当a＞1时，P∪Q＝{x|－1＜x＜a}，结合P∪Q＝{x|－1＜x＜2}，可得a＝2.角度三：新定义集合问题4．如果集合A，B，同时满足A∪B＝{1,2,3,4}，A∩B＝{1}，A≠{1}，B≠{1}，就称有序集对(A，B)为“好集对”．这里有序集对(A，B)是指当A≠B时，(A，B)和(B，A)是不同的集对，那么“好集对”一共有()个()A．5个B．6个C．7个D．8个解析：选B因为A∪B＝{1,2,3,4}，A∩B＝{1}，A≠{1}，B≠{1}，所以当A＝{1,2}时，B＝{1,3,4}；当A＝{1,3}时，B＝{1,2,4}；当A＝{1,4}时，B＝{1,2,3}；当A＝{1,2,3}时，B＝{1,4}；当A＝{1,2,4}时，B＝{1,3}；当A＝{1,3,4}时，B＝{1,2}．所以满足条件的“好集对”一共有6个，故选B.[通法在握]解集合运算问题4个技巧看元素构成集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键对集合化简有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决应用数形常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图创新性问题以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以深入的创新，但最终化为原来的集合知识和相应数学知识来解决[演练冲关]1．(2019·浙江十校联盟适考)已知集合A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x∈Z|x2－6x＜0}，则(∁RA)∩B＝()A．{1,4}B．{4,5}C．{1,4,5}D．{2,3}解析：选C法一：由x2－6x＜0可得0＜x＜6，所以B＝{1,2,3,4,5}，又∁RA＝{x|x≤1或x≥4}，所以(∁RA)∩B＝{1,4,5}．法二：因为求的是(∁RA)∩B，故排除D，又1,5∈∁RA,1，5∈B，故选C.2．(2019·长沙模拟)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2－3x＋a＝0，a∈A}，若A∩B≠∅，则a的值为()A．1B．2C．3D．1或2解析：选B当a＝1时，x2－3x＋1＝0，无整数解，则A∩B＝∅；当a＝2时，B＝{1,2}，A∩B＝{1,2}≠∅；当a＝3时，B＝∅，A∩B＝∅.因此实数a＝2.3．(2019·杭州高三四校联考)设集合A＝{x|(x－3)(x－a)＝0，a∈R}，B＝{x|(x－1)(x－4)＝0}，则A∪B的子集个数最多为()A．2B．4C．8D．16解析：选D由题意可知，要使A∪B的子集个数最多，则需A∪B中的元素个数最多，此时a≠1，a≠3，且a≠4，即集合A＝{3，a}，B＝{1,4}，A∪B＝{1,3,4，a}，故A∪B的子集最多有24＝16个．4．如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合AB为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝3x，x＞0}，则AB为()A．{x|0＜x＜2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|0≤x≤1或x≥2}D．{x|0≤x≤1或x＞2}解析：选D因为A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1＜x≤2}，所以AB＝∁A∪B(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x＞2}，故选D.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·浙江考前热身联考)已知集合M＝{x|y＝2x－x2}，N＝{x|－1＜x＜1}，