2020高考数学第三章函数导数及其应用

第三章函数、导数及其应用第一节函数及其表示1．函数与映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应关系f：A→B如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应名称称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射记法y＝f(x)，x∈A对应f：A→B是一个映射2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．(4)函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．[小题体验]1．(2018·台州模拟)下列四组函数中，表示相等函数的是()A．f(x)＝x2，g(x)＝x2B．f(x)＝x2x，g(x)＝xx2C．f(x)＝1，g(x)＝(x－1)0D．f(x)＝x2－9x＋3，g(x)＝x－3解析：选B选项A中，f(x)＝x2与g(x)＝x2的定义域相同，但对应关系不同；选项B中，二者的定义域都为{x|x＞0}，对应关系也相同；选项C中，f(x)＝1的定义域为R，g(x)＝(x－1)0的定义域为{x|x≠1}；选项D中，f(x)＝x2－9x＋3的定义域为{x|x≠－3}，g(x)＝x－3的定义域为R.2．若函数y＝f(x)的定义域为{x|－3≤x≤8，x≠5}，值域为{y|－1≤y≤2，y≠0}，则y＝f(x)的图象可能是()解析：选B根据函数的概念，任意一个x只能有唯一的y值和它对应，故排除C项；由定义域为{x|－3≤x≤8，x≠5}排除A、D两项，故选B.3．函数f(x)＝2x－1＋1x－2的定义域为________．解析：由题意得2x－1≥0，x－2≠0，解得x≥0且x≠2.答案：[0,2)∪(2，＋∞)4．若函数f(x)＝ex－1，x≤1，5－x2，x＞1，则f(f(2))＝________.解析：由题意知，f(2)＝5－4＝1，f(1)＝e0＝1，所以f(f(2))＝1.答案：15．已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则f(2)＝________.解析：∵函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，∴4＝－a＋2，∴a＝－2，即f(x)＝－2x3－2x，∴f(2)＝－2×23－2×2＝－20.答案：－201．求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域．2．分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．[小题纠偏]1．(2018·嘉兴模拟)已知函数f(x)＝log2x，x＞0，x2＋x，x≤0，则ff12＝________，方程f(x)＝2的解为________．解析：ff12＝flog212＝f(－1)＝0.当x＞0时，log2x＝2，得x＝4；当x≤0时，x2＋x＝2，得x＝－2或x＝1(舍去)．所以f(x)＝2的解为－2或4.答案：0－2或42．已知f1x＝x2＋5x，则f(x)＝________.解析：令t＝1x，∴x＝1t.∴f(t)＝1t2＋5t.∴f(x)＝5x＋1x2(x≠0)．答案：5x＋1x2(x≠0)考点一函数的定义域基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．y＝x－12x－log2(4－x2)的定义域是()A．(－2,0)∪(1,2)B．(－2,0]∪(1,2)C．(－2,0)∪[1,2)D．[－2,0]∪[1,2]解析：选C要使函数有意义，则x－12x≥0，x≠0，4－x2＞0，解得x∈(－2,0)∪[1,2)，即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)．2．已知函数y＝f(x2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y＝f(x)的定义域为________．解析：因为y＝f(x2－1)的定义域为[－3，3]，所以x∈[－3，3]，x2－1∈[－1,2]，所以y＝f(x)的定义域为[－1，2]．答案：[－1,2]3．若函数f(x)＝x2＋ax＋1的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为________．解析：若函数f(x)＝x2＋ax＋1的定义域为实数集R，则x2＋ax＋1≥0恒成立，即Δ＝a2－4≤0，解得－2≤a≤2，即实数a的取值范围为[－2,2]．答案：[－2,2][谨记通法]函数定义域的求解策略(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解．(2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)抽象函数：①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．考点二求函数的解析式重点保分型考点——师生共研[典例引领](1)已知fx＋1x＝x2＋1x2，求f(x)的解析式；(2)已知f2x＋1＝lgx，求f(x)的解析式；(3)已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)；(4)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，求f(x)的解析式．解：(1)(配凑法)由于fx＋1x＝x2＋1x2＝x＋1x2－2，所以f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2，故f(x)的解析式是f(x)＝x2－2，x≥2或x≤－2.(2)(换元法)令2x＋1＝t得x＝2t－1，代入得f(t)＝lg2t－1，又x＞0，所以t＞1，故f(x)的解析式是f(x)＝lg2x－1，x＞1.(3)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，所以2a＋b＝b＋1，a＋b＝1，解得a＝b＝12.所以f(x)＝12x2＋12x，x∈R.(4)(解方程组法)由f(－x)＋2f(x)＝2x，①得f(x)＋2f(－x)＝2－x，②①×2－②，得，3f(x)＝2x＋1－2－x.即f(x)＝2x＋1－2－x3.所以f(x)的解析式是f(x)＝2x＋1－2－x3.[由题悟法]求函数解析式的4种方法[即时应用]1．已知函数f(x－1)＝xx＋1，则函数f(x)的解析式为()A．f(x)＝x＋1x＋2B．f(x)＝xx＋1C．f(x)＝x－1xD．f(x)＝1x＋2解析：选A令x－1＝t，则x＝t＋1，∴f(t)＝t＋1t＋2，即f(x)＝x＋1x＋2.2．若二次函数g(x)满足g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则g(x)＝________.解析：设g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，∵g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，∴a＋b＋c＝1，a－b＋c＝5，c＝0，解得a＝3，b＝－2，c＝0，∴g(x)＝3x2－2x.答案：3x2－2x3．已知f(x)满足2f(x)＋f1x＝3x，则f(x)＝________.解析：∵2f(x)＋f1x＝3x，①把①中的x换成1x，得2f1x＋f(x)＝3x.②联立①②可得2fx＋f1x＝3x，2f1x＋fx＝3x，解此方程组可得f(x)＝2x－1x(x≠0)．答案：2x－1x(x≠0)考点三分段函数题点多变型考点——多角探明[锁定考向]高考对分段函数的考查多以选择题、填空题的形式出现，试题难度一般较小．常见的命题角度有：(1)分段函数的函数求值问题；(2)分段函数与方程、不等式问题．[题点全练]角度一：分段函数的函数求值问题1．(2018·浙江五校联考)已知函数f(x)＝4－x，x≥0，3x，x＜0，则f(－2)＋f(4)＝()A.109B.19C．87D.7309解析：选B由题意可得，f(－2)＋f(4)＝3－2＋4－4＝19.角度二：分段函数与方程、不等式问题2．(2018·浙江考前冲刺卷)已知f(x)＝log21－x，x＜1，3x－7，x≥1，则不等式f(x)＜2的解集为()A．(－3,2)B．(－2,3)C．(2,3)D．(－3，－2)解析：选A当x＜1时，f(x)＜2可化为log2(1－x)＜2，即0＜1－x＜4，解得－3＜x＜1；当x≥1时，f(x)＜2可化为3x－7＜2，即3x＜9，得1≤x＜2.综上，不等式f(x)＜2的解集为(－3,2)．3．(2019·嘉兴高三基础测试)设函数f(x)＝3x－1，x＜1，2x，x≥1，则ff23＝________，若f(f(a))＝1，则实数a的值为________．解析：∵f23＝1，∴ff23＝f(1)＝2.对f(f(a))＝3fa－1，fa＜1，2fa，fa≥1，当a＜23时，f(a)＝3a－1＜1；当23≤a＜1时，f(a)＝3a－1≥1；当a≥1时，f(a)＝2a≥2＞1，∴f(f(a))＝33a－1－1，a＜23，23a－1，23≤a＜1，22a，a≥1，由f(f(a))＝1，得3(3a－1)－1＝1，∴a＝59＜23，符合题意；23a－1＝1，a＝13＜23，舍去；22a＝1不成立，舍去．故所求实数a的值为59.答案：259[通法在握]1．分段函数的求值问题的解题思路求分段函数的函数值先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．2．分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来．[演练冲关]1．已知f(x)＝1x＋1＋2x－2，x≥0，fx＋3，x＜0，则f(－2019)＝________.解析：因为当x＜0时，f(x)＝f(x＋3)，所以f(－2019)＝f(－3×673)＝f(0)＝10＋1＋20－2＝0.答案：02．(2018·浙江十校联盟适考)已知函数f(x)＝2x，x＞0，x＋1，x≤0，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值为________．解析：当a＞0时，由f(a)＋f(1)＝0得2a＋2＝0，无解；当a≤0时，由f(a)＋f(1)＝0得a＋1＋2＝0，解得a＝－3.答案：－33．(2018·杭州七校联考)已知函数f(x)＝12x，x≥0，2x－x2，x＜0，若f(2－a2)＞f(|a|)，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知，f(x)＝12x，x≥0，－x－12＋1，x＜0，作出函数f(x)的大致图象如图所示，由图象可知，函数f(x)在R上单调递增，由f(2－a2)＞f(|a|)，得2－a2＞|a|.当a≥0时，有2－a2＞a，即(a＋2)(a－1)＜0，解得－2＜a＜1，所以0≤a＜1；当a＜0时，有2－a2＞－a，即(a－2)(a＋1)＜0，解得－1＜a＜2，所以－1＜a＜0.综上所述，实数a的取值范围是(－1,1)．答案：(－1,1)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·杭州调研)函数y＝log2(2x－4)＋1x－3的定义域是()A．(2,3)B．(2，＋∞)C．(3