2020高考数学第九章复数计数原理与概率随机变量及其分布

第九章复数、计数原理与概率、随机变量及其分布第一节数系的扩充与复数的引入1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)复数的模：向量OZ―→的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝a2＋b2.2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量OZ―→.3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：z1z2＝a＋bic＋di＝a＋bic－dic＋dic－di＝ac＋bdc2＋d2＋bc－adc2＋d2i(c＋di≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．[小题体验]1．(2019·杭州高三质检)设复数z＝52－i(其中i为虚数单位)，则复数z的实部为________，虚部为________．解析：因为z＝52－i＝52＋i2－i2＋i＝2＋i，所以复数z的实部为2，虚部为1.答案：212．(2019·浙江名校联考)设(a＋i)(1－bi)＝3－i(a，b∈R，i是虚数单位)，则a＋b＝______；若z＝a＋bi，则|z|＝______.解析：因为(a＋i)(1－bi)＝(a＋b)＋(1－ab)i＝3－i，所以a＋b＝3,1－ab＝－1，则ab＝2，所以|z|＝a2＋b2＝a＋b2－2ab＝9－4＝5.答案：353．(教材习题改编)四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，则点D对应的复数为________．答案：3＋5i1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．2．两个虚数不能比较大小．3．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z21＋z22＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2＜0在复数范围内有可能成立．[小题纠偏]1．设复数z1＝2－i，z2＝a＋2i(i是虚数单位，a∈R)，若z1·z2∈R，则a＝________.解析：依题意，复数z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i是实数，因此4－a＝0，a＝4.答案：42．设i是虚数单位，若复数(2＋ai)i的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________．解析：因为(2＋ai)i＝－a＋2i，又其实部与虚部互为相反数，所以－a＋2＝0，即a＝2.答案：2考点一复数的有关概念基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2018·台州二模)复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为()A．2B．1C．－2D．1或2解析：选A由a2－3a＋2＝0，得a＝1或2.因为复数是纯虚数，所以a≠1，所以可知a＝2.2．已知i为虚数单位，a∈R，若2－ia＋i为纯虚数，则复数z＝2a＋2i的模等于()A.2B.11C.3D.6解析：选C由题意得，2－ia＋i＝ti(t≠0)，∴2－i＝－t＋tai，∴－t＝2，ta＝－1，解得t＝－2，a＝12，∴z＝2a＋2i＝1＋2i，|z|＝3，故选C.3．(2019·镇海中学模拟)已知i是虚数单位，复数z＝2－i，则z·(1＋2i)的共轭复数为()A．2＋iB．4＋3iC．4－3iD．－4－3i解析：选C因为z＝2－i，所以z·(1＋2i)＝(2－i)(1＋2i)＝4＋3i，所以其共轭复数为4－3i.4．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝________.解析：(z1－2)(1＋i)＝1－i⇒z1＝2－i.设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.答案：4＋2i[谨记通法]求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解．考点二复数的几何意义基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2019·杭二模拟)在复平面内，复数z＝i1＋i对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选Az＝i1＋i＝i1－i1＋i1－i＝12＋12i，其在复平面内对应的点为12，12，位于第一象限．2．(2019·河北“五校联盟”质检)在复平面内与复数z＝2i1＋i所对应的点关于实轴对称的点为A，则A对应的复数为()A．1＋iB．1－iC．－1－iD．－1＋i解析：选B因为z＝2i1＋i＝2i1－i1＋i1－i＝i(1－i)＝1＋i，所以A点坐标为(1，－1)，其对应的复数为1－i.3．(2019·浙江十校联盟适考)复数z＝2i1＋i(i为虚数单位)的虚部为________，其共轭复数在复平面内对应的点位于第________象限．解析：因为z＝2i1＋i＝2i1－i1＋i1－i＝1＋i，所以z的虚部为1，z＝1－i，故复数z的共轭复数在复平面内对应的点为(1，－1)，位于第四象限．答案：1四[谨记通法]对复数几何意义的理解及应用(1)复数z、复平面上的点Z及向量OZ―→相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔OZ―→.(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．考点三复数的代数运算基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2019·浙江名校协作体联考)3－i1＋i＝()A.52B.10C.102D.5解析：选D法一：3－i1＋i＝3－i1－i1＋i1－i＝2－4i2＝1－2i，|1－2i|＝5，即3－i1＋i＝5，故选D.法二：3－i1＋i＝|3－i||1＋i|＝102＝5，故选D.2．(2019·嘉兴模拟)设复数z＝1－i(i是虚数单位)，则2z＋z等于()A．2B．－2C．2iD．－2i解析：选A2z＋z＝21－i＋1－i＝21＋i1－i1＋i＋1－i＝1＋i＋1－i＝2.3．(2019·浙江期初联考)已知i是虚数单位，若复数z满足41＋z＝1－i，则z·z＝()A．4B．5C．6D．8解析：选B由41＋z＝1－i，得z＝41－i－1＝1＋2i，所以z＝1－2i，则z·z＝(1＋2i)(1－2i)＝5，故选B.4．(2018·全国卷Ⅱ)1＋2i1－2i＝()A．－45－35iB．－45＋35iC．－35－45iD．－35＋45i解析：选D1＋2i1－2i＝1＋2i21－2i1＋2i＝－3＋4i5＝－35＋45i.[谨记通法]复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．[提醒]在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．(1)(1±i)2＝±2i；1＋i1－i＝i；1－i1＋i＝－i；(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·浙江9＋1期中)已知i为虚数单位，z表示复数的共轭复数，若z＝1＋i，则z·zi＝()A．2iB．－2iC．2D．－2解析：选Bz·zi＝1＋i1－ii＝2i＝－2i.2．(2019·湖州模拟)已知复数a＋2i1＋i(i是虚数单位)是纯虚数，则实数a＝()A．－2B．－1C．0D．2解析：选Aa＋2i1＋i＝a＋2i1－i1＋i1－i＝a＋2＋2－ai2是纯虚数，所以a＋2＝0，解得a＝－2.3．(2018·杭州名校协作体二模)在复平面内，复数z和i1－i表示的点关于虚轴对称，则复数z为()A.12＋12iB.12－12iC．－12＋12iD．－12－12i解析：选A因为i1－i＝i1＋i1－i1＋i＝－12＋12i，其在复平面内对应的点为－12，12，所以由条件可知z＝12＋12i.故选A.4．(2019·金丽衢十二校联考)设a∈R，若复数z＝a＋i1＋i(i为虚数单位)的实部和虚部相等，则a＝________，|z|＝________.解析：a＋i1＋i＝a＋i1－i1＋i1－i＝a＋1＋1－ai2，所以a＋1＝1－a，解得a＝0.所以z＝12＋12i，所以|z|＝12－12i＝22.答案：0225．设复数a＋bi(a，b∈R)的模为3，则(a＋bi)(a－bi)＝________.解析：∵|a＋bi|＝a2＋b2＝3，∴(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3.答案：3二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·杭州质检)设z＝i1－i(i为虚数单位)，则1|z|＝()A.22B.2C.12D．2解析：选B因为z＝i1－i＝i1＋i1－i1＋i＝－12＋12i，所以|z|＝－122＋122＝22，所以1|z|＝2.2．(2019·宁波模拟)已知复数z满足z(1＋i)＝2－i，则z的虚部为()A．－32iB.32iC．－32D.32解析：选C因为z(1＋i)＝2－i，所以z＝2－i1＋i＝2－i1－i1＋i1－i＝12－32i，所以其虚部为－32.3．定义运算abcd＝ad－bc，则符合条件z1＋i－i2i＝0的复数z的共轭复数z在复平面内对应的点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B由题意得，2zi－[－i(1＋i)]＝0，则z＝－i1＋i2i＝－12－12i，∴z＝－12＋12i，其在复平面内对应的点在第二象限，故选B.4．已知复数z＝1＋2i1－i，则1＋z＋z2＋…＋z2018＝()A．1＋iB．1－iC．iD．0解析：选C∵z＝1＋2i1－i＝1＋2i1＋i2＝i，∴1＋z＋z2＋…＋z2018＝1×1－z20191－z＝1－i20191－i＝1－i4×504·i31－i＝i.5．(2019·杭州七校联考)已知复数z＝2＋ai(a∈R)，|(－1＋i)z|＝32，则a的值是()A．±5B.5C．±3D.3解析：选A法一：|(－1＋i)z|＝|(－2－a)＋(2－a)i|＝－2－a2＋2－a2＝2a2＋8＝32，则a＝±5，故选A.法二：|(－1＋i)z|＝|－1＋i|·|z|＝2·22＋a2＝32，则a＝±5，故选A.6．(2018·嘉兴4月)若复数z满足(3＋i)z＝2－i(i为虚数单位)，则z＝________，|z|＝________.解析：因为(3＋i)z＝2－i，所以z＝2