2020高考数学第六章数列与数学归纳法

第六章数列与数学归纳法第一节数列的概念与简单表示法1．数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{an}的第n项an通项公式数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式前n项和数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和2.数列的表示方法列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点(n，an)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项使用公式表示的方法递推公式使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法3.an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.4．数列的分类[小题体验]1．已知数列{an}的前4项为12，34，78，1516，则数列{an}的一个通项公式为________．答案：an＝2n－12n(n∈N*)2．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an2an＋3，则a5等于________．答案：11613．(教材改编题)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝3n－1，则an＝________.答案：2×3n－11．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．2．易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．3．在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形．[小题纠偏]1．已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝n2＋1，则数列{an}的通项公式是________．答案：an＝2，n＝1，2n－1，n≥22．数列{an}的通项公式为an＝－n2＋9n，则该数列第________项最大．答案：4或5考点一由数列的前几项求数列的通项公式基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．(2019·温岭模拟)将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2018项与5的差即a2018－5＝()A．2017×2024B．2017×1012C．2018×2024D．2018×1012解析：选B结合图形可知，该数列的第n项为an＝2＋3＋4＋…＋(n＋2)，所以a2018－5＝4＋5＋6＋…＋2020＝2017×2020＋42＝2017×1012.2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：(1)4,6,8,10，…；(2)(易错题)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…；(3)－1,7，－13,19,…；(4)9,99,999,9999，….解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以它的一个通项公式an＝2(n＋1)，n∈N*.(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式an＝(－1)n×1nn＋1，n∈N*.(3)这个数列，去掉负号，可发现是一个等差数列，其首项为1，公差为6，所以它的一个通项公式为an＝(－1)n(6n－5)，n∈N*.(4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1000－1，10000－1，所以它的一个通项公式an＝10n－1，n∈N*.[谨记通法]由数列的前几项求数列通项公式的策略(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征，并对此进行归纳、联想，具体如下：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项符号特征等．(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．考点二由an与Sn的关系求通项an重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式．(1)Sn＝n2＋1；(2)Sn＝2n－an.解：(1)a1＝S1＝1＋1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－(n－1)2－1＝2n－1，而a1＝2，不满足此等式．所以an＝2，n＝1，2n－1，n≥2.(2)当n＝1时，S1＝a1＝2－a1，所以a1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n－an)－[2(n－1)－an－1]＝2－an＋an－1，即an＝12an－1＋1，即an－2＝12(an－1－2)．所以{an－2}是首项为a1－2＝－1，公比为12的等比数列，所以an－2＝(－1)·12n－1，即an＝2－12n－1.[由题悟法]已知Sn求an的3个步骤(1)先利用a1＝S1求出a1；(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．[即时应用]已知数列{an}的前n项和为Sn.(1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an；(2)若an＞0，Sn＞1，且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，求an.解：(1)a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2，当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)＝(－1)n＋1·[n＋(n－1)]＝(－1)n＋1·(2n－1)，又a1也适合此式，所以an＝(－1)n＋1·(2n－1)．(2)当n＝1时，a1＝S1＝16(a1＋1)(a1＋2)，即a21－3a1＋2＝0.解得a1＝1或a1＝2.因为a1＝S1＞1，所以a1＝2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝16(an＋1)(an＋2)－16(an－1＋1)(an－1＋2)，所以(an－an－1－3)(an＋an－1)＝0.因为an＞0，所以an＋an－1＞0，所以an－an－1－3＝0，所以数列{an}是以2为首项，3为公差的等差数列．所以an＝3n－1.考点三由递推关系式求数列的通项公式题点多变型考点——多角探明[锁定考向]递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接．常见的命题角度有：(1)形如an＋1＝anf(n)，求an；(2)形如an＋1＝an＋f(n)，求an；(3)形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an.[题点全练]角度一：形如an＋1＝anf(n)，求an1．在数列{an}中，a1＝1，an＝n－1nan－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式．解：∵an＝n－1nan－1(n≥2)，∴an－1＝n－2n－1an－2，an－2＝n－3n－2an－3，…，a2＝12a1.以上(n－1)个式子相乘得an＝a1·12·23·…·n－1n＝a1n＝1n.当n＝1时，a1＝1，上式也成立．∴an＝1n(n∈N*)．角度二：形如an＋1＝an＋f(n)，求an2．设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．解：由题意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝n－12＋n2＝n2＋n－22.又∵a1＝1，∴an＝n2＋n2(n≥2)．∵当n＝1时也满足此式，∴an＝n2＋n2(n∈N*)．角度三：形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an3．已知数列{an}满足a1＝1，当n≥2，n∈N*时，有an＝2an－1－2，求数列{an}的通项公式．解：因为an＝2an－1－2，所以an－2＝2(an－1－2)．所以数列{an－2}是以a1－2＝－1为首项，2为公比的等比数列．所以an－2＝(－1)×2n－1，即an＝2－2n－1.[通法在握]典型的递推数列及处理方法递推式方法示例an＋1＝an＋f(n)叠加法a1＝1，an＋1＝an＋2nan＋1＝anf(n)叠乘法a1＝1，an＋1an＝2nan＋1＝Aan＋B(A≠0,1，B≠0)化为等比数列a1＝1，an＋1＝2an＋1[演练冲关]根据下列条件，求数列{an}的通项公式．(1)a1＝1，an＋1＝an＋2n(n∈N*)；(2)a1＝1,2nan＋1＝(n＋1)an(n∈N*)；(3)a1＝1，an＝3an－1＋4(n≥2)．解：(1)由题意知an＋1－an＝2n，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n－1.(2)由2nan＋1＝(n＋1)an，得an＋1an＝n＋12n.所以an＝anan－1·an－1an－2·an－2an－3·…·a2a1·a1＝n2n－1·n－12n－2·n－22n－3·…·22×1×1＝n2n－1.(3)因为an＝3an－1＋4(n≥2)，所以an＋2＝3(an－1＋2)．因为a1＋2＝3，所以{an＋2}是首项与公比都为3的等比数列．所以an＋2＝3n，即an＝3n－2.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2018·嘉兴七校联考)已知数列{an}的通项公式为an＝n2＋n，则a5＝()A．25B．30C．10D．12解析：选B因为an＝n2＋n，所以a5＝25＋5＝30.2．(2018·浙江三地联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足log2(Sn＋1)＝n(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝()A．2nB．2n－1C．2n－1－1D.1，n＝1，2n，n≥2解析：选B由log2(Sn＋1)＝n可得Sn＝2n－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1；当n＝1时，a1＝S1＝21－1＝1满足上式．所以数列{an}的通项公式an＝2n－1.3．(2018·衢州模拟)已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝2anan＋2，则数列{an}的通项公式an为()A.1n＋1B.2n＋1C.1nD.2n解析：选B由an＋1＝2anan＋2可得1an＋1＝an＋22an＝1an＋12.所以数列1an是以1a1＝1为首项，公差为12的等差数列，所以1an＝n＋12，即an＝2n＋1.4．(2018·诸暨模拟)已知数列{an}中，对任意的p，q∈N*都满足ap＋q＝apaq，若a1＝－1，则a9＝________.解析：由题可得，因为a1＝－1，令p＝q＝1，则a2＝a21＝1；令p＝q＝2，则a4＝a22＝1；令p＝q＝4，则a8＝a24＝1，所以a9＝a8＋1＝a1a8＝－1.答案：－15．(2019·杭州模拟)设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8＝________，a2＋a3＋a4＝________.解析：因为Sn＝n2，所以a8＝S8－S7＝82－72＝15，a2＋a3＋a4＝S4－S1＝42－1＝15.答案：1515二保高考，全练题型做到高考达标1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是an等于()A.－1n＋12B．cosnπ2C．cosn＋12πD．cosn＋22π解析：选D令n＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D正确．2．(2019·天台模拟)已知数列{an}的前n项和Sn，且满足Sn＝2an－3(n∈N*)，则S6＝()A．192B．189C．96D．93解析：选B因为Sn＝2an－3，当n＝1时，S1＝2a1－3＝a1，解得a1＝3.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－3－2an－1＋3＝2an－2an－1，解得anan－1＝2.所以数列{an}是首项为3，公比为2的等比数列，所以S6＝31－261－2＝