专题04导数2020年高考数学理二轮专项复习

专题04导数导数的概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用．在本专题中，我们将复习导数的概念及其运算，体会导数的思想及其内涵；应用导数探索函数的单调性、极值等性质，感受导数在解决数学问题和实际问题中的作用．导数的相关问题主要围绕以下三个方面：导数的概念与运算，导数的应用，定积分与微积分基本定理．§4－1导数概念与导数的运算【知识要点】1．导数概念：(1)平均变化率：对于函数y＝f(x)，定义1212)()(xxxfxf为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．换言之，如果自变量x在x0处有增量x，那么函数f(x)相应地有增量f(x0＋x)－f(x0)，则比值xxfxxf)()(00就叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋x之间的平均变化率．(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是xxfxxfx)()(lim000，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)，即xxfxxfxfx)()(lim)(0000.(3)函数y＝f(x)的导函数(导数)：当x变化时，f′(x)是x的一个函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称导数)，即xxfxxfxfx)()(lim)(0.2．导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数f(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f(x0)．3．导数的运算：(1)几种常见函数的导数：①(C)′＝0(C为常数)；②(xn)′＝nxn－1(x＞0，n∈Q*)；③(sinx)′＝cosx；④(cosx)′＝－sinx；⑤(ex)′＝ex；⑥(ax)′＝axlna(a＞0，且a≠1)；⑦xx1)(ln；⑧exxaalog1)(log(a＞0，且a≠1)．(2)导数的运算法则：①[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)；②[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)；③)0)(()()()()()(])()([2xvxvxvxuxvxuxvxu.(3)简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b))的导数：设函数y＝f(u)，u＝g(x)，则函数y＝f(u)＝f[g(x)]称为复合函数．其求导步骤是：xy＝uf·xg，其中uf表示f对u求导，xg表示g对x求导．f对u求导后应把u换成g(x)．【复习要求】1．了解导数概念的实际背景；2．理解导数的几何意义；3．能根据导数定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝x3，xyxy,1的导数；4．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；5．理解简单复合函数(仅限于形如f(ax＋b))导数的求法．【例题分析】例1求下列函数的导数：(1)y＝(x＋1)(x2－1)；(2)11xxy；(3)y＝sin2x；(4)y＝ex·lnx．解：(1)方法一：y′＝(x＋1)′(x2－1)＋(x＋1)(x2－1)′＝x2－1＋(x＋1)·2x＝3x2＋2x－1．方法二：∵y＝(x＋1)(x2－1)＝x3＋x2－x－1，∴y′＝(x3＋x2－x－1)′＝3x2＋2x－1．(2)方法一：222)1(2)1()1()1()1()1)(1()1()1()11(xxxxxxxxxxxy方法二：∵12111.xxxy，∴2)1(2)12()121('xxxy.(3)方法一：y'＝(sin2x)'＝(2sinx·cosx)'＝2[(sinx)'·cosx＋sinx·(cosx)']＝2(cos2x－sin2x)＝2cos2x．方法二：y'＝(sin2x)'·(2x)'＝cos2x·2＝2cos2x．(4))(lneln)e(xxyxx＝xxxxxxxe)1(lnelne．【评析】理解和掌握求导法则和式子的结构特点是求导运算的前提条件．运用公式和求导法则求导数的基本步骤为：①分析函数y＝f(x)的结构特征；②选择恰当的求导法则和导数公式求导数；③化简整理结果．应注意：在可能的情况下，求导时应尽量减少使用乘法的求导法则，可在求导前利用代数、三角恒等变形等方法对函数式进行化简，然后再求导，这样可减少运算量．(如(1)(2)题的方法二较方法一简捷)．对于(3)，方法一是使用积的导数运算公式求解，即使用三角公式将sin2x表示为sinx和cosx的乘积形式，然后求导数；方法二是从复合函数导数的角度求解．方法二较方法一简捷．对利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数要熟练、准确．例2(1)求曲线y＝x2在点(1，1)处的切线方程；(2)过点(1，－3)作曲线y＝x2的切线，求切线的方程．【分析】对于(1)，根据导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数f'(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，可求出切线的斜率，进而由直线方程的点斜式求得切线方程．对于(2)，注意到点(1，－3)不在曲线y＝x2上，所以可设出切点，并通过导数的几何意义确定切点的坐标，进而求出切线方程．解：(1)曲线y＝x2在点(1，1)处的切线斜率为y′＝2x｜x＝1＝2，从而切线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0．(2)设切点的坐标为),(200xx．根据导数的几何意义知，切线的斜率为y'＝2x|0xx＝2x0，从而切线的方程为).(20020xxxxy因为这条切线过点(1，－3)，所以有)1(230020xxx，整理得032020xx，解得x0＝－1，或x0＝3．从而切线的方程为y－1＝－2(x＋1)，或y－9＝6(x－3)，即切线的方程为2x＋y＋1＝0，或6x－y－9＝0．【评析】用导数求曲线的切线方程，常依据的条件是：①函数y＝f(x)在点x0处的导数f'(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f'(x0)；②切点既在切线上又在曲线上，即切点的坐标同时满足切线与曲线的方程．例3设函数f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f'(x)的最小值为－12．求a，b，c的值．【分析】本题考查函数的奇偶性、二次函数的最值、导数的几何意义等基础知识，以及推理能力和运算能力．题目涉及到三个未知数，而题设中有三个独立的条件，因此，通过解方程组来确定参数a、b、c的值．解：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c，∴c＝0．∵f'(x)＝3ax2＋b的最小值为－12，∴b＝－12．又直线x－6y－7＝0的斜率为61，因此，f'(1)＝3a＋b＝－6，∴a＝2．综上,a＝2，b＝－12，c＝0．例4已知a＞0，函数axxf1)(，x∈(0，＋∞)．设ax201，记曲线y＝f(x)在点M(x1，f(x1))处的切线为l．(1)求l的方程；(2)设l与x轴的交点是(x2，0)，证明：ax102.【分析】对于(1)，根据导数的几何意义，不难求出l的方程；对于(2)，涉及到不等式的证明，依题意求出用x1表示的x2后，将x2视为x1的函数，即x2＝g(x1)，结合要证明的结论进行推理．解：(1)对f(x)求导数，得21)(xxf，由此得切线l的方程为：)(1)1(1211xxxaxy．(2)依题意，切线方程中令y＝0，得211112122)1(axxxaxxx．由ax201，及)2(2112112axxaxxx，有x2＞0；另一方面，aaxaaxxx1)1(2212112，从而有ax102，当且仅当ax11时，ax12.【评析】本题考查的重点是导数的概念和计算、导数的几何意义及不等式的证明．涉及的基础知识都比较基本，题目难度也不大，但把导数的相关知识与不等式等内容有机整合，具有一定新意，体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法．本题中的(2)在证明ax102时，还可用如下方法：①作法，.0)1(1211212112axaaxxaxa②利用平均值不等式，aaxaxaaxaxaaxxx1)22(1)2)((1)2(21111112．例5设函数),(1)('Zbabxaxxf，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3．(1)求f'(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．解：(1)2)(1)('bxaxf，于是,0)2(1,12122baba解得,1,1ba或.38,49ba因为a，b∈Z，所以11)(xxxf(2)证明：已知函数y1＝x，xy12都是奇函数，所以函数xxxg1)(也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．而1111)(xxxf，可知，函数g(x)的图象按向量a＝(1，1)平移，即得到函数f(x)的图象，故函数f(x)的图象是以点(1，1)为中心的中心对称图形．(3)证明：在曲线上任取一点)11,(000xxx．由200)1(11)('xxf知，过此点的切线方程为)]()1(11[110200020xxxxxxy．令x＝1得1100xxy，切线与直线x＝1交点为)11,1(00xx；令y＝x得y＝2x0－1，切线与直线y＝x交点为(2x0－1，2x0－1)．直线x＝1与直线y＝x的交点为(1，1)；从而所围三角形的面积为2|22||12|21|112||111|2100000xxxxx．所以，所围三角形的面积为定值2．练习4－1一、选择题：1．(tanx)′等于()(A)x2sin1(B)x2sin1(C)x2cos1(D)x2cos12．设f(x)＝xlnx，若f'(x0)＝2，则x0等于()(A)e2(B)e(C)22ln(D)ln23．函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a等于()(A)81(B)41(C)21(D)14．曲线xy21e在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()(A)2e29(B)4e2(C)2e2(D)e2二、填空题：5．f'(x)是1231)(3xxxf的导函数，则f'(－1)＝______．6．若函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f'(1)＝______．7．过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为______；切线的斜率为______．8．设函数f(x)＝xekx(k≠0)，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是______．三、解答题：9．求下列函数的导数：(1)y＝x－ex；(2)y＝x3＋cosx；(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(4)xxyln10．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(1，1)，B(2，－1)，且该曲线在点B处的切线方程为y＝x－3，求a、b、c的值．11．求曲线24121232xyxy与在交点处的两条切线的夹角的大小．§4－2导数的应用【知识要点】1．利用导数判断函数的单调性：(1)函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：设函数f(x)在区间(a，b)内可导，①如果恒有f'(x)＞0，那么函数f(x)在区间(a，b)内单调递增；②如果恒有f'(x)＜0，那么函数f(x)在区间(a，b)内单调递减．值得注意的是，若函数f(x)在区间(a，b)内有f'(x)≥0(或f'(x)≤0)，但其中只有有限个点使得f'(x)＝0，