专题06平面向量2020年高考数学理二轮专项复习

专题06平面向量平面向量是工具性的知识，向量的坐标化使得向量具有代数和几何两种形式，它把“数”和“形”很好地结合在一起，体现了重要的数学思想方法，在高考中，除了对向量本身的概念与运算的知识进行考察外，向量还与平面几何、三角几何、解析几何、立体几何等知识综合在一起考查，本专题应该掌握向量的基本概念、向量的运算方法与公式以及向量的应用．§6－1向量的概念与运算【知识要点】1．向量的有关概念与表示(1)向量：既有方向又有大小的量，记作向量cba,,,AB自由向量：数学中所研究的向量是可以平移的，与位置无关，只要是长度相等，方向相同的向量都看成是相等的向量．(2)向量的模：向量的长度，记作：|||,|aAB向量的夹角：两个非零向量a，b，作baOBOA,，则(AOB称为向量a，b的夹角，记作：〈a，b〉零向量：模为0，方向任意的向量，记作：0单位向量：模为1，方向任意的向量，与a共线的单位向量是：)0(||aaa(3)相等向量：长度相等，且方向相同的向量叫相等向量．相反向量：长度相等，方向相反的向量．向量共线：方向相同或相反的非零向量是共线向量，零向量与任意向量共线；共线向量也称为平行向量．记作a∥b向量垂直；〈a，b)＝90°时，向量a与b垂直，规定：0与任意向量垂直．2．向量的几何运算(注意：运算法则、运算律)(1)加法：平行四边形法则、三角形法则、多边形法则．(2)减法：三角形法则．(3)数乘：记作：a．它的长度是：｜a｜＝｜｜·｜a｜它的方向：①当＞0时，a与a同向②当＜0时，a与a反向③当＝0时，a＝0(4)数量积：①定义：a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉其物理背景是力在位移方向所做的功．②运算律：1．(交换律)a·b＝b·a2．(实数的结合律)(a·b)＝(a)·b＝a·(b)3．(分配律)(a＋b)·c＝a·c＋b·c③性质：设a，b是非零向量，则：a·b＝0a⊥ba与b同向时，a·b＝｜a｜·｜b｜a与b反向时，a·b＝－｜a｜·｜b｜特殊地：a·a＝｜a｜2或aaa||夹角：||||,cosbababa|a·b|≤|a||b|3．向量的坐标运算若在平面直角坐标系下，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)(1)加法：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)(2)减法：a－b＝(x1－x2，y1－y2)(3)数乘：a＝(x1，y1)(4)数量积：a·b＝x1x2＋y1y2(5)若a＝(x，y)，则22||yxa(6)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则222221212121||||,cosyxyxyyxxbababa(7)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则221221)()(||yyxxAB(8)a在b方向上的正射影的数量为22222121||,cos||yxyyxxbbabaa4．重要定理(1)平行向量基本定理：若a＝b，则a∥b，反之：若a∥b，且b≠0，则存在唯一的实数使得a＝b(2)平面向量基本定理：如果e1和e2是平面内的两个不共线的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2使a＝a1e1＋a2e2(3)向量共线和垂直的充要条件：若在平面直角坐标系下，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)则：a∥bx1y2－x2y1＝0，a⊥bx1x2＋y1y2＝0(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则2121yyxxba【复习要求】1．准确理解相关概念及表示，并进行简单应用；2．掌握向量的加法、减法、数乘运算的方法、几何意义和坐标运算，了解向量的线性运算的法则、性质；会选择合适的方法解决平面向量共线等相关问题；3．熟练掌握向量的数量积的运算、性质与运算律，会利用向量的数量积解决有关长度、角度、垂直、平行等问题．【例题分析】例1向量a、b、c是非零的不共线向量，下列命题是真命题的个数有()个(1)(b·c)a－(c·a)b与c垂直，(2)若a·c＝b·c，则a＝b，(3)(a·b)c＝a(b·c)，(4)a·b≤｜a｜｜b｜A．0B．1C．2D．3【分析】(1)真命题，注意：向量的数量积是一个实数，因此[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，所以c(b·c)a－(c·a)b与c垂直；(2)假命题．a·c＝b·c≠a＝b；即向量的数量积不能两边同时消掉相同的向量，比如：向量a与向量b都是与向量c垂直且模长不等的向量，可以使得左边的式子成立，但是a、b这两个向量不相等；(3)假命题．(a·b)c≠a(b·c)，实际上(a·b)c是与向量c方向相同或相反的一个向量，a(b·c)是与a方向相同或相反的一个向量，向量a、c的方向可以不同，左右两边的向量就不等；(4)真命题．a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉，且cos〈a，b〉≤1，所以a·b≤｜a｜｜b｜．解答：选C．【评析】(1)我们在掌握向量的有关概念时要力求准确和完整，比如平行向量(共线向量)、零向量等，注意积累像这样的容易错误的判断并纠正自己的认识；(2)向量的加减运算与数乘运算的结果仍然是一个向量，而向量的数量积运算结果是一个实数，要熟练掌握向量的运算法则和性质．例2已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝()A．)37,97(B．)97,37(C．)97,37(D．)37,97(【分析】知道向量的具体坐标，可以进行向量的坐标运算；向量的平行与垂直的关系也可以用坐标体现，因此用待定系数法通过坐标运算求解．解：不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m，2＋n)，a＋b＝(3，－1)，对于(c＋a)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)；又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，则有37,97nm故选择D【评析】平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用．此外，待定系数法是在解决向量的坐标运算中常用的方法．例3(1)已知向量)10,(),5,4(),12,(kOCOBkOA，且A、B、C三点共线，求实数k的值．(2)已知向量a＝(1，1)，b＝(2，－3)，若ka－2b与a垂直，求实数k的值．【分析】(1)向量a与b(b≠0)共线存在实数m使a＝mb．当已知向量的坐标时，a∥bx1y2－x2y1＝0．(2)利用向量的数量积能够巧妙迅速地解决有关垂直的相关问题．a·b＝0a⊥bx1x2＋y1y2＝0解：(1)∵)10,(),5,4(),12,(kOCOBkOA,∴)5,4(),7,4(kCBkAB,∵A、B、C三点共线，∴CBAB//，即(4－k)(－5)－(4＋k)(－7)＝0，解得：32k(2)由(ka－2b)⊥a，得(ka－2b)·a＝ka2－2b·a＝2k－2·(2－3)＝0，所以k＝－1．【评析】①向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数m使a＝mb；当已知向量的坐标时，a∥bx1y2－x2y1＝0．若判断(或证明)两个向量是否共线，只要判断(或证明)两个向量之间是否具有这样的线性关系即可；反之，已知两个向量具有平行关系时，也有线性等量关系成立．②利用向量的共线定理来解决有关求参数、证明点共线或线段平行，以及利用向量的数量积解决垂直问题等是常见的题型，注意在解题过程中适当选择方法、正确使用公式，并注意数形结合．例4已知：｜a｜＝2，｜b｜＝5，〈a，b〉＝60°，求：①a·b；②(2a＋b)·b；③｜2a＋b｜；④2a＋b与b的夹角的余弦值【分析】利用并选择合适的公式来求数量积、模、夹角等：a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉＝x1x2＋y1y2aaaaaa||||2，若a＝(x，y)，则22||yxa222221212121||||,cosyxyxyyxxbababa解：①∵｜a｜＝2，｜b｜＝5，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉＝5；②(2a＋b)·b＝2a·b＋b·b＝10＋25＝35；③;6125201644)2(|2|222bbaababa④6161756135||)2()2(|||2|)2(,2cos2bbabbabbabbabba【评析】向量的数量积是一个非常好的工具，利用向量的数量积可以解决求长度、角度、距离等相关问题，同时用向量的数量积解决垂直相关问题也是常见的题型，注意使用正确的公式．例5已知向量a＝(sin，cos－2sin)，b＝(1，2)．(Ⅰ)若a∥b，求tan的值；(Ⅱ)若｜a｜＝｜b｜，0＜＜，求的值．【分析】已知向量的坐标和平行关系与模长，分别用坐标公式刻画．解：(Ⅰ)因为a∥b，所以2sin＝cos－2sin，于是4sin＝cos，故41tan．(Ⅱ)由｜a｜＝｜b｜知，sin2＋(cos－2sin)2＝5，所以1－2sin2＋4sin2＝5．从而－2sin2＋2(1－cos2)＝4，即sin2＋cos2＝－1，于是22)4π2sin(又由0＜＜知，49π4π24π，所以45π4π2，或47π4π2因此2π，或43π．例6设a、b、c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为()(A)－2(B)22(C)－1(D)21【分析】由向量的模长以及夹角，考虑从数量积的运算寻找解决问题的突破口解：∵a，b，c是单位向量，∴(a－c)·(b－c)＝a·b－(a＋b)·c＋c221〉,〈cos121cba故选D．例7在△ABC，已知23||.||32BCACABACAB，求角A，B，C的大小．【分析】熟悉向量的数量积的形式，再结合三角公式来解决问题解：设BC＝a，AC＝b，AB＝c由||||32ACABACAB得bcAbc3cos2，所以23cosA又A∈(0，)，因此6πA由23||||3BCACAB得23abc，于是43sin3sinsin2ABC所以43)sin23cos21(sin,43)6π5sin(sinCCCCC，因此02cos32sin,3sin32cossin22CCCCC，即0)3π2sin(C由6πA知6π50C，所以34π3π2,3πC，从而03π2C，或π3π2C，即6πC，或32πC，故6π,32π,6πCBA，或32π,6π,6πCBA【评析】向量往往是一步工具性的知识应用，继而转化为三角函数、不等式、解三角形等知识，因此，熟练准确掌握向量的基本概念、基本运算法则、性质，以及灵活选择合适的公式非常必要．练习6－1一、选择题1．平面向量a，b共线的充要条件是()A．a，b方向相同B．a，b两向量中至少有一个为零向量C．∈R，b＝aD．存在不全为零的实数1，2，1a＋2b＝02．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，a＋b与a垂直，则是()A．－1B．1C．－2D．23．已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且ADBC2，则顶点D的坐标为()A．)27,2(B．)21,2(C．(3，2)D．(1，3)4．设△ABC的三个内角A，B，C，向量)cos3,(cos),sin,sin3(ABBAnm，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝()A．6πB．3πC．32πD．65π二、填空题5．设a＝(2k＋2，4)，b＝(8，k＋1)，若a与b共线，则k值为______．6．已知向量),3(),2,1(mOBOA，若ABOA，则