搜索
高等数学题解天津大学数学系2005年4月1第一章习题1—12．设1cos)2(sin+=xxf，求)(xf及)2(cosxf解)2sin1(21cos)2(sin2xxxf−=+=.得),1(2)(2xxf−=]1,1[−∈x..2sin2)2cos1(2)2(cos22xxxf=−=（或xcos1−）3．若⎩⎨⎧+∞≤∞+=.0,20-,1)(xxxxfx当，当求),0(),2(ff−).1()5(−xff及解,1)2(−=−f,1)0(=f52)5(=f令1−=xt.由于⎩⎨⎧+∞≤∞+=ttttft0,2,0-,1)(当当则⎩⎨⎧+∞−≤−∞−+=−−10,201-),1(1)1(1xxxxfx当当⎩⎨⎧+∞≤∞=−.1,21-,1xxxx当，当4．设单值函数)(uf满足关系式：,0lg)(lg2)(lg22=+−uuuufuf[]101,∈u且,0)0(=f求)(xf解由,0lg)(lg2)(lg22=+−uuuufuf得).lg11(10)lg11()(lglguuuufu−±=−±=故)11(10)(xxfx−−=，]1,0[∈x.（由,0)0(=f舍去)11(10)(xxfx−+=.）5．设),(2xtfxy−=且当1=x时，.21212+−=tty求)(xf解当1=x时，,2121)1(212+−=−=tttfy于是.)1()1(2−=−ttf故.)(2xxf=26．判定函数xxxf⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=321321)(的奇偶性解由于xxxxxf−−−−++−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=−)32()32(321321)()(321321xfxx=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=故)(xf为偶函数.7．求函数xxf2sin)(2=的周期.解设)(xf的周期为T，则24cos1)(xxf−=.由于21是常数，x4cos21的周期为2π，可知函数)(xf的周期是2π=T.8．证明：函数)(xf在区间),(ba内有界的充分必要条件是)(xf在区间),(ba内既有上界，又有下界.证明“必要性”设)(xf在区间),(ba内有界，即存在0M使得对每一个),(bax∈皆有Mxf≤)(，,)(MxfM≤≤−因此M−和M分别是函数)(xf在),(ba内的下界和上界.“充分性”设)(xf在),(ba内有上界1M和下界1m，即对每一个),(bax∈皆有1)(Mxf≤，.1)(mxf≥令{,max1MM=}1m则对每一个),(bax∈有,)(11MMxfmM≤≤≤≤−于是,)(Mxf≤故)(xf在),(ba内有界.9．求函数⎪⎩⎪⎨⎧−−=+==0,1,0,0,0,1)(22xxxxxxfy当当当的反函数解由于函数21xy+=)0(x的值域为,1()∞+，故它的反函数为1−=xy)1(x，又函数21xy−−=)0(x的值域为,(−∞)1−，故它的反函数为1−−−=xy)1(−x.因此所求函数的反函数为3⎪⎩⎪⎨⎧−−−−=−=.1,1,0,0,1,1xxxxxy当当当10．设函数)(xf满足关系式)0(,)1()(≠=+uucubfuaf其中,a,bc为常数，且ba≠，求).(xf解由ucubfuaf=+)1()(…………………………（1）（1）式中将u换为u1得到)()1(cuubfuaf=+………………………（2）由(1)和(2)解出).0(,)()()(222≠−−=uubabuacuf从而).0(,)()()(222≠−−=xxbabxacxf11．求由函数xxf+=11)(所确定的复合函数)]([xff的定义域解由xxf+=11)(，)1(−≠x，有)]([xff=,21)11(11)(11xxxxf++=++=+)2,1(−−≠x4习题1—23．证明下列等式成立（1）xxxchsh22sh=；证明22222sh22xxxxxxeeeeeex−−−+⋅−⋅=−=xxchsh2=.（2）xexx=+chsh；证明xxxxxeeeeexx=++−=+−−22chsh.（3）xexx−=−shch；证明xxxxxeeeeexx−−−=−−+=−22shch.（4）.1shch22=−xx证明.14)(4)(shch2222=−−+=−−−xxxxeeeexx4．对函数)(xf,],[llx−∈,证明等式)]()([21)]()([21)(xfxfxfxfxf−−+−+=成立.指出)]()([21xfxf−+与)]()([21xfxf−−的奇偶性.证明)]()([21)]()([21xfxfxfxf−−+−+=)()(21)(21)(21)(21xfxfxfxfxf=−−+−+.令)]()([21)(xfxfx−+=ϕ，)]()([21)(xfxfx−−=ψ，则=−−+−=−)]}([)({21)(xfxfxϕ)()]()([21xxfxfϕ=−+故)]()([21xfxf−+，]),[(llx−∈为偶函数.而=−−−−=−)]}([)({21)(xfxfxψ)]()([21xfxf−−)()]()([21xxfxfψ−=−−−=故)]()([21xfxf−−，]),[(llx−∈为奇函数.5．设2)(xx=ϕ，xx2)(=ψ，求)],([xψϕ)],([xϕψ)]([xϕϕ和)]([xψψ解xxx222)2()]([==ψϕ；22)]([xx=ϕψ；422)2()]([xx==ϕϕ；xx22)]([=ψψ.56．设),(21)(xxaaxf−+=（0a）证明：)()(2)()(tfxftxftxf=−++.证明⋅=2)()(2tfxf⋅+−)(21xxaa)(21ttaa−+++=−+xttxaa(21)txtxaa−−−+][21)(txtxaa+−++=+][21)(txtxaa−−−+)()(txftxf−++=.7．在半径为R的球内作内接圆柱体，求此圆柱体的体积V与它的高h之间的函数关系.解设圆柱截面圆的半径为r，则222⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=hRr.于是hhRhrV)4(222−==ππ.8．有一倒圆锥体的容器，上口半径cm7=r，高cm14=H，如果以每分钟35cm的速度向此容器内注入液体，求容器内液体深度h与时间t的函数关系.解设在圆锥容器内液体的液面半径为R)cm70(=≤≤rR，液面的高为h)cm140(=≤≤Hh，则21==HrhR，或hR21=.于是圆锥内液体的体积为：32123hhRVππ==)cm140(≤≤h在t分钟内，流入容器内液体的体积为t5，故3125htπ=h与t的函数关系为360thπ=，]15686,0[π∈t.6复习题11．填空题（1）设函数)(xf的定义域为]1,0[，则)(sinxf的定义域为],)12(,2[ππ+kkZk∈.（2）设1)(−=xxxf，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡)(1xff)1,0(≠x的表达式为)1,0(,1≠−xx.（3）设)(21)(xxxf+=，⎩⎨⎧≥=.0,,0,)(2xxxxxg则)]([xgf⎩⎨⎧≥=.0,,0,02xxx.2．选择题（1）若,1)1(22xxxxf+=+则)1(xxf−的值为（A）221xx+；（B）22−x；（C）4122−+xx；（D）4122++xx.答（C）（2）若对任意实数yx,有yxyfxf−=−)()(，且0)0(=f，则)()(yfxf等于（A）yx+；（B）xy；（C）yx−；（D）0.答（B）（3）下列函数为周期函数的是（A）xxfsin)(=；（B）2sin)(xxf=；（C）⎥⎦⎤⎢⎣⎡−=33][)(xxxf；（D）xxxfcos)(=.答（C）3．设)11()1(2++=xxxf，)0(x.求)(xf.解因为22221111111)1(⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛++=xxxxxxxf所以,1)(22xxxxf++=)0(x.4．求函数)1(log2−+=xxya，)1,0(≠aa的反函数.解因为712−+=xxay，12−+−=−xxay.所以2yyaax−+=知反函数为2xxaay−+=.5．设)(21xtfxy−=，且当1=x时，5212+−=tty，求)(xf.解当=x1时，)1(21−=tfy5212+−=tt.故9)1(102)1(22+−=+−=−ttttf，知9)(2+=xxf.6．若bxaxf+=)(，设]})([{)(4434421L个nnxfffxf=，验证xbbbaxfnnn+−−=11)(.解用数学归纳法：当1=n时，bxaxf+=)(1.设kn=时，有xbbbaxfkkk+−−=11)(.则当1+=kn时，xbbbaxbbbabaxbfaxffxfkkkkkkk1111111)()]([)(++++−−=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−+=+==故有xbbbaxfnnn+−−=11)(.8第二章习题2—13．根据数列极限定义证明：（1）232253lim=++∞→nnn证明因为,111232253nnnn+=−++所以，对,0∀ε取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ε1N，当Nn时，恒有ε−++232253nn成立.由定义232253lim=++∞→nnn.（2）0)1(1lim=−+∞→nnn证明由于nnn20)1(1−−+，故对,0∀ε取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ε2N，则当Nn时，恒有ε−−+0)1(1nn成立，由定义0)1(1lim=−+∞→nnn。（3）021lim=∞→nn证明由于nn21021=−，对,0∀ε要使εn21，只需2ln1lnεn，故10∀ε，取,2ln1ln⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=εN当Nn时，恒有ε−021n成立.由定义021lim=∞→nn（4）02coslim=∞→nnnπ9证明因为,102cosnnn−π所以对,0∀ε取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ε1N，则当Nn时επ−02cosnn.由定义02coslim=∞→nnnπ.4．证明：如果aunn=∞→lim，则limaunn=∞→，并举例说明若limaunn=∞→，则aunn=∞→lim未必成立.证明由aunn=∞→lim，知对,0∀ε∃0N，使对一切Nn，恒有ε−aun.又由于ε−≤−auaunn，知limaunn=∞→.举例设nnu)1(−=，有1lim=∞→nnu，而nnnnu)1(limlim−=∞→∞→不存在.5．设axnn=∞→lim，且ba，证明一定存在一个整数N，使当Nn时，bxn恒成立.证明因为axnn=∞→lim，且ba，所以对,0−=baε必∃0N，当Nn时，恒有,baaxn−−即axabn−−.故当Nn时，bxn恒成立.6．设数列{}nx有界，又0lim=∞→nny，证明0lim=∞→nnnyx.证明由于{}nx有界，必0∃M，使对一切n，均有Mxn.又因0lim=∞→nny，10故对,0∀ε必∃01N，当1Nn时，恒有Myynnε=−0.于是对上述0ε，取1NN=，当Nn时，恒有εε=⋅=−MMyxyxnnnn0成立，即0lim=∞→nnnyx.11习题2—21．用函数极限定义证明（1）2)13(lim1=−→xx证明对,0∀ε欲使ε−=−−13213xx，只需31ε−x.于是对,0∀ε取3εδ=，当δ−10x时，恒有ε−−213x.由定义2)13(lim1=−→xx.（2）424lim22−=+−−→xxx证明对,0∀ε由于=−−+−)4(242xxε+=+−242xx，所以取εδ=，当δ+20x时，恒有ε−−+−)4(242xx成立.由定义424lim22−=+−−→xxx（3）01lim3=∞→xx证明对,0∀ε欲使ε=−33101xx.只需ε13x.即31εx即可.取31ε=N,则当Nx时,恒有ε−013x成立.由定义01lim3=∞→xx.12（4）211lim1=−−→xxx证明对,0∀ε由于11121211−+−=−+=−−−xxxxxx，取εδ=，当δ−1