高等数学第四册(数学物理方法)

1第一章复数与复变函数（1）1.计算(1).(2)(12)222;iiiiii122(12)(34)(2)5102122.;345(34)(34)591655iiiiiiiiiiii5551(3).;(1)(2)(3)(13)(3)102iiiiiii4222(4).(1)[(1)](2)4;iii1122222222(5).()[()]ababiabiabiabab11222224[(cossin)]()(cossin);22abiabi3.设11,2iz23;zi试用三角形式表示12zz及12zz。解：121cossin;(cossin);44266zizi121155[cos()sin()](cossin);2464621212zzii122[cos()sin()]2(cossin);46461212ziiz11.设123,,zzz三点适合条件1230zzz及1231;zzz试证明123,,zzz是一个内接于单位圆z=1的正三角形的顶点。证明：1230;zzz123231;312;;zzzzzzzzz122331;zzzzzz123,,zzz所组成的三角形为正三角形。1231zzz123,,zzz为以z为圆心，1为半径的圆上的三点。xz1z2z32即123z,z,z是内接于单位圆的正三角形。17.证明：三角形内角和等于。证明：有复数的性质得：321321311223arg;arg;arg;zzzzzzzzzzzz1332213112231;zzzzzzzzzzzzarg(1)2;k(0,);(0,);(0,);(0,3);0;k;第一章复数与复变函数（2）7.试解方程4400zaa。解:由题意44za,所以有410zaa;4cossiniziea;所以24(0,1,2,3)kizeka;41izae;342izae;543izae;744izae.12．下列关系表示的z点的轨迹的图形是什么？它是不是区域？1212(1).()zzzzzz解：此图形表示一条直线，它不是区域。(2).4;zzZ3yoZ1Z2x3解：2222(4)xyxy即816;2;xx此图形为x2的区域。1(3).1;1zz解：222211(1)(1);zzxyxy；22;0;xxx此图形为x0的区域。(4).0arg(1)2Re()3;4zz且解：此图形表示[2,3]区间辐角在[0,]4的部分。(5).1Im0;zz且解：1z表示半径为1的圆的外上半部分及边界，它是区域。12(6).Im;yzy解：它表示虚部大于1y小于等于2y的一个带形区域。(7).231;zz且解：此图形表示两圆的外部。131(8).;2222iizz且解：211()22y2x，2231()22xy，它表示两相切圆半径为12的外部区域。(9).Im12;zz且解：此图形表示半径为2的圆的内部，且Im1z的部分，它是区域。(10).20arg;4zz且）解：此图象表示半径为2的圆的内部且辐角主值在40,的部分，它是区域。4第二章解析函数（1）4.若函数fz在区域D上解析，并满足下列的条件，证明fz必为常数.0fzzD证明：因为fz在区域上解析，所以,uvuvxyyx。令,,fzuxyivxy，即0uvfzixy。由复数相等的定义得：0uvxy，0uvyx。所以，1,uxyC(常数)，2,vxyC(常数)，即12fzCiC为常数。5.证明函数在z平面上解析，并求出其导数。（1）(cossin)(cossin).xxexyyyieyyxy证明：设,,fzuxyivxy=(cossin)(cossin).xxexyyyieyyxy则,(cossin)xuxyexyyy，,(cossin)xvxyeyyxy(cossin)cosxxuexyyyeyx；cossincosxxxveyyyexyey(sinsincos)xuexyyyyy；(cossinsin)xveyyxyyx满足;uvuvxyyx。即函数在z平面上,xy可微且满足CR条件，故函数在z平面上解析。()(cossincos)(cossinsin)xxuvfziexyyyyieyyxyyxx8．由已知条件求解析函数fzuiv，22uxyxy，()1fii。解：2,2xyuxyuyx，2,2xxyyuu。所以0xxyyuu即u是平面上调和函数。由于函数解析，根据CR条件得2xyuvxy，于是，22()2yvxyx,其中()x是x的待定函数，再由C—R条件的另一个方程得2'()xvyx=2yuyx，所以'()xx，即2()2xxc。于是22222yxvxyc5又因为()1fii，所以当0,1xy，时1u，112vc得12c所以22221(2)222yxfzxyxyixy。第二章解析函数（2）12.设是z的解析函数，证明xyuv，xyvu(,)uivzxiy。证明：是z上的解析函数，所以，在,xy上处处可微，即uvxy，uvyx，所以，uvyvuxxyvyxu，所以xyuv，同理，uvyvuxyyvxxu，所以，xyvv，即得所证。14.若zxiy，试证：（1）sinsincoszxchyixshy。证：sinsin()sincoscossinzxiyxiyxiy=()sincos22iiyiiyiiyiiyeeeexxi=()sincos22yyiiyyeeeexixsincosxchyixshy18.解方程ln2iz。解：lnlnarg02izziz，即1,arg2zz，设zxiy221xy，arg2xiy得0,1xy，即zi。20.试求2(1),3,,iiiiiie及(1)Lni。解：(2)222,0,1,2,ikikiiLniieeekln2(2)(1)244(1)(cosln2sinln2)ikiiLnikieeiee，0,1,2,k(1)ln(1)2ln22ln2(2)44Lniiikiikik，0,1,2,k3(ln32)3cosln3sinln3iiLnikeei222(cos1sin1)iieeeei622，求证0sinlim1zzz证:zxiy(x,y,均为实数)，所以,sinsin()limlimzxyzxiyzxiy当0x则极限趋近于z轴，有sinlim1iyiyiyiyeeiyiyz当0y时，则极限趋于z轴，有sinlim1xxx，故sinlim1zzz。第三章柯西定理柯西积分（1）1.计算积分120),ixyixdz（积分路径是直线段。解：令z=(1+i)dz，dz=(1+i)dt，则：120(1)itidz1+i20(x-y+ix)dz312011(1)(1)033tiitdti。2.计算积分路径是（1）直线段，（2）右半单位圆，（3）左半单位圆。解：1(11)zittdzidtzt（）令，，，111110()iizdztidtitdtitdti所以(2).cossin()(sincos)122zidzdz令：，，，则2222sincos022iizididii3(3).cossin((sincos)122zidzidz令从到），，，223322sincos022iizdidii5.不用计算，证明下列分之值为零，其中C为单位圆。（1）coscdzz，（2）222cdzzz，（3）256zcedzzz，解：（1）因为函数1f(z)=cos在单位圆所围的区域内解析，所以0coscdzz。（2）因为函数()fz21z+2z+2在单位圆内解析，所以02cdzz+2z+2。7（3）Dzz2ee因为函数f(z)==的解析区域包含拉单位围线z+5z+6(z+2)(z+3)0dzz2ce所以由哥西积分定理有z+5z+66.计算1zdzz，1zdzz，1zdzz，1zdzz。解：1112(1)21zzdzdzifizz（）。2110(2)0iizzdzieddez。210cossin(3)0cossinziddzzi。210(4)2zdzdz。7.由积分2cdzz之值，证明2012cos054cosd，其中取单位圆。证明：因为被积函数的奇点2z在积分围道1z外，故02cdzz，现令izre，则在1z上cossinizei，cossinidziediid，2cdzz20cossin2cossiniidicossin2cossin2cossin2cossiniidii20-=202sin2cos154cosid，比较可得：202sin054cosd，202cos1054cosd。第三章柯西定理柯西积分（2）8.计算：（1）221:21czzdzCzz，。解：222122112(2)111ccczzzzzzdzdzzdzzzz11(21)(2)11cccczdzzdzdzdzzz002(1)2ifi。810.设C表圆周23y2x，2371cfzdz，求f1+i。解：设2371g，它在复平面内解析，故当zC时，则由哥西积分公式有2237122371ccgfddzigzizzZzz，所以21123712671226zizifizzizi1+i。11.求积分,:1,zcedzCzz从而证明：coscos(sin)ed0。解：由于:1Cz，函数zefzz在0z处不解析，0(2)2zzzcedzieiz。令,iizedzied，则cossin22cos00cos(sin)sin(sin)2ziiiceedi