设计必修五课堂讲义3-4-1

预习导学预习导学课堂讲义第三章不等式高中数学·必修5·人教A版3.4基本不等式：ab≤a＋b2第1课时基本不等式的证明预习导学预习导学课堂讲义第三章不等式[学习目标]1．理解基本不等式的内容及证明．2．能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小．3．能初步运用基本不等式证明简单的不等式．预习导学预习导学课堂讲义第三章不等式[知识链接]下列说法中，正确的有________．(1)a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2(2)(a±b)2≥0；(3)a2＋b2≥(a＋b)2；(4)(a＋b)2≥(a－b)2.答案(1)(2)解析当a，b同号时，有a2＋b2≤(a＋b)2，所以(3)错误；当a，b异号时，有(a＋b)2≤(a－b)2，所以(4)错误．预习导学预习导学课堂讲义第三章不等式[预习导引]1．重要不等式如果a，b∈R，那么a2＋b22ab(当且仅当时取“＝”号)．2．基本不等式ab≤a＋b2(1)基本不等式成立的条件：.(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号．≥a＝ba0，b0a＝b预习导学预习导学课堂讲义第三章不等式3．算术平均数与几何平均数(1)设a0，b0，则a，b的算术平均数为a＋b2，几何平均数为ab；(2)基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数它们的几何平均数．不小于预习导学预习导学课堂讲义第三章不等式4．基本不等式的常用推论(1)ab≤a＋b22≤a2＋b22(a，b∈R)；(2)ba＋ab≥(a，b同号)；(3)当ab0时，ba＋ab≥；当ab0时，ba＋ab≤；(4)a2＋b2＋c2ab＋bc＋ca，(a，b，c∈R)．22－2≥课堂讲义预习导学课堂讲义第三章不等式要点一基本不等式的证明例1证明下列不等式，并指出“＝”号成立的条件：(1)a2＋b2≥2ab；(2)ab≤a＋b2(a0，b0)．课堂讲义预习导学课堂讲义第三章不等式证明(1)∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，取“＝”．(2)∵a＋b－2ab＝(a)2＋(b)2－2a·b＝(a－b)2≥0.∴a＋b≥2ab.∴ab≤a＋b2，当且仅当a＝b时，取“＝”．课堂讲义预习导学课堂讲义第三章不等式规律方法a2＋b2≥2ab对a、b∈R都成立，a＋b2≥ab成立的条件是a，b∈R＋，两个不等式“＝”号成立的条件都是a＝b.课堂讲义预习导学课堂讲义第三章不等式跟踪演练1还有一种证明ab≤a＋b2(a0，b0)的方法叫做分析法，下面设计了分析法证明这个不等式的过程，你能不能把过程中留的空填正确？要证：a＋b2≥ab(a＞0，b＞0)①只要证：a＋b≥________②要证②，只要证a＋b－________≥0③要证③，只要证(________－________)2≥0④显然，④是成立的，当且仅当a＝b时，④的等号成立．答案2ab2abab课堂讲义预习导学课堂讲义第三章不等式要点二不等式的证明例2(1)已知a，b，c为任意的实数，求证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.(2)已知a，b，c为不全相等的正数，求证a＋b＋c＞ab＋bc＋ca.课堂讲义预习导学课堂讲义第三章不等式证明(1)∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.(2)∵a＞0，b＞0，c＞0，∴a＋b≥2ab＞0，b＋c≥2bc＞0，c＋a≥2ca＞0.∴2(a＋b＋c)≥2(ab＋bc＋ca)，即a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立．∴a＋b＋c＞ab＋bc＋ca.课堂讲义预习导学课堂讲义第三章不等式规律方法在利用基本不等式证明的过程中，常需要把数、式合理地拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式．课堂讲义预习导学课堂讲义第三章不等式跟踪演练2已知x、y都是正数．求证：(1)yx＋xy≥2；(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.(3)已知a、b、c都是正数，求证(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc.证明(1)∵x，y都是正数，∴xy＞0，yx＞0，∴xy＋yx≥2xy·yx＝2，即xy＋yx≥2.当且仅当x＝y时，等号成立．课堂讲义预习导学课堂讲义第三章不等式(2)∵x，y都是正数，∴x＋y≥2xy＞0，x2＋y2≥2x2y2＞0，x3＋y3≥2x3y3＞0.∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥2xy·2x2y2·2x3y3＝8x3y3.即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.当且仅当x＝y时，等号成立．(3)∵a，b，c都是正数，∴a＋b≥2ab＞0，b＋c≥2bc＞0，c＋a≥2ac＞0.∴(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥2ab·2bc·2ac＝8abc.即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc.当且仅当a＝b＝c时等号成立．课堂讲义预习导学课堂讲义第三章不等式要点三含条件的不等式的证明例3已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求证：1a＋1b＋1c≥9.证明∵a＋b＋c＝1，∴1a＋1b＋1c＝a＋b＋ca＋a＋b＋cb＋a＋b＋cc＝3＋ba＋ca＋ab＋cb＋ac＋bc＝3＋ba＋ab＋ca＋ac＋cb＋bc≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c＝13时，取等号．课堂讲义预习导学课堂讲义第三章不等式规律方法使用基本不等式证明问题时，要注意条件是否满足，同时注意等号能否取到，问题中若出现“1”要注意“1”的整体代换，多次使用基本不等式，要注意等号能否同时成立．课堂讲义预习导学课堂讲义第三章不等式跟踪演练3设实数x，y满足y＋x2＝0，且0＜a＜1，求证：loga(ax＋ay)＜18＋loga2.证明∵ax＞0，ay＞0，∴ax＋ay≥2ax＋y，又∵0＜a＜1，∴loga(ax＋ay)≤loga2ax＋y＝12logaax＋y＋loga2＝12(x＋y)＋loga2.课堂讲义预习导学课堂讲义第三章不等式因为y＋x2＝0，∴loga(ax＋ay)≤12(x－x2)＋loga2＝－12(x－12)2＋18＋loga2≤18＋loga2，又上式中等号不能同时取到，所以原不等式得证．预习导学预习导学课堂讲义第三章不等式再见