第一章集合与函数概念单元总结

1第一章集合与函数概念单元总结第一课集合1．集合的含义与表示(1)集合元素的特征：______、______、无序性．(2)元素与集合的关系：属于(∈)，不属于()．(3)自然数集：______；正整数集：________；整数集：______；有理数集：______；实数集：______.(4)集合的表示方法：______、______和____．2．集合的基本关系(2)子集个数结论：①含有n个元素的集合有_____个子集；②含有n个元素的集合有_____个真子集；③含有n个元素的集合有______个非空真子集．3．集合间的三种运算(1)并集：A∪B＝_________________．(2)交集：A∩B＝__________________(3)补集：∁UA＝{x|x∈U且xA}．4．集合的运算性质(1)并集的性质：A⊆B⇔A∪B＝______.(2)交集的性质：A⊆B⇔A∩B＝______.(3)补集的相关性质：A∪(∁UA)＝U，A∩(∁UA)＝∅.∁U(∁UA)＝A.[体系构建]2[题型探究]集合的基本概念例1(1)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()A．1B．3C．5D．9(2)已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m为()A．2B．3C．0或3D．0,2,3均可[规律方法]解决集合的概念问题应关注两点1研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么.如本例1中集合B中的元素为实数，而有的是数对点集.2对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性.[跟踪训练]1．下列命题正确的有()①很小的实数可以构成集合；②集合{}y|y＝x2－1与集合{(x，y)|y＝x2－1}是同一个集合；③1，32，64，－12，0.5这些数组成的集合有5个元素；④集合{(x，y)|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限内的点集.A．0个B．1个C．2个D．3个3集合间的基本关系例2已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，若A⊆B，且B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，求实数m的取值范围．思路探究：A⊆B――→结合数轴得到关于m的不等式―→得m的取值范围母题探究：1.把本例条件“A⊆B”改为“A＝B”，求实数m的取值范围．2．把本例条件“A⊆B，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}”改为“B⊆A，B＝{m＋1≤x≤2m－1}”，求实数m的取值范围．[规律方法]集合间的基本运算的关键点1∅：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解.2端点值：已知两集合间的关系求参数的取值范围时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的条件，常用数轴解决此类问题.提醒：求其中参数的取值范围时，要注意等号是否能取到.集合的基本运算例3设U＝R，A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2x4}，C＝{x|a≤x≤a＋1}，a为实数，(1)分别求A∩B，A∪(∁UB)．(2)若B∩C＝C，求a的取值范围.[规律方法]集合基本运算的关注点41看元素组成.集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提.2有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决.3注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图.[跟踪训练]2．已知集合A＝{x|4≤x8}，B＝{x|5x10}，C＝{x|xa}．(1)求A∪B，(∁RA)∩B；(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围．第二课函数及其基本性质1．函数的三要素______、________、________．2．函数的表示方法解析法、列表法、图象法．3．函数的单调性①奇函数在对称区间上的单调性____；偶函数在对称区间上的单调性____．②在公共区域上：增函数＋增函数＝______，减函数＋减函数＝______，增函数－减函数＝______，减函数－增函数＝______．4．函数的奇偶性(1)奇偶函数的定义域关于____对称．(2)奇函数的图象关于____中心对称，偶函数的图象关于____成轴对称．(3)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么它们在公共定义域上，满足：5奇函数＋奇函数＝______，奇函数×奇函数＝______，偶函数＋偶函数＝______，奇函数×偶函数＝______．[体系构建][题型探究]求函数的定义域例1(1)求函数y＝5－x＋x－1－1x2－9的定义域．(2)将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的解析式，并写出此函数的定义域．[规律方法]1已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合.2实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义.[跟踪训练]1．函数f(x)＝3x21－x＋(3x－1)0的定义域是()A.－∞，13B.13，1C.－13，13D.－∞，13∪13，16求函数的解析式例2(1)函数f(x)在R上为奇函数，当x0时，f(x)＝x＋1，则f(x)的解析式为________．(2)已知f1＋xx＝1＋x2x2＋1x，则f(x)的解析式为________．[规律方法]求函数解析式的题型与相应的解法1已知形如fgx的解析式求fx的解析式，使用换元法或配凑法.2已知函数的类型往往是一次函数或二次函数，使用待定系数法.3含fx与f－x或fx与f1x，使用解方程组法.4已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法.[跟踪训练]2．(1)已知f(x)－3f(－x)＝2x－1，则f(x)＝________.(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b∈R，a≠0)满足条件：①当x∈R时，f(x)的图象关于直线x＝－1对称；②f(1)＝1；③f(x)在R上的最小值为0.求函数f(x)的解析式.函数的性质及应用例3已知函数f(x)＝ax＋b1＋x2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f12＝25.(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明f(x)在(－1,1)上是增函数．思路探究：(1)用f(0)＝0及f12＝25求a，b的值；7(2)用单调性的定义求解．母题探究：1.在本例条件不变的情况下解不等式：f(t－1)＋f(t)0.2．把本例条件“奇函数”改为“偶函数”，求f(x)的解析式．[规律方法]巧用奇偶性及单调性解不等式1利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为fx1fx2或fx1fx2的形式.2根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式求解.函数的图象及应用例4对于函数f(x)＝x2－2|x|.(1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性；(2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值.[规律方法]因为函数的图象从图形上很好地反映了函数的性质，所以在研究函数的性质时要注意结合图象，在解方程和不等式时有时需画出图象，利用数形结合能达到快速解题的目的.[跟踪训练]3．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数f(x)，在(0，＋∞)上为增函数，当x0时，f(x)的图象如图1­1所示，则不等式x[f(x)－f(－x)]0的解集是______．8图1­1