圆周运动及临界问含解析

专题二十三种面内的圆周运动及临界问题（精练）1．（多选）如图所示，两根长度相同的细线分别系有两个完全相同的小球，细线的上端都系于O点。设法让两个小球均在水平面上做匀速圆周运动。已知L1跟竖直方向的夹角为60°，L2跟竖直方向的夹角为30°，下列说法正确的是A．细线L1和细线L2所受的拉力大小之比为3:1B．小球m1和m2的角速度大小之比为3:1C．小球m1和m2的向心力大小之比为3:1D．小球m1和m2的线速度大小之比为33:1【答案】AC两小球角速度相等，质量相等，由合外力提供向心力，有F＝mgtanθ＝mωv，则小球m1和m2的线速度大小之比为v1v2＝F1F2＝3，故D错误。2．（多选）如图甲，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，受到的弹力为F，速度大小为v，其F－v2图象如乙图所示。则A．小球的质量为aRbB．当地的重力加速度大小为RbC．v2＝c时，小球对杆的弹力方向向下D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等【答案】AD3．（多选）长为L的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直平面内做圆周运动。关于小球在最高点的速度v，下列说法中正确的是A．当v的值为gL时，杆对小球的弹力为零B．当v由gL逐渐增大，杆对小球的拉力逐渐增大C．当v由gL逐渐减小时，杆对小球的支持力逐渐减小D．当v由零逐渐增大时，向心力也逐渐增大【答案】ABD【解析】在最高点，若速度v＝gL，则轻杆对小球的作用力为零，当v＞gL，轻杆表现为拉力，速度增大，向心力增大，则轻杆对小球的拉力增大，A、B正确；当v＜gL时，轻杆表现为支持力，速度减小，向心力减小，则杆对小球的支持力增大，C错误；在最高点，根据F向＝mv2L得，速度增大，向心力逐渐增大，D正确。4．（多选）“水流星”是一种常见的杂技项目，该运动可以简化为轻绳一端系着小球在竖直平面内的圆周运动模型，如图所示，已知绳长为l，重力加速度为g，则A．小球运动到最低点Q时，处于失重状态B．小球初速度v0越大，则在P、Q两点绳对小球的拉力差越大C．当v06gl时，小球一定能通过最高点PD．当v0gl时，细绳始终处于绷紧状态【答案】D联立①②③解得：F2－F1＝6mg，与小球的速度无关，故B错误；球恰好经过最高点P，mg＝mv23l，得：v3＝gl④小球以v0向上运动到最高点时，mg·2l＝12mv20－12mv24⑤得：v42glgl＝v3，所以小球一定能够过最高点P.故C正确；若v0gl，设小球能够上升的最大高度为h，mgh＝12mv2012mgl，所以hl2.所以细绳始终处于绷紧状态.故D正确。5．如图所示，将一篮球从地面上方B点斜向上抛出，刚好垂直击中篮板上A点，不计空气阻力，若抛射点B向篮板方向水平移动一小段距离，仍使抛出的篮球垂直击中A点，则可行的是A．增大抛射速度v0，同时减小抛射角θB．减小抛射速度v0，同时减小抛射角θC．增大抛射角θ，同时减小抛出速度v0D．增大抛射角θ，同时增大抛出速度v0【答案】C6．如图所示，放于竖直面内的光滑金属细圆环半径为R，质量为m的带孔小球穿于环上，同时有一长为R的细绳一端系于球上，另一端系于圆环最低点，绳的最大拉力为2mg。当圆环以角速度ω绕竖直直径转动时，发现小球受三个力作用。则ω可能为A．3gRB．32gRC．3g2RD．g2R【答案】B【解析】因为圆环光滑，所以这三个力肯定是重力、环对球的弹力、绳子的拉力。细绳要产生拉力，绳要处于拉伸状态，根据几何关系可知，此时细绳与竖直方向的夹角为60°。当圆环旋转时，小球绕竖直轴做圆周运动，向心力由三个力在水平方向的合力提供，其大小为F＝mω2r，根据几何关系，其中r＝Rsin60°一定，所以当角速度越大时，所需要的向心力越大，绳子拉力越大，所以对应的临界条件是小球在此位置刚好不受拉力，此时角速度最小，需要的向心力最小，对小球进行受力分析得Fmin＝2mgsin60°，即2mgsin60°＝mωmin2Rsin60°，解得ωmin＝2gR；当绳子的拉力达到最大时，角速度达到最大，同理可知，最大角速度为ωmax＝6gR，故只有B正确。7．如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上O、A两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m的小球上，OA＝OB＝AB，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB始终在竖直平面内，若转动过程OB、AB两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是A．OB绳的拉力范围为0～33mgB．OB绳的拉力范围为33mg～233mgC．AB绳的拉力范围为33mg～233mgD．AB绳的拉力范围为0～233mg【答案】B8．如图所示，竖直环A半径为r，固定在木板B上，木板B放在水平地面上，B的左右两侧各有一挡板固定在地上，B不能左右运动，在环的最低点静放有一小球C，A、B、C的质量均为m。现给小球一水平向右的瞬时速度v，小球会在环内侧做圆周运动，为保证小球能通过环的最高点，且不会使环在竖直方向上跳起（不计小球与环之间的摩擦阻力），则瞬时速度v必须满足A．最小值4grB．最大值6grC．最小值3grD．最大值7gr【答案】D9．如图所示，一质量为M的光滑大圆环，用一细轻杆固定在竖直平面内；套在大环上质量为m的小环（可视为质点），从大环的最高处由静止滑下。重力加速度大小为g。当小环滑到大环的最低点时，大环对轻杆拉力的大小为A．Mg－5mgB．Mg＋mgC．Mg＋5mgD．Mg＋10mg【答案】C10（多选）如图所示，一位同学玩飞镖游戏。圆盘最上端有一P点，飞镖抛出时与P等高，且距离P点为L。当飞镖以初速度v0垂直盘面瞄准P点抛出的同时，圆盘以经过盘心O点的水平轴在竖直平面内匀速转动。忽略空气阻力，重力加速度为g，若飞镖恰好击中P点，则A．飞镖击中P点所需的时间为Lv0B．圆盘的半径可能为gL22v02C．圆盘转动角速度的最小值为2πv0LD．P点随圆盘转动的线速度可能为5πgL4v0【答案】AD11．（多选）如图所示，半径为R的光滑细圆环轨道被固定在竖直平面上，轨道正上方和正下方分别有质量为2m和m的静止小球A、B，它们由长为2R的轻杆固定连接，圆环轨道内壁开有环形小槽，可使细杆无摩擦、无障碍地绕其中心点转动。今对上方小球A施加微小扰动。两球开始运动后，下列说法正确的是A．轻杆转到水平位置时两球的加速度大小相等B．轻杆转到竖直位置时两球的加速度大小不相等C．运动过程中A球速度的最大值为4gR3D．当A球运动到最低点时，两小球对轨道作用力的合力大小为133mg【答案】ACD【解析】两球做圆周运动，在任意位置角速度相等，则线速度和向心加速度大小相等，选项A正确，B错误；A、B球组成的系统机械能守恒，当系统重力势能最小（即A球在最低点）时，线速度最大，则mg·2R＝12·3mv2，最大速度v＝4gR3，选项C正确；A球在最低点时，分别对A、B球受力分析，FNA－2mg＝2mv2R，FNB＋mg＝mv2R，则FNA－FNB＝13mg3，选项D正确。12．（多选）如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F−v2图像如图乙所示。则A．小球的质量为aRbB．当地的重力加速度大小为RbC．v2＝c时，小球对杆的弹力方向向上D．v2＝2b时，小球受到的弹力与重力大小相等【答案】ACD13．（多选）如图所示，一个固定在竖直平面内的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过0.3s后又恰好垂直与倾角为45°的斜面相碰。已知半圆形管道的半径为R＝1m，小球可看做质点且其质量为m＝1kg，g取10m/s2。则A．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是0.9mB．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是1.9mC．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是1ND．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是2N【答案】AC14．（多选）如图所示，竖直放置的光滑圆轨道被固定在水平地面上，半径r＝0.4m，最低点处有一小球（半径比r小很多），现给小球一水平向右的初速度v0，则要使小球不脱离圆轨道运动，v0应当满足，取g＝10m/s2A．v0≥0B．v0≥4m/sC．v0≥25m/sD．v0≤22m/s【答案】CD15．（多选）如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法中正确的是A．小球通过最高点时的最小速度vmin＝gR＋rB．小球通过最高点时的最小速度vmin＝0C．小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球一定无作用力D．小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力【答案】BC16．如图，质量为M的物体内有光滑圆形轨道，现有一质量为m的小滑块沿该圆形轨道在竖直面内作圆周运动。A、C点为圆周的最高点和最低点，B、D点是与圆心O同一水平线上的点。小滑块运动时，物体M在地面上静止不动，则物体M对地面的压力FN和地面对M的摩擦力有关说法正确的是A．小滑块在A点时，FN＞Mg，摩擦力方向向左B．小滑块在B点时，FN＝Mg，摩擦力方向向右C．小滑块在C点时，FN＝（M＋m）g，M与地面无摩擦D．小滑块在D点时，FN＝（M＋m）g，摩擦力方向向左【答案】B【解析】因为轨道光滑，所以小滑块与轨道之间没有摩擦力。小滑块在A点时，与轨道没有水平方向的作用力，所以轨道没有运动趋势，即摩擦力为零；当小滑块的速度v＝gR时，对轨道的压力为零，轨道对地面的压力FN＝Mg，当小滑块的速度v＞gR时，对轨道的压力向上，轨道对地面的压力FN＜Mg，故选项A错误；小滑块在B点时，对轨道的作用力水平向左，所以轨道对地有向左运动的趋势，地面给轨道向右的摩擦力；竖直方向上对轨道无作用力，所以轨道对地面的压力FN＝Mg，故选项B正确；小滑块在C点时，地面对轨道也没有摩擦力；竖直方向上小滑块对轨道的压力大于其重力，所以轨道对地面的压力FN＞（M＋m）g，故选项C错误；小滑块在D点时，地面给轨道向左的摩擦力，轨道对地面的压力FN＝Mg，故选项D错误。17．如图所示，质量为m的木块，用一轻绳拴着，置于很大的水平转盘上，细绳穿过转盘中央的细管，与质量也为m的小球相连，木块与转盘间的最大静摩擦力为其重力的μ倍（μ＝0.2），当转盘以角速度ω＝4rad/s匀速转动时，要保持木块与转盘相对静止，木块转动半径的范围是多少（g取10m/s2）?【答案】0.5m≤r≤0.75m18．如图所示，光滑半圆形轨道处于竖直平面内，半圆形轨道与光滑的水平地面相切于半圆的端点A。一质量为m的小球在水平地面上C点受水平向左的恒力F由静止开始运动，当运动到A点时撤去恒力F，小球沿竖直半圆形轨道运动到轨道最高点B点，最后又落在水平地面上的D点（图中未画出）。已知A、C间的距离为L，重力加速度为g。（1）若轨道半径为R，求小球到达半圆形轨道B点时对轨道的压力大小FN；（2）为使小球能运动到轨道最高点B，求轨道半径的最大值Rm；（3）轨道半径R多大时，小球在水平地面上的落点D到A点距离最大？最大距离xm是多少？【答案】（1）2FLR－5mg（2）2FL5mg（3）FLmg（2）小球恰能运动到轨道最高点时，轨道半径有最大值，则有FN＝2FLRm－5mg＝0解得Rm＝2FL5mg。（3）设小球平抛运动的时间为t，有2R＝12gt2解得t＝4Rg水平位移x＝vt＝2FL－4mgRm·4Rg＝FL－4mgRmgRm2g2当2FL－4mgR＝4mgR时，水平位移最大。解得R＝FL4mgD到A的最大距离xm＝FLmg。19．如图所示，水平放置的圆盘半径为R＝1m，在其边缘C点固定一个高度不计的小桶，在圆盘直径CD的正上方放置一条水平滑道AB，滑道与CD平行。滑道右端B与圆盘圆心O在同一竖直