固体物理大题整理

22212212222122212212()2()212双原子链，，10，质量均为，最近邻,求0,处的,画出色散关系。2210()()解：()10()10()(nnnnnnnnnniqnatniqnatniqamqqdUmUUUUdtdUmUUUUdtUeUeme22222122)()10()(11)(1010)0(10)(11)0(11)(10)(10)011(1011010)=11(10120(cosaiqaiqaiqaiqaiqaiqaiqamemeemmeeeemqm1222++22)2011==0时，,时，220amqqmm12211n-12222()n2221221一维单原子链，晶格常数a，质量M,最近邻力常数，次近邻。1试求一维原子链的色散关系；2长波极限下声波的速度和一维原子链的弹性模量。解：1M(+U2)(2)得：UM(2)(2)M=2(1cosnnnnnniqatiqaiqaiqaiqannndUUUUUUdteUeeUeeUqa2)2(1cos2)qa112212111222111222112212=2sin2sinM2M222222V=2()sin2()sin222当0时，V=2()sin2()sin2=2MMV=qaqafVTaaMMaaMMaaY22221212,=2=a2aMYVMa2,,2,1,,,1,12(),1,,1,,,1,,-1,2二维立方点阵，,,最近邻，每个原子垂直点阵平面作横振动，证明：22coscos.证明：设U,则：4设U++xyxxymmmmmmmiqaqmatmiqaimmmmmmmmmamqaqafdUmUUUUdtAeeeUUUUUUUUmxxx24=2cosqcos4=2(cosqcos4)=2(cosqcos4)2(2coscos)yyxiqaiqaqayyyxyeeaqaaqaqamqaqanm,,第(1,2,3),则第3.6.一维无限长简单晶格，若考虑原子间的长程作用力，第n个与第nm个原子间的恢复力系数为，试求格波的色散关系。解：设原子的质量为M,第n个原子对平衡位置的位移为u个原子对平衡位置的位移是个原子对第个原子的作用力为()()=(2)，第个原子受力的总合为nmnmmnmnmnmnmnmnmnnnnmnmUmnfUUUUUUUnFf,112221()211212,因此第n个原子的运动方程为：将格波的试解代入运动方程，得：()(2)(2)(2)=2(cos1)=-4sin2由此得格波的色散关系为：mmmnmnmnmnmnmnmnmiqnatniqmaiqmammmmmmMUUUdUUUUdtUAeMeeqmaqma21.4sin2mmqma2000022002.8.一维离子链，其上等间距载有2N个离子，设离子间的泡利排斥势只出现在最近邻离子之间，并设离子电荷为q,2ln21(1)试证平衡间距下U(R)1；(2)令晶体被压缩，使R(1),试证明在晶体被压缩单位长度的过程中外力做功的主1ln2c项为,其中；2(3)求原子链被压缩了2NR(1)时的外力.解答：(1)因为离子间是等eeNqRnRnqcRjj间距的，且都等于R，所以认定离子与第j个离子的距离r总可表示成为r,jaR022'''2112000是一整数，于是离子间总的互作用势能2N12U(R)=()21其中+、-号分别对应相异离子和相同离子的作用.一维离子的晶格的马德隆常数为()=2ln2.利用平衡条件0Nqln21得到b=,()2Nqln2().2在平衡间距下()-jnnjjjjjjjRnnnaqbqbNrRarRadUdRRRURnRnRUR000202200022200202020Nqln21(1).1(2)将相互作用势能在平衡间距附近展成级数()()()()()()+，2由外力作的功等于晶体内能的增量，可得外力作之功的主项为1W=U(R)-U(R)()(),2其中利用了平衡条件.将R=(1)代入上式，得到1ln21W=(22RRRRndUdUURURRRRRdRdRdURRdRRnqNRR2200220000).1ln21晶体被压缩单位长度的过程中，外力作的功的主项221ln2令()得到在晶体被压缩单位长度的过程中，外力作的功的主项为.2(3)设=时外力为，由此在弹性范围内，外力与晶体的形变成正比，所以(2),(2),其中为比例系数.离子键被压缩2NR过程中外力作的功eeeeeenqWNRRnqcCGSRcFFNRFNRWFdx02NR220000002002011(2)2(2)2.22ln21由于2,所以离子键被压缩了2时的外力为=.2eeeeeeeeeeeeNRNRdNRNRFqncWNRNRFcR028390016002820002.10.两个原子间互作用势为,当原子构成一稳定分子时，核间距为3，解离能为4,求和.解答：当两原子构成一稳定分子即平衡时，其相互作用势能取极小值，dur28于是有04由此得平衡时两原子间的距离为r,13而平衡时的势能为,24根据定义，解离能为物体全部离解成单个原子时所rrUrrreVdrrrurrrr020120-272-728需要的能量，3其值等于ur.已知解离能为4,因此得4.34再将3,11.60210代入(1),(3)两式，得=7.6910,=1.4010.eVeVreVergergcmergcm2+213.5.设有一长度为L的一价正负离子构成的一维晶格，正负离子间距为a，e正负离子的质量分别为m和,近邻两离子的互相作用势为u(r)=-，式中为电子电荷，和为参量常数，求(1)参数与,及的关系；(2)恢复力系数；解答：(1)若只计算近邻离子的互作用，平衡时，近邻两离子的互作用势能du(r)e取极小值，即要求0，由此得到b=.dr(2)恢复力系数nnrabmrrebnbenaan2223du(r)(1)=.drraena5.1.将布洛赫函数中的调制因子()展成傅里叶级数，对于近自由电子，当电子波矢远离和在布里渊区边界上两种情况下，此级数有何特点？在紧束缚模型下，此级数有有何特点？解答：由布洛赫定理可知，晶体中电子的波函数()(),对比《固体物理教程》(5.1)和(5.39)式可得1()().对于近自由电子，当电子波矢远离布里渊区边界时，它的行为与自由mkikkikmmueuuaeNkrKrrrrrK22电子类似，()近似一常数.因此，()得展开式中，除了a(0)外，其他项可忽略.当电子波矢落在倒格矢正交的布里渊区边界时，与布里渊区边界平行的晶面族对布洛赫波产生了强烈的反射，()展开式中除了(0)和()两项外，其他项可忽略.在紧束缚模型下，电子在格点附近的几率()大，偏离格点的几率()小.对于这样的波函数，其傅里叶级数的展式包含若干项.也就是说kknknnknkuuuaarrKrKRrRr''()''，紧束缚模型下的布洛赫波函数要由若干个平面波来构造.5.2.布洛赫函数满足(+)(),何以见得上式中具有波矢的意义？解答：人们总可以把布洛赫函数()展成傅里叶级数()=(),其中是电子的波矢.将()代入(+)=()，得到.其中利用了=2(是整数),由iihiiieaeeeeppnhnnnkRnkKrhkRnkRkRhnrRrkrrkKkrrRrKR'上式可知，=，即具有波矢的意义.kkk1231231231231235.3.波矢空间遇倒格空间有何关系？为什么说波矢空间内的状态点是准确连续的？解答：波矢空间与倒格空间处于统一空间，倒格空间的基矢分别为,,,而波矢空间的基矢分别为,,;,,分别是沿正格子基矢,,方向晶体NNN的原胞数目.NNNbbbbbbaaa*1*33倒格空间中一个倒格点对应的体积为(),波矢空间中一个波矢点对应的体积为,即波矢空间中一个波矢点对应的体积，是倒格空间中一个1倒格点对应的体积的.由于N是晶体的原胞数目，数目巨大，所以一个波矢点对应的N积与一个倒格点对应的体积相比是极其微小的.也就说，波矢点在倒格空间看是极其稠密的.因此，在波矢空间内的状态点看成是准连续的.5.4231212bbbbbbNNNN.与布里渊区边界平行的晶面族对什么状态的电子具有强烈的散射作用？解答：当电子的波矢满足关系式(+)=0时，与布里渊区边界平行且垂直于的电2子具有强烈的散射作用.此时电子的波矢很大，波矢的末端落在了布里渊区边界上，垂直与布里渊区边界的分量的模等于.2nnnnKkKkKkK123123331122323111.10.求晶格常数为a的面心立方和体心立方晶体晶面族(hhh)的面间距.解答：面心立方正格子的原胞基矢为=(+),=(),=().222222由,,,222可得其倒格基矢为=(-++),=(-+),=(+-).倒格矢+haaaaaaaaah211ajkakiaijaaabbbbijkbijkbijkKb123223312312222123123123232123+.2根据《固体物理教程》(1.16)式,的面心立方晶体晶面族()的面间距2.()()()体心立方正格子原胞基矢可取为=(-++),=(-+),=(+-).22222其倒格子基矢为=(+),=(hhhhhhhhhhdhhhahhhhhhhhhaaaaad11bbKKaijkaijkaijkbjkbk1233123122222331122+),=(+).则晶面族(hhh)的面间距为2.()()()hhhhaadhhhhhhibijK112233001.18.利用转动对称操作，证明六角晶系介电常数矩阵为00.00解答：由《固体物理教程(1.21)式可知，若是一旋转对称操作，则晶体的介电常数满足.对六角晶系，绕x(即a)轴旋180和绕(即)轴旋转120都是对称操作，100坐标变换矩阵分别为010.0011302231022001xzzctAεεAεAAA1213213311121321222331323311111213111213212223212223313233313233.假设六角晶系的介电常数为则有得.可见=0，=0，=0，=0.即.0xx