09第九章 积分变换法

1傅里叶变换傅里叶变换法拉普拉斯变换法掌握用积分变换法求解各种(半)无界问题第九章积分变换法Integraltransformation2核把函数f(x)经过某种可逆的积分手续变成另一个函数积分变换dxxfxpkpf)(),()(~像原用途：将微分、积分运算变为乘法运算；减少偏微分方程的自变量个数；将常微分方程变为像函数的代数方程)(~pf像31.傅里叶积分定理§9.1傅里叶变换lnxbxaaxfnnnnnn,)]sin()cos([2)(10,)cos()(1llnndfla设连续函数f(x)在[–l,l]上有Fourier级数展开llnndflb)sin()(11)](cos[)()(21)(nllnnlldxfdflxf成立范围：–lxl1nnn4若f(x)在(–∞,+∞)上绝对可积，df|)(|Fourier积分定理：则取极限l+(固定x)，黎曼求和变为积分：dxfdxf)](cos[)()(0defdxi)()(2(三角形式)(指数形式)间断点的函数值2/)]0()0([xfxf5第j个坐标位于n维空间的点高维Fourier积分定理r),...,,(21nxxx：直角坐标为jjjdxxx,:...21nndxdxdxrd体积元的点构成的多面体体积n维Fourier积分：nnrinidedefrf)2(])([)(nnndddd...),,...,,(212162.傅里叶变换的定义定义1：函数f(x)的傅里叶变换是函数)](~[1fFdxexffxi)()(~)]([xfFFourier积分定理defedxfixi)(2)(，记作定义2：函数的傅里叶逆变换是函数xiefdxf)(~2)(，记作)(~f7例1：Heaviside阶梯函数定义为0,00,1)(xxxH0)(~dxeefxix解：i1逆变换222)(iedxfxi0,00,2/10,)sin()cos(222xxxexxdx22i取实部求f(x)=exH(x)的Fourier变换，0?1)]([0ixHF8Fourier变换的其它定义1,)()(~sdxexfAfxis正变换defAxfxis)(~21)(逆变换高维Fourier变换rinnefdrf)(~)2()(正变换逆变换rderffnri)()(~9设f(x)的Fourier变换为3.Fourier变换的基本性质(线性性质)][][][)1(2121ffffFFFdxexffxi)()(~(延迟性质))(~)]([)2(00fxfexiF(位移性质))(~)]([)3(00fexxfxiF(相似性质))(~||1)]([)4(afaxafF由定义出发可证明：10)(~)()]([)5()(fixfnnF(微分性质))(~)]()[()(nnfxfxiF)/()(~])([)6(ifdfxF(积分性质)xiefdxf)(~2)(xiefidxf)](~[2)(xdfx)()(证明(6)：将微分性质应用于证明(5)：由傅立叶积分定理11dfxfxfxf)()()(*)(2121•定义两个函数f1(x),f2(x)的卷积为函数)]([)]([)](*)([()7(2121xfxfxfxfFFF(卷积定理)卷积的性质：)*(**)*(,**3213211221ffffffffffdxdfxfedxexfxfxixi)()()(*)(2121x证明：ddffei)()(21)()]([)]([21xfxfFF12§9.2傅里叶变换法1.波动问题)()0,(),()0,(0,2xxuxxutuautxxtt•关于变量x作傅里叶变换：)(~)(),(~)(),,(~),(xxtutxuxietudtxu),(~2),(xittxxttetuatuduau)],(~),(~[20222=013•求解关于t的微分方程(为参数)：代入初值)(~)0,(~),(~)0,(~0),(~),(~22tttuutuatuataBtaAtu)sin()cos(),(~通解)(~),(~BA)sin()(~)cos()(~),(~taatatu14)sin()(~)cos()(~),(~taatatu2)(~)(~taitaiee积分性质xdxi)()(),/()(~)(~位移性质)(~)]([taieatxF2)]([)]([atxatxFFaeetaiati2)(~)(~aatxatx2)]([)]([FF•作逆变换：taxtaxdataxtaxtxu2)(2)()(),(152.输运问题)()0,(0,2xxutuauxxt•关于变量x作傅里叶变换：)(~)0,(~0),(~),(~22utuatut)(~)(),,(~),(xtutxu•求解关于t的微分方程：taetu22)(~),(~)],([)]([txGxFF卷积定理),(*)(),(txGxtxu(卷积)16]4)2(exp[222222taxtaxitadxitaeedtxG222),(•求函数G(x,t)，其傅立叶变换为)4exp(21222taxtatae22(高斯积分)dtataxtxGxtxu2]4)(exp[)(),(*)(),(22(卷积)173.稳定场问题dxyxuxfuxyuuyyyyxx|),(|lim),(|,0,00•关于变量x作傅里叶变换),(~),(tutxu有界),(~),(~)0,(~0,0),(~),(~2yufuyyuyuyy方程变为•求解关于y的微分方程(为参数)：,),0(~||||yyeBeAyu通解0),(~BfA边界条件yBAyu),0(~18yefyu||)(~),(~•作Fourier逆变换：)],([)]([yxGxfFF0,)],([||yeyxGFyyxieedyxG||2),()0(/22yyxy),(*)(),(yxGxfyxudyxyf22)(/)((卷积)卷积定理