专题1-集合与常用逻辑用语、不等式--第1讲--集合与常用逻辑用语、不等式

集合与常用逻辑用语1．设集合A＝{x|x2－4x＋30}，B＝{x|2x－30}，则A∩B等于()A.－3，－32B.－3，32C.1，32D.32，3答案D解析由A＝{x|x2－4x＋30}＝{x|1x3}，B＝{x|2x－30}＝xx32，得A∩B＝x32x3＝32，3，故选D.2．设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案D解析若|a|＝|b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为菱形，a＋b，a－b表示该菱形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以|a＋b|＝|a－b|不一定成立；反之，若|a＋b|＝|a－b|成立，则以a，b为邻边构成的四边形为矩形，而矩形的邻边不一定相等，所以|a|＝|b|不一定成立，所以“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．3．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n＜x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n＜x2答案D解析原命题是全称命题，条件为∀x∈R，结论为∃n∈N*，使得n≥x2，其否定形式为特称命题，条件中改量词，并否定结论，只有D选项符合．1.集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年有时也会出现一些集合的新定义问题.2.高考中考查命题的真假判断或命题的否定，考查充要条件的判断.热点一集合的关系及运算1．集合的运算性质及重要结论(1)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.(2)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U.(4)A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.2．集合运算中的常用方法(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解；(2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解；(3)若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．例1(1)已知集合M＝{x|x2－2x－8≤0}，集合N＝{x|lgx≥0}，则M∩N等于()A．{x|－2≤x≤4}B．{x|x≥1}C．{x|1≤x≤4}D．{x|x≥－2}(2)若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，空集∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ.则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ＝{∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ＝{∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ＝{∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的一个拓扑的集合τ的所有序号是____________．答案(1)C(2)②④解析(1)M＝{x|－2≤x≤4}，N＝{x|x≥1}，考查交集的定义，由数轴可以看出M∩N＝{x|1≤x≤4}．(2)①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}，但是{a}∪{c}＝{a，c}∉τ，所以①错；②④都满足集合X上的一个拓扑的集合τ的三个条件．所以②④正确；③{a，b}∪{a，c}＝{a，b，c}∉τ，故③错．所以答案为②④.思维升华(1)关于集合的关系及运算问题，要先对集合进行化简，然后再借助Venn图或数轴求解．(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．跟踪演练1(1)若全集U＝{0,1,2,4}，且∁UA＝{1,2}，则集合A等于()A．{1,4}B．{0,4}C．{2,4}D．{0,2}(2)设集合M＝{x|m≤x≤m＋34}，N＝{x|n－13≤x≤n}，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是()A.13B.23C.112D.512答案(1)B(2)C解析(1)集合A＝∁U(∁UA)＝{0,4}，故选B.(2)由已知，可得m≥0，m＋34≤1，即0≤m≤14，n－13≥0，n≤1，即13≤n≤1，取m的最小值0，n的最大值1，可得M＝0，34，N＝23，1.所以M∩N＝0，34∩23，1＝23，34.此时集合M∩N的“长度”的最小值为34－23＝112.故选C.热点二四种命题与充要条件1．四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假．2．若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为充要条件．例2(1)下列命题：①已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，并且m⊥α，n⊂β，则“α⊥β”是“m∥n”的必要不充分条件；②不存在x∈(0,1)，使不等式log2xlog3x成立；③“若am2bm2，则ab”的逆命题为真命题．其中正确的命题序号是________．(2)已知p：“直线l的倾斜角απ4”；q：“直线l的斜率k1”，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案(1)①(2)B解析(1)①当α⊥β时，n⊂β可以是平面内任意一直线，所以得不到m∥n，当m∥n时，m⊥α，所以n⊥α，从而α⊥β，故“α⊥β”是“m∥n”的必要不充分条件．所以①正确．②log2x＝lgxlg2，log3x＝lgxlg3，因为lg2lg3，所以1lg21lg3，当x∈(0,1)时，lgxlg2lgxlg3，即log2xlog3x恒成立，所以②错误．③中原命题的逆命题为：若ab，则am2bm2，显然当m2＝0时不正确，所以③错误．所以答案应填①.(2)若直线l的倾斜角为α＝π2，它满足“απ4”的要求，但此时直线l的斜率不存在，则p不是q的充分条件；若直线l的斜率k1，则倾斜角π4απ2，则p是q的必要条件．综上可得，p是q的必要不充分条件．思维升华充分条件与必要条件的三种判定方法(1)定义法：正、反方向推理，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p⇒q，且qD⇒/p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A⊆B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)；若A＝B，则A是B的充要条件．(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．跟踪演练2(1)下列四个结论中正确的个数是()①“x2＋x－20”是“x1”的充分不必要条件；②命题：“∀x∈R，sinx≤1”的否定是“∃x0∈R，sinx01”；③“若x＝π4，则tanx＝1”的逆命题为真命题；④若f(x)是R上的奇函数，则f(log32)＋f(log23)＝0.A．1B．2C．3D．4(2)设p：1x2，q：2x1，则p是q成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案(1)A(2)A解析(1)对于①，x2＋x－20⇔x1或x－2，故“x2＋x－20”是“x1”的必要不充分条件，所以①错误；对于③，“若x＝π4，则tanx＝1”的逆命题为“若tanx＝1，则x＝π4”，∵tanx＝1推出的是x＝π4＋kπ，k∈Z.所以③错误．对于④，log32≠－log23，所以④错误．②正确．故选A.(2)因为2x1，所以x0，即命题q：x0.因为p：1x2能够推出q，而q不一定能推出p，所以p是q成立的充分不必要条件，故选A.热点三逻辑联结词、量词1．命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真，才为真；綈p和p为真假对立的命题．2．命题p∨q的否定是(綈p)∧(綈q)；命题p∧q的否定是(綈p)∨(綈q)．3．“∀x∈M，p(x)”的否定为“∃x0∈M，綈p(x0)”；“∃x0∈M，p(x0)”的否定为“∀x∈M，綈p(x)”．例3(1)设p，q是两个命题，如果綈(p∨q)是真命题，那么()A．p是真命题且q是假命题B．p是真命题且q是真命题C．p是假命题且q是真命题D．p是假命题且q是假命题(2)已知命题p：“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”．若命题“(綈p)∧q”是真命题，则实数a的取值范围是()A．a≤－2或a＝1B．a≤－2或1≤a≤2C．a1D．－2≤a≤1答案(1)D(2)C解析(1)由綈(p∨q)是真命题可得p∨q是假命题，由真值表可得p是假命题且q是假命题．(2)命题p为真时a≤1；“∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0”为真，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，故Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≥1或a≤－2.(綈p)∧q为真命题，即(綈p)真且q真，即a1.思维升华(1)命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立；(2)判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．跟踪演练3(1)已知命题p：∃x0∈R，使sinx0＝52；命题q：∀x∈0，π2，xsinx，则下列判断正确的是()A．p为真B．綈q为假C．p∧q为真D．p∨q为假(2)命题p：∃b∈R，使直线y＝－x＋b是曲线y＝x3－3ax的切线．若綈p为真，则实数a的取值范围是()A．a13B．a≤13C．a13D．a≥13答案(1)B(2)A解析(1)由于三角函数y＝sinx的有界性：－1≤sinx0≤1，所以p假；对于q，构造函数y＝x－sinx，求导得y′＝1－cosx，又x∈0，π2，所以y′0，y为单调递增函数，有y0恒成立，即∀x∈0，π2，xsinx，所以q真．判断可知，B正确．(2)由y＝x3－3ax得y′＝3x2－3a≥－3a.因为命题“∃b∈R使直线y＝－x＋b是曲线y＝x3－3ax的切线”是假命题，所以直线y＝－x＋b的斜率－1∉[－3a，＋∞)，即－1－3a，解得a13.故选A.1．已知函数f(x)＝11－x2的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∪(∁RN)等于()A．{x|－1≤x1}B．{x|x－1}C．{x|x1}D．{x|x≥1}押题依据集合的运算在历年高考中的地位都很重要，已成为送分必考试题．集合的运算常与不等式(特别是一元一次不等式、一元二次不等式)的求解、函数的定义域、函数的值域等知识相交汇．答案C解析M＝{x|1－x20}＝{x|－1x1}，N＝{x|1＋x0}＝{x|x－1}，∴∁RN＝{x|x≤－1}，∴M∪(∁RN)＝{x|－1x1}∪{x|x≤－1}＝{x|x1}，故选C.2．已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于任意(x1，y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“Ω集合”．给出下列4个集合：①M＝{(x，y)|y＝1x}；②M＝{(x，y)|y＝ex－2}；③M＝{(x，y)|y＝cosx}；④M＝{(x，y)|y＝lnx}．其中是“Ω集合”的所有序号为()A．②③B．③④C．①②④D．①③④押题依据以新定义为背景，考查元素与集合的关系，是近几年高考的热点，解题时可从集合的性质(元素的性质、运算性质)作为突破口．答案A解析对于①，若x1x2＋y1y2＝0，则x1x2＋1x1·1x2＝0，即(x1x2)2＝－1，可知①错误；对于④，取(1,0)∈M，且存在(x2，y2)∈M，则x1x2＋y1y2＝1×x2＋0×y2＝x20，可知④错误．同理，可证得②和③都是正确的．故选A.3．设φ∈R，则“φ＝0”是“