141生活中的优化问题

1.4【最优化问题】在经济生活中，人们经常遇到最优化问题，例如为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等等，一句话，这类问题实质上就是运用最优化方法，以最少的人力、物力、财力、时空、信息投入和消耗，获得最大的价值效益．这样，就需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是最优化问题．导数是解决这类问题的基本方法之一．其中，在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决，在解决这些实际应用题时，要把问题中所涉及的几个量转化为函数关系式，这需通过分析、联想、抽象和转化．探究（一）：海报版面尺寸的设计【背景材料】学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm.思考1：版心面积为定值128dm2，设版心的高为x，则海报的面积为多少？海报四周空白的面积为多少？思考2：设海报四周空白的面积为S(x)，则S(x)的最简表达式如何？其定义域是什么？思考3：海报四周空白的面积S(x)是否存在最值？若存在，如何求其最值？思考4：如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？【归纳】实际应用问题的解题程序:读题⇒建模⇒求解⇒反馈(文字语言)(数学语言)(数学应用)(检验作答)函数建模，要设出两个变量，根据题意分析它们的关系，把变量转化成函数关系式，确定自变量的定义域．问题求解中所得出的结果要符合问题的实际意义．【利用导数解决生活中的优化问题的步骤】(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)；(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和使f′(x)＝0的点的数值的大小，最大(或小)者为最大(或小)值．【利用导数解决实际问题时的注意事项】利用导数解决实际问题中的最值问题时应注意的事项：(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要注意考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去．(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f′(x)＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这是最大(小)值．(3)在解决实际问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数式给予表示，还应确定函数关系式中自变量的定义域．(4)有许多实际问题的最值中没有考虑端点的函数值的原因是：因为根据大纲的规定和高考的要求，有关函数最大值与最小值的实际问题只涉及单峰函数，因而只有一个极值点，这个极值就是问题中所指的最值，因此在求有关实际问题的最值时，没有考虑端点的函数值．利用导数解最优化问题，往往归结为函数的最大值或最小值问题，解题中要特别注意以下几点：(1)当问题涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系，找出变量之间的关系式；(2)确定函数关系式中自变量的取值范围；(3)所得的结果要符合问题的实际意义．当然，有些最优化问题除用导数法求解外，有时还可用配方法(如二次三项式)、基本不等式法如x＋ax的最小值(其中x0，a0),单调性等最值方法．总之，在解题时要注意方法的灵活运用.探究（二）：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响【背景材料】某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8πr2分，其中r(单位：cm)是瓶子的半径.已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm.思考1：1mL饮料所占的体积是多少cm3？半径为r的瓶子最多能装多少mL的饮料？思考2：每瓶满装的饮料的利润(单位：分)是多少？思考3：设每瓶满装饮料的利润为f(r)，则函数f(r)的定义域是什么？ryo)3(8.0)(23rrrf23思考4：函数是否存在最值？若存在，如何求其最值？32()0.8()(06)3rfrrr探究（三）：磁盘的最大存储量问题【背景材料】计算机把信息存储在磁盘上，磁盘是带有磁性介质的圆盘，并由操作系统将其格式化成磁道和扇区.磁道是指不同半径所构成的同心圆轨道，扇区是指被圆心角分割成的扇形区域.磁道上的定长的弧可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常称为比特，磁盘的构造如图所示.为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必须大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n.为了数据检索的方便，磁盘格式化时要求所有磁道具有相同的比特数.思考1：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R的环形区域，且最外面的磁道不存储任何信息，那么这张磁盘的磁道数最多可达多少？思考2：由于每条磁道上的比特数相同，那么这张磁盘存储量的大小取决于哪条磁道上的比特数？思考3：要使磁盘的存储量达到最大，那么最内一条磁道上的比特数为多少？思考4：这张磁盘的存储量最大可达到多少比特？思考5：若R为定值，r为变量，那么这张磁盘的存储量如何变化？有何最值？2()()(0)frrRrrRmnp=-练习：某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格。销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x（单位：元，）的平方成正比.300x已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件.（Ⅰ）将一个星期的商品销售利润表示成x的函数;（Ⅱ）如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？x2kx()fx22()(309)(432)(21)(432)fxxkxxkx2242k·6k32()61264329072[030]fxxxxx，，解：（Ⅰ）设商品降价元，则多卖的商品数为，若记商品在一个星期的获利为，则依题意有，又由已知条件，，于是有，所以．（Ⅱ）根据（Ⅰ），我们有2()1825243218(2)(12)fxxxxx表略：12x()fx(0)9072f(12)11264f301218达到极大值．因为，，所以定价为元时能使一个星期的商品销售利润最大故时建立数学模型利用导数解决优化问题的基本思路：解决数学模型作答用函数表示的数学问题优化问题用导数解决数学问题优化问题的答案.最优化问题在经济生活中，人们经常遇到最优化问题，例如为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等等，一句话，这类问题实质上就是运用最优化方法，以最少的人力、物力、财力、时空、信息投入和消耗，获得最大的价值效益．这样，就需要寻求相应的最佳方案或最佳策略，这些都是最优化问题．导数是解决这类问题的基本方法之一．其中，在实际生活中用料最省、利润最大、效率最高等问题，常常可以归结为函数的最大值问题，从而可用导数来解决，在解决这些实际应用题时，要把问题中所涉及的几个量转化为函数关系式，这需通过分析、联想、抽象和转化．函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当在定义域的开区间上只有一个极值，这个极值就是它的最值．导数实际应用的技巧规律:利用导数解决实际问题是重要的知识点，应引起足够的重视，该部分试题可以是小题也可以是大题，一般以中档题为主．某电视生产厂家有A、B两种型号的电视机参加家电下乡活动。若厂家投放A、B型号电视机的价值,pq12,ln105pq分别为农民购买电视机获得的补贴分别为万元。已知厂家万元，把总价值为10万元的电视机投放金额都不低于1万元，请你制定一个投放方案，的A、B两种型号电视机投放市场，且A、B两型号使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出其最大值0.1ln41.4（精确到），参考数据：）0.1x19xy(10)x解：设B型号电视机的价值为万元（），农民得到的补贴为万元，则A型号电视机的价值为万元，由题意得，1221(10)lnln1105510yxxxx，，所以21,510yx由0,4.yx得当1,4x时，0y；当4,9x时,y0所以当4x时，y取最大值，max2ln40.411.2.5y即厂家分别投放A、B两型号电视机6万元和4万元时，农民得到补贴最多，最多补贴约1.2万元。【例】(2009·山东)两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和．记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y.统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k.当垃圾处理厂建在弧的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.课外参考：(1)将y表示成x的函数；(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．【点拨】根据题设条件作出图形，分析各已知条件之间的关系，借助图形特征合理选择这些条件间的联系方式，适当选择变元，构建相应的函数关系，通过求导的方法或其他方法求出函数的最小值，可确定点C的位置．1、课本P37页A组6；B组1。2、课下P37,练习。