1512定积分的概念

1.5.1～1.5.2曲边梯形的面积汽车行驶的路程变力做功约两节阅读课本P38页—P39页，回答问题：1、什么是连续函数？2、什么是曲边梯形？3、如何求曲边梯形的面积？其主要思想是什么？4、你能否设计一个求曲边梯形的面积的方案？通过实例(如求曲边梯形的面积、变力做功等)，从问题情境中了解定积分的实际背景.研究：求图中阴影部分是由抛物线2yx，直线1x以及x轴所围成的平面图形的面积S。1.5.1：曲边梯形的面积解：1．分割在区间0,1上等间隔地插入1n个点，将区间0,1等分成n个小区间：10,n，12,nn，…，1,1nn记第i个区间为1,(1,2,,)iiinnn，其长度为11iixnnn分别过上述1n个分点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，他们的面积分别记作：1S，2S，…，nS显然，1niiSSini-1n1Oyxy=x2（2）近似代替记2fxx，如图所示，当n很大，即x很小时，在区间1,iinn上，可以认为函数2fxx的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点1in处的函数值1ifn，从图形上看，就是用平行于x轴的直线段近似的代替小曲边梯形的曲边（如图）．这样，在区间1,iinn上，用小矩形的面积iS近似的代替iS，即在局部范围内“以直代取”，则有211iiiiSSfxxnn211(1,2,,)iinnn①ini-1n1Oyxy=x2（3）求和由①，上图中阴影部分的面积nS为2111111nnnniiiiiiSSfxnnn=22111110nnnnnn=22231121nn=312116nnnn=1111132nn从而得到S的近似值1111132nSSnn（4）取极限分别将区间0,1等分8，16，20，…等份（如图），可以看到，当n趋向于无穷大时，即x趋向于0时，1111132nSnn趋向于S，从而有1111111limlimlim11323nnnnniiSSfnnnn求曲边梯形面积的四个步骤:第一步：分割．在区间,ab中任意插入1n各分点，将它们等分成n个小区间1,iixx1,2,,in，区间1,iixx的长度1iiixxx，第二步：近似代替，“以直代取”。用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值．第三步：求和．第四步：取极限。说明：1．归纳以上步骤，其流程图表示为：分割以直代曲求和逼近2．最后所得曲边形的面积不是近似值，而是真实值1.曲边梯形的面积要求一个曲边梯形的面积，不能用已有的面积公式计算，为了计算曲边梯形的面积，可以将它分割成许多个小曲边梯形，每个小曲边梯形用相应的小矩形近似代替，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值．当分割无限变细时，这个近似值就无限趋近于所求曲边梯形的面积．若取每一个区间的右端点，则教材上例题中Sn＝(1n)2·1n＋(2n)2·1n＋…＋(nn)2·1n＝1n3(12＋22＋…＋n2)＝1n3·n(n＋1)(2n＋1)6＝16(1＋1n)(2＋1n)P42探究：【例】汽车以速度v做匀速直线运动时，经过时间t所行驶的路程为s＝vt.如果汽车做变速直线运动，在时刻t的速度为v(t)＝－t2＋2(单位：km/h)，那么它在0≤t≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？1.5.2：汽车行驶的路程-求变速运动的路程[解](1)分割：在时间区间[0,1]上等间隔地插入n－1个分点，将它分成n个区间：[0，1n]，[1n，2n]，…，[n－1n，1]，记第i个区间为[i－1n，in](i＝1,2，…，n)，其长度为Δt＝in－i－1n＝1n，把汽车在时间段[0，1n]，[1n，2n]，…，[n－1n，1]上行驶的路程分别记作：ΔS1，ΔS2，…，ΔSn，则显然有S＝ΔSi.(2)近似代替：当n很大，即Δt很小时，在区间[i－1n，in]上，函数v(t)＝－t2＋2的值变化很小，近似地等于一个常数，不防认为它近似地等于左端点i－1n处的函数v(i－1n)＝－(i－1n)2＋2.从物理意义上看，就是汽车在时间段[i－1n，in](i＝1,2，…，n)上速度的变化很小，不防认为它近似地以时刻i－1n处的速度v(i－1n)＝－(i－1n)2＋2作匀速行驶，即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是ΔSi≈ΔS′i＝v(i－1n)·Δt＝[－(i－1n)2＋2]·1n＝－(i－1n)2·1n＋2n(i＝1,2，…，n)①.(3)求和：由①得Sn＝(i－1n)Δt＝－0·1n－(1n)2·1n－…－(n－1n)2·1n＋2＝－1n3[12＋22＋…＋(n－1)2]＋2＝－13(1－1n)(1－12n)＋2.(4)取极限：S＝[－13(1－1n)(1－12n)＋2]＝－13＋2＝53，所以这段时间内行驶的路程S是53km.[点拨]用分割、近似代替、求和、取极限这四个步骤可以求曲边多边形的面积，它体现了一种化整(分割)为零，积零为整(逼近)的思想方法．(1)“分割”的目的在于更精确地“以直代曲”，即以“矩形”代替“曲边梯形”，随着分割的等份数增多，这种“代替”就越精确．当n愈大时，所有小矩形的面积和就愈逼近曲边梯形的面积．(2)在“近似代替”中，教材在每一个小区间[i－1n，in]上取左端点，是为了计算方便，事实上，可以取右端点或区间上的任意点，没有统一的要求．为了运算方便，通常取一些特殊点．【汽车做变速运动的路程】与求曲边梯形面积类似，我们采取“以不变代变”的方法，把求变速直线运动的路程问题，化归为求匀速直线运动的路程问题，可将区间等分成n个小区间，在每个小区间上，由于v(t)的变化很小，可以认为汽车近似于做匀速直线运动，从而求得汽车在每个小区间上行驶的路程的近似值，再求和得s的近似值，最后让n趋向于无穷大就得到s的精确值.用定积分的定义求定积分的一般步骤为分割、近似代替、求和、取极限，要借助求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程去体会定积分的基本思想．求解时要注意以下技巧：(1)要均分积分区间；(2)每个小区间上函数f(x)的值一般都取左端点的函数值代替或都取右端点的函数值代替；(3)熟记以下结论：①1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2，②12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)6，③13＋23＋33＋…＋n3＝14n2·(n＋1)2.1.连续函数如果函数y＝f(x)在某个区间I上的图象是一条___的曲线，那么就把它称为区间I上的连续函数．2.曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．连续不断(2)求曲边梯形面积的方法把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些②________.对每个③________“以直代曲”，即用④________的面积近似代替⑤________的面积，得到每个小曲边梯形面积的⑥________，对这些近似值⑦________，就得到曲边梯形面积的⑧________(如图②)．小曲边梯形小曲边梯形矩形小曲边梯形近似值求和近似值(3)求曲边梯形面积的步骤：⑨________；⑩________；⑪________；⑫________.3.求变速直线运动的路程(位移)如果物体做变速直线运动，速度函数v＝v(t)，那么也可以采用⑬________，⑭________，⑮________，⑯________的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.答案：①连续不断②小曲边梯形③小曲边梯形④矩形⑤小曲边梯形⑥近似值⑦求和⑧近似值⑨分割⑩近似代替⑪求和⑫取极限⑬分割⑭近似代替⑮求和⑯取极限典型例题：用定积分的定义例：求由直线y＝3x，x＝0，x＝1，y＝0围成的图形的面积．解：(1)分割：把区间[0,1]等分成n个小区间[i－1n，in](i＝1,2，…，n)，其长度为Δx＝1n，即把三角形分成一个小三角形和(n－1)个小梯形，其面积分别记为ΔSi(i＝1,2，…，n)．(2)近似代替：用小矩形的面积代替小三角形和小梯形的面积，取ξi＝i－1n(i＝1,2，…，n)，则ΔSi≈f(i－1n)Δx＝3·i－1n·1n＝3n2(i－1)(i＝1,2，…，n)．(4)取极限：，所以由直线y＝3x，x＝0，x＝1，y＝0围成的图形的面积为32.[解](1)分割：在区间[1,2]上等间隔地插入n－1个点，将它分成n个小区间为[n＋i－1n，n＋in](i＝1,2，…，n)，其长度为Δx＝1n.分别过上述n－1个点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，它们的面积记作：ΔSi(i＝1,2，…，n)．练习：求由直线x＝1，x＝2，y＝0及曲线y＝1x2围成的图形的面积S.(2)近似代替：在区间[n＋i－1n，n＋in]上，当n趋向于∞，即Δx趋向于0时，我们用小矩形面积近似地代替ΔSi，则有ΔSi≈n2(n＋i－1)(n＋i)·1n＝n(n＋i－1)(n＋i).(4)取极限：当n趋向于∞，即Δx趋向于0时，Sn越来越趋向于S，从而有S＝＝12，所以由直线x＝1，x＝2，y＝0和曲线y＝1x2围成的图形的面积约为12.1．(2009·汕头高二期末)和式(xi－3)等于()A．(x1－3)＋(x10－3)B．x1＋x2＋x3＋…＋x10－3C．x1＋x2＋x3＋…＋x10－30D．(x1－3)(x2－3)(x3－3)·…·(x10－3)答案：C2.和式(i－12009)2·12009等于()A.120092(12＋22＋32＋…＋20082)B.120092(12＋22＋32＋…＋20092)C.120093(12＋22＋32＋…＋20082)D.120093(12＋22＋32＋…＋20092)答案：C3．一物体沿直线运动，其速度v(t)＝t2，这个物体在t＝0到t＝1这段时间内所走的路程为()A.13B.12C．1D．2解析：利用分割，近似代替，求和，取极限的方法步骤，求得该物体在t＝0到t＝1这段时间内所走的路程为13.答案：A4．求由曲线y＝12x2与直线x＝1，x＝2，y＝0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是________．解析：将区间5等分所得的小区间为[1，65]，[65，75]，[75，85]，[85，95][95，2]，于是所求平面图形的面积近似等于110(1＋3625＋4925＋6425＋8125)＝110×25525＝1.02.答：1.02一辆汽车作变速直线运动，设汽车在时间t的速度v(t)＝6t2，求汽车在t＝1到t＝2这段时间内运动的路程．答：3用定积分的定义求定积分的一般步骤为分割、近似代替、求和、取极限，要借助求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程去体会定积分的基本思想．求解时要注意以下技巧：(1)要均分积分区间；(2)每个小区间上函数f(x)的值一般都取左端点的函数值代替或都取右端点的函数值代替；(3)熟记以下结论：①1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2，②12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)6，③13＋23＋33＋…＋n3＝14n2·(n＋1)2.一辆汽车作变速直线运动，设汽车在时间t的速度v(t)＝6t2，求汽车在t＝1到t＝2这段时间内运动的路程．[解](1)分割把区间[1,2]等分成n个小区间[n＋i－1n，n＋in](i＝1,2，…，n)，每个区间的长度Δt＝1n，每个时间段行驶的路程记为Δsi(i＝