16微积分基本定理1

那么有什么好办法呢？从前面的学习中可以发现，虽然被积函数非常简单，但直接用定积分的定义计算的值却比较麻烦.而对于几乎不可能直接用定义计算.3fx=x130xdx211dxx我们已经学习了微积分学中两个最基本和最重要的概念——导数和定积分，先回顾一下.知识回顾是刻画函数变化快慢程度的一个一般概念，由于变量和函数在自然界和社会中有着几乎无处不在的实际背景，所以它是高等学校许多专业的一门重要基础课.导数的最本质思想：在每个局部小范围内“以直代曲”，“以不变代变”和逼近的思想，这也是应用定积分解决实际问题的思想方法.定积分新课导入学习微积分，数学和思维水平都将进入一个新的阶段，能切实地训练学生的辨证思维.毫不夸张地说，不学或未学懂微积分，思维难以达到较高的水平，难以适应21世纪对高中学生素质的要求.利用本节学习的微积分基本定理，我们就能轻松解决首页的问题.1.6微积分基本定理微积分是研究各种科学的工具，在中学数学中是研究初等函数最有效的工具.恩格斯称之为“17世纪自然科学的三大发明之一”.学习微积分的意义微积分的产生和发展被誉为“近代技术文明产生的关键事件之一，它引入了若干极其成功的、对以后许多数学的发展起决定性作用的思想.”微积分的建立，无论是对数学还是对其他科学以至于技术的发展都产生了巨大的影响，充分显示了数学对于人的认识发展、改造世界的能力的巨大促进作用.变速直线运动如图，一个作变速直线运动的物体的运动规律是y=y(t).由导数的概念的可知，它在任意时刻t的速度.设这个物体在时间段[a,b]内的位移为s，你能分别用y(t),v(t)表示s吗？'vt=yt函数y=y(t)在t=b处与t=a处的函数值之差.s=y(b)-y(a)物体的位移s还可利用定积分，有v(t)求位移，用分点将区间[a,b]等分成n个小区间：01i-1ia=tttt=b0112i-1in-1nt,t,t,t,,t,t,,t,t,每个小区间的长度均为当很小时，在上，v(t)的变化很小，可以认为物体近似地以速度作匀速运动，物体所作的位移ii-1b-aΔt=t-t=nΔti-1it,t'iii-1i-1'i-1Δsh=vtΔt=ytΔtb-a=ytn≈从几何意义上看，设曲线y=y(t)上与对应的点为P，PD是P点处的切线，由导数的几何意义知，切线PD的斜率等于，于是i-1t'i-1ytii'i-1Δsh=tanDPCgΔt=ytΔt≈∠物体的总位移snnniii-1i=1i=1i=1n'i-1i=1s=Δsh=vtΔt=ytΔt≈n越大，即越小，区间[a,b]划分就越细，的近似程度就越好.Δtn'i-1i=1sytΔt和ni-1ni=1n'ni=1bb'aab-as=limvtnb-a=limytn=vtdt=ydt→∞→∞由定积分的定义得：结合s=y(b)-y(a)得：bab'as=vtdt=ytdt=yb-ya如果做变速直线运动的物体的运动规律是y=y(t),那么v(t)=在区间[a,b]上的定积分就是物体的位移y(b)-y(a).'ytbab'as=vtdt=ytdt=yb-ya如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数，并且，那么'F=f(x)bafxdx=Fb-Fa这个结论叫做微积分基本定理（fundamentaltheorenofcalculus）,又叫做牛顿—莱布尼兹公式(Newton-LeibnizFormula)微积分基本定理前提条件：f(x)在[a,b]连续（1）存在；（2）f(x)存在原函数.是它的原函数xaf(t)dtbafxdx微积分基本公式表明：一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a,b]上的增量，求定积分问题转化为求原函数的问题.注意：当ab时，成立.baf(x)dxF(b)F(a)因为f(x)在[a,b]内连续是f(x)的一个原函数.又F(x)是f(x)的原函数，∴F(x)=+C.在上式中令x=a,则由得到C=F(a)移项得令即得xaf(t)dtxaf(t)dtaaf(t)dt=0xaf(t)dt=F(x)-Fabax=b,fxdx=Fb-Fa.证明：定积分的基本公式,又称牛顿----莱布尼兹公式.常表示为bbaaf(x)dx=F(x)=Fb-Fa.接下来让我们练一练吧例1.计算解:33-12-1dx=arctanx1+x=arctan3-arctan-1ππ7=--=π3412因为'21arctanx=1+x由微积分基本定理得：32-1dx.1+x例2.计算32112x-dxx解:3332211123311112x-dx=2xdx-dxxx11=x+=9-1+-1x322=3因为''2211x=2x,=-,xx由微积分基本定理得：ππ00A=sinxdx=-cosx=-cosπ--cos0=2yoxxysin例3.计算正弦曲线上与x轴所围成的面积y=sinx[0,π]在解:因为'-cosx=sinx由微积分基本定理得：A更改积分区间为，自己动手计算一下你有什么结论?π,2π,2π,0运用数形结合的思想深入探究yxo2πxysin（1）当对应的区间为时，区域A位于x轴的正上方.定积分取正值.并等于区域A的面积.0,π+Aπ0A=sinxdxyox2πxysin（2）当对应的区间为时，区域A位于x轴的下方.定积分取负值.绝对值等于区域A的面积.π,2-A2ππ-A=sinxdxyox2πxysin（3）当对应的区间为时，区域位于x轴的上方的面积等于位于x轴下方的面积.定积分值为0.且等于位于x轴上方的面积减去位于x轴下方的面积.0,2-+2π0sinxdx=0ππ002π2πππ2π2π00sinxdx=-cosx=-cosπ--cos0=2sinxdx=-cosx=-cos2π--cosπ=-2sinxdx=-cosx=-cos2π--cos0=0所以得到：微积分基本定理揭示了导数和定积分之间的内在联系，同时它也提供了计算定积分的一种有效方法.微积分基本定理是微积分学中最重要的定理，它使微积分学蓬勃发展起来，成为一门影响深远的学科.微积分基本公式,)()(,],[)(xfxFbaCxf且设则有xxfbad)(积分中值定理))((abF)()(aFbF微分中值定理))((abf牛顿–莱布尼兹公式课堂小结课堂练习1、计算.2221dxx(1+x)2、汽车以每小时36km的速度行驶,到某处需要减速停车,设汽车以等加速度刹车,问从开始刹车到停车走了多少距离?22222221112211dx11=dx-dxx(1+x)x1+x11π=--arctanx=+-arctan2x241、解:因为22111-'=,arctanx'=xx1+x由微积分基本定理得：课堂答案2、解:设开始刹车时刻为则此时刻汽车速度刹车后汽车减速行驶,其速度为当汽车停住时,即得故在这段时间内汽车所走的距离为22220005s=v(t)dt=(10-5t)dt=10t-t=10(m)2教材练习答案5252004xdx=2x=25-0=505232500321x-2xdx=x-x3150=5-5-0=331、2、322211322x-1dx=x-x32242-5=2-2--1=33332323-1-1323x-2x+1dx=x-x+x=3-3+3--1-1-1=2422211211x-dx=x-lnxx2113=2-ln2--ln1=-ln22223、4、5、221211111dx=-=-+1=xx22ππ00cosxdx=sinx=sinπ-0=100-π-πsinxdx=-cosx=-17、6、8、