21曲线参数方程之意义和圆的参数方程ppt

曲线的参数方程参数方程的概念.1如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？友情提示：即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？？救援点投放点创造情境xy500O分析:物资投出机舱后,它的运动由下列两种运动合成：（1）沿Ox作初速为100m/s的匀速直线运动；（2）沿Oy反方向作自由落体运动.创造情境如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？xy500o0,y令10.10.ts得100,1010.xtxm代入得.1010所m以，飞行员在离救援点的水平距离约为时投放物资，可以使其准确落在指定位置txy解：建立如图所示坐标系，物资出舱后，设在时刻，水平位移为，垂直高度为，所以2100,1500.2xtygt)2（g=9.8m/s如图,一架救援飞机在离灾区地面500m高处以100m/s的速度作水平直线飞行.为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面(不记空气阻力),飞行员应如何确定投放时机呢？(),().xftygt（1）且对于t的每一个允许值,由方程组(1)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,则方程(1)就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数.相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。1、参数方程的概念：一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数关于参数几点说明：参数是联系变数x,y的桥梁,1.参数方程中参数可以是有物理意义,几何意义,也可以没有明显意义；2.同一曲线选取参数不同,曲线参数方程形式也不一样;3.在实际问题中要确定参数的取值范围;例1:已知曲线C的参数方程是（1）判断点M1(0,1)，M2(5,4)与曲线C的位置关系；（2）已知点M3(6,a)在曲线C上,求a的值。23,()21.xttyt为参数解：(1)把点M1的坐标(0,1)代入方程组，解得t=0，所以M1在曲线上．124352tt把点M2的坐标(5,4)代入方程组，得到12362tat(2)因为点M3(6,a)在曲线C上，所以解得t=2,a=9所以，a=9.这个方程组无解，因此点M2不在曲线上圆的参数方程yxorM(x,y)0M圆周运动中，当物体绕定轴作匀速运动时，物体上的各个点都作匀速圆周运动，设角速度为ω怎样刻画运动中点的位置呢？cos,sinxyttrr那么θ=ωt.设|OM|=r，那么由三角函数定义，有如果在时刻t，点M转过的角度是θ，坐标是M(x,y)，cos()sinxrttyrt为参数即这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程参数t有物理意义(质点作匀速圆周运动的时刻)cos()sinxryr为参数考虑到θ=ωt，也可以取θ为参数，于是有cos()sinxryr为参数圆心为原点，半径为r的圆的参数方程为：其中参数θ的几何意义是OM0绕点O逆时针旋转到OM的位置时，OM0转过的角度例1如图,圆O的半径为2，P是圆上的动点，Q(6,0)是x轴上的定点，M是PQ的中点，当点P绕O作匀速圆周运动时，求点M的轨迹的参数方程。yoxPMQxOP2cos62sin3cos,sin22xy3cos,()sin.xy为参数解：设点M的坐标是(x,y),则点P的坐标是(2cosθ,2sinθ).由中点坐标公式可得因此，点M的轨迹的参数方程是vbaPxyrxOy)(sincos为参数rbyrax),(1baO圆心为，半径为r的圆的参数方程一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，另外，要注明参数及参数的取值范围。解：x2+y2+2x-6y+9=0化为标准方程,(x+1)2+(y-3)2=1∴参数方程为sin3cos1yx(θ为参数)例2已知圆方程x2+y2+2x-6y+9=0,将它化为参数方程。参数方程和普通方程的互化把它化为我们熟悉的普通方程，有cosθ=x-3,sinθ=y;于是(x-3)2+y2=1，轨迹是什么就很清楚了3cos,()sin.xy为参数在课本例2中，由参数方程直接判断点M的轨迹是什么并不方便，一般地,可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程；曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致，否则，互化就是不等价的.把参数方程化为普通方程：1,:例把下列参数方程化为普通方程并说明它们各表示什么曲线,1111xttx有由解;,tytx2111为参数t.sin,cossin21yx2为参数62图O123xy1-1-2-3-1.,3221xyty得到代入.,13211xxytx普通方程是所以与参数方程等价的又.,6211图包括端点为端点的一条射线这是以,,sincossinyxyx2212得到后减去平方把.,,sincossin2242xx所以又.,,222xyx普通方程是所以与参数方程等价的.72图这是抛物线的一部分Oxy1-1-11222-372图.示的点形成轨迹的过程观察直接由参数方程表2这是以、为端点的一段抛物线弧2,22,2sin3cos32yx(1)2cossinyx(2)(3)x=t+1/ty=t2+1/t2(1)(x-2)2+y2=9(2)y=1-2x2（-1≤x≤1）(3)x2-y=2（x≥2或x≤-2）练习、将下列参数方程化为普通方程：步骤：（1）消参；（2）求定义域。因为表示整支圆，所以不需要再限定范围参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：1.代入法：利用解方程的技巧求出参数t,然后代入消去参数2.三角法：利用三角恒等式消去参数3.整体消元法：根据参数方程本身的结构特征,整体上消去化参数方程为普通方程为F(x,y)=0：在消参过程中注意变量x、y取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定f(t)和g(t)值域得x、y的取值范围。小结普通方程化为参数方程：普通方程化为参数方程需要引入参数：如：直线l的普通方程是2x-y+2=0，可以化为参数方程:一般地,如果知道变量x,y中的一个与参数t的关系,例如x=f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变量与参数t的关系y=g(t)，那么:　　)()(tgytfx就是曲线的参数方程。在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致)(22为参数ttytx2231:9413cos,;22,.xyxytt例求椭圆的参数方程设为参数设为参数,cos,cos14993122yx得到代入椭圆方程把解.sin,sincos2414222yy即所以的参数方程是椭圆所以可取的任意性由参数149222yxy,,sin,为参数.sin,cos23yx,,14492222txty得代入椭圆方程把.,2221319txtx于是的参数方程是椭圆所以14922yx,,,tytx2132为参数t为参数t,,tytx2132?是椭圆的参数方程来才中的两个参数方程合起为什么例思考24小结：1.参数方程的概念；2.圆的参数方程；3.参数方程与普通方程的互化。作业：课本24页习题2.1