东华大学物理第28章 磁场的来源

上页下页返回退出上页下页返回退出开篇问题——猜一猜下面哪种情况会产生磁场？（a）静止的电荷（b）运动的电荷（c）电流（d）未接入电路中的电源（e）铁片（f）任意金属片上页下页返回退出上页下页返回退出磁感应线：以导线为轴的同心圆环长直导线周围某一点的磁感应强度B和导线中电流I成正比，和该点与导线距离r成反比比例关系式：真空磁导率：T·m/A§28-1直导线产生的磁场IBr7041002IBr上页下页返回退出上页下页返回退出例28-1计算导线附近的磁感应强度。墙里有一根导线,通有25A竖直向上的直流电流。请问这个电流在P点（距导线正北方向10cm处）引起的磁场磁感应强度大小是多少？750(410Tm/A)(25A)5.010T2(2)(0.10m)IBr根据右手定则，P点的磁场方向指向西（图中为垂直纸面向里）。解题思路：我们假定导线长度10cm，可应用公式（28-1）。解：根据公式或0.50G。注：建筑物内部大多数电线都是由电缆组成，每根电缆里有两条导线。由于两条导线通有相反方向的电流，它们的磁场在很大程度上相互抵消。上页下页返回退出上页下页返回退出例28-2两电流之间的磁场。两条平行直导线相距10.0cm，通有方向相反的电流。电流I1=5.0A垂直纸面向外，I2=7.0A垂直纸面向里。判断两导线之间区域的磁场大小和方向。练习A：在例题25-10中我们知道一次闪电在0.2s内产生100A电流，请估算距离闪电10m处的磁场大小，以及它会对指南针有显著影响吗？上页下页返回退出上页下页返回退出解：由电流I1产生的磁感应线形成以I1为轴心的圆环，根据右手定则，磁感应线方向为逆时针方向。由I2产生的磁感应线形成以I2为轴心的圆环，磁感应线方向为顺时针方向。在两导线距离中点，磁场方向都向上（如图所示），同向叠加。中点距离每根导线0.050m，根据公式，75011(410Tm/A)(5.0A)2.010T22(0.050m)IBr75022(410Tm/A)(7.0A)2.810T22(0.050m)IBr总磁场方向向上，大小T5124.810BBB练习B假定在图中电流I1、I2都垂直纸面向里，那么两导线间中点的磁场是多少？解题思路：每根导线产生的磁场大小用公式（28-1）来计算。每根导线产生磁场的方向根据右手定则来判断。在两导线之间某点的总磁场是两个磁场的矢量和。上页下页返回退出上页下页返回退出例28-3四根导线产生的磁场。图示四根平行长导线等间距摆放。导线均通有大小相等、垂直纸面向里或向外的电流。在（a）或（b）哪种组合中，正方形中心处的磁场更大？解答：（a）的磁场更大。箭头指明每根导线产生的磁场的方向；正方形中心点处的磁场是这四个磁场的叠加。组合（a），叠加后磁场磁感应强度指向左；组合（b），叠加后磁感应强度为零。上页下页返回退出上页下页返回退出§28-2两根平行导线间的相互作用力考虑两根平行载流直导线相距为d，I1产生的磁场为B1，在导线2的位置处该磁场大小，0112IBd导线2上长度为l2的一段受到B1的力F2的大小为，2212FIBl把B1代入F2，012222IIFld上页下页返回退出上页下页返回退出根据右手定则，判断I1和I2分别受到对方磁场的作用力的方向dFdlIB上页下页返回退出上页下页返回退出iiiiiiii平行载流直导线之间的相互作用同向平行电流相互吸引反向平行电流相互排斥上页下页返回退出上页下页返回退出由于电流反向，两根导线间为排斥力。7233(410Tm/A)(8.0A)(2.0m)8.510N(2)(3.010m)F解题思路：当通有电流时，每根导线都处于另一根导线所产生的磁场中，因此我们可以应用公式（28-2）。例28-4两根载流导线间的相互作用力。两根2.0m长的导线相距3.0mm，通有方向相反的8.0A电流。计算一根导线对另一根导线施加的作用力。解：根据公式012222IIFldii上页下页返回退出上页下页返回退出例28-5载流导线的悬浮一根水平导线通有电流I1=80A，第二根水平导线置于其下方20cm处。请问下方的导线需要通有多大的电流I2才能使它不会因为重力而掉落？假定下方导线单位长度的质量为每米0.12g。解题思路：要想导线2不掉落，它受到的磁场力需要：方向向上，大小与重力抗衡。由前例可知两根导线电流方向必相同。解：导线2的重力向下，导线上每米长度受到的重力大小为323(0.1210kg/m)(1.0m)(9.8m/s)1.1810NFmg导线2受到的磁场力必须向上0122IIFld令两个力相等，l=1.0m3270122(0.20m)(1.1810N/m)15A(410Tm/A)(80A)1.0mdFIIl上页下页返回退出上页下页返回退出§28-3安培和库仑的定义AB1ICDd2I77012(410Tm/A)(1A)(1A)210N/m2(2)(1m)IIFld讨论两根平行载流导线间的相互作用力，假设I1=I2=1A，导线间距d=1m“安培”的定义：两根相距1米的平行长导线，每根导线单位长度受到的力恰好等于2×10-7N时，每根导线通过的电流大小为1安培（1A）“库仑”的定义：1A电流在1s内输运的电量：1C=1A·s上页下页返回退出上页下页返回退出§28-4安培环路定理长直载流导线产生的磁场02IBr任意形状载流导线产生的磁场？0enclBdlI验证考虑长直电流的磁场在恒定电流的磁场中，磁感应强度B矢量沿任一闭合路径L的线积分（即环路积分）,等于什么?上页下页返回退出上页下页返回退出在垂直于导线的平面内任作的环路上取一点，到电流的距离为r，磁感应强度的大小：02IBr由几何关系得：dcosdlrLLlBdcosdlBLBrdI0d2200rrILddl200d2IorPBBI上页下页返回退出上页下页返回退出LLllBlB)d(dd////dcosd90coslBlBLLI0LBrd0d2200rrI如果闭合曲线不在垂直于导线的平面内：结果一样！I//dldldlL上页下页返回退出上页下页返回退出IlBlBlBLLLddd210)dd(2210LLI结果为零！闭合曲线不包围电流，磁感应强度矢量的环流为零。环路不包围电流？OQ2LP1L上页下页返回退出上页下页返回退出磁感应强度矢量的环流与闭合曲线的形状无关，它只和闭合曲线内所包围的电流有关。安培环路定理B在磁场中，沿任一闭合曲线矢量的线积分（也称矢量的环流），等于真空中的磁导率0乘以穿过以这闭合曲线为边界所张任意曲面的各恒定电流的代数和。B0enclBdlI上页下页返回退出上页下页返回退出B空间所有电流共同产生的磁场ld在场中任取的一闭合曲线上的任一线元I空间中的电流环路内所包围的所有电流的代数和物理意义：dlrLI31I2IenclI0enclBdlI上页下页返回退出上页下页返回退出几点注意：环流虽然仅与所围电流有关，但磁场却是所有电流在空间产生磁场的叠加。任意形状稳恒电流，安培环路定理都成立。安培环路定理仅仅适用于恒定电流产生的恒定磁场，恒定电流本身总是闭合的，因此安培环路定理仅仅适用于闭合的载流导线。上页下页返回退出上页下页返回退出电流的正负如何规定？与闭合曲线所取的绕行方向有关。如果绕行方向和电流流向满足右手螺旋，电流为正；相反为负。I为负值II为正值I绕行方向上页下页返回退出上页下页返回退出安培环路定理的应用当磁场具有特定对称性时的磁感应强度求解0enclBdlI上页下页返回退出上页下页返回退出例28-6导线内部和外部的磁场一根长直圆柱形导线半径为R，通有电流I，电流密度均匀。确定该电流产生的磁场（a）导线外（rR）（b）导线内(rR）。假定离轴心的距离r远小于导线的长度，（c）如果R=2.0mm，I=60A，那么在r=1.0mm、r=2.0mm及r=3.0mm处B各是多少？解题思路：长直圆柱形导线的对称性——与轴心距离相等处磁场大小相等。另外，我们希望B的方向沿回路切线方向，所以选取圆环回路。解：（a）安培定理，沿环路积分（rR），enclII0(2)enclBdlBrI02IBr这个结果和细导线的结果一致。上页下页返回退出上页下页返回退出（b）在导线内部（rR），再选择一个同轴心的圆形回路，考虑对称性，B也是处处沿切线方向且大小相等。被这个回路所包围的电流小于I，根据横截面积比例有，22enclrIIR0enclBdlI202(2)rBrIR022IrBR代入安培定律由此可见，在导线轴心处磁场为零，并且随着r线性增加直到r=R。当r大于R之后，磁场又以1/r减小。注意：这些结果只在r导线长度时成立。上页下页返回退出上页下页返回退出（c）在r=2.0mm处，刚好就是导线的表面，r=R。因此7303(410Tm/A)(60A)6.010T2(2)(2.010m)IBR在图b中看到，导线内磁场随r线性增加，所以在r=1.0mm处，磁场是r=2.0mm处的一半，即3.0×10-3T。在导线外部，磁场随1/r衰减，所以在r=3.0mm处，磁场变成r=2.0mm处的三分之二，即4.0×10-3T。02IBr检验：用（a）中的结论重新计算，得到相同的结果。上页下页返回退出上页下页返回退出练习C在图中，A和B是各通有3.0A电流的导线，它们的电流方向相反。在回路C上，以下哪一种说法正确？（a）B=0；（b）；（c）；（d）；（e）0Bdl03B03B06Bdl上页下页返回退出上页下页返回退出例28-8安培环路定理的一个完美应用利用安培环路定理证明：空间中没有电流的任何区域，磁场不能是单向非均匀的。不可能可能解题思路：图中靠近上方的区域磁感应线间距较宽，磁感应强度比下方小。对图中虚线所画的矩形回路abcd应用安培环路定理。0Bdl沿ab边和cd边BdlbcdabcdaBdlBlBlBBl因为沿bc边的磁场小于沿da边的磁场，上式不等于零。两个结果出现了矛盾。所以非均匀单向场不符合安培定律。上页下页返回退出上页下页返回退出1.观察对称性安培环路定理和高斯定理类似，总是有效的。但是作为计算工具，它主要局限于具有高度对称性的系统。2.选取一个积分回路兼顾对称性的同时让整个回路或者沿回路一段上磁场是常量。确保积分路径穿过待求的场点。3.确定B的方向对巧妙选取的路径，B要么平行要么垂直。4.确定闭合回路内的电流。注意电流的正负号。如果积分路径没有把整个截面电流包围进去，你可以用电流密度（每单位面积上的电流）乘以闭合回路的面积来计算（如例题28-6）enclI解题方法：安培环路定理上页下页返回退出上页下页返回退出§28-5螺线管和螺绕环的磁场螺线管是导线螺旋而成，可看作由许多通电圆环组成紧密缠绕的长直螺线管，内部的磁场几乎均匀且与螺线管的轴线平行。密绕螺线管管壁外部的磁场比内部磁场小得多长直螺线管的剖面上页下页返回退出上页下页返回退出长直螺线管的剖面用安培环路定理来确定密绕长螺线管内部的磁场。选取矩形路径abcdbcdaabcdBdlBdlBdlBdlBdldcBdlBdlBl0BlNI其中N是回路中线圈的匝数，回路abcd包围的总电流就是NI将作为单位长度上的线圈匝数，称作匝密度nNl0BnI上页下页返回退出上页下页返回退出例28-9螺线管内部的磁场一个薄螺线管长10cm，