2014年4月02198线性代数考前精简资料(必下)

1概要&总结一、线性代数的基础内容：1、行列式——行列式的定义及计算性质(7条)，克莱姆法则；2、矩阵——运算(包括相等、加法、数乘；转置，乘法，逆)；矩阵的行列式、伴随矩阵；初等变换(包括行、列变换及与矩阵乘法的关系，求逆等)；行等价标准形(行阶梯形、行简化阶梯形)及标准形；矩阵的秩；分块矩阵3、向量——线性组合、表示、相关性；秩及极大无关组特别的，除理解概念外，尽可能深刻的理解初等变换在解决矩阵相关问题中的作用；初等变换与矩阵乘积运算的关系；矩阵的秩与向量组的秩之间的关系；如何借助矩阵的初等行变换去求向量组的秩及其极大无关组二、线性代数的应用性内容1、线性方程组求解：i)齐次的0Ax，讨论有不全为零解的条件，解的性质和基础解系(不唯一)—格式化的求基础解系的步骤；ii)非齐次的Axb，讨论有解的条件(唯一解、无穷多解)，解的性质和结构—格式化的解题步骤2、向量空间：基、坐标、过渡矩阵、坐标变换公式；特殊的基，自然基和标准正交基及施密特正交化方法；正交矩阵3、特征值特征向量：i)特征值、特征向量——格式化的求解步骤，关键是在理解这组概念及其性质；ii)矩阵对角化：矩阵可对角化的条件；特征向量的性质；相似矩阵iii)实对称矩阵正交对角化：实对称矩阵特征值特征向量的性质(特征值都为实数，属于不同特征值的特征向量正交)——格式化的对角化步骤4、二次型：i)二次型与对称矩阵的关系ii)利用正交变换的方法化二次型为标准型相当于实对称矩阵的正交对角化；配方法化二次型为标准形；合同矩阵(与等价、相似的关系)iii)二次型的规范形与惯性定理：正惯性指数与负惯性指数唯一确定iv)正定二次型与正定矩阵：如何判别？——四个等价的条件(正定；正惯性指数为n；存在P使TPPA；所有特征值大于零)第一章行列式关键字：行列式的概念和基本性质行列式按行（列）展开定理克莱默法则一、1．行列式定义及相关概念：(这是行列式的递推法定义)由2n个数(,1,2,,)ijaijn组成的n阶行列式111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa是一个算式，特别当1n时，定义1111||Daa；当2,n时1111121211111nnnjjjDaAaAaAaA，其中111(1)jjjAM，1jM是D中去掉第1行第j列全部元素后按照原顺序拍成的1n阶行列式，称为元素1ja的余子式，1jA为元素1ja的代数余子式。D中1122,,,nnaaa所在的对角线称为行列式的主对角线，相应的元素为主对角元。另一条对角线称为副对角线2．n阶行列式的性质a)行列式的行与列(按原顺序)互换，其值不变；b)行列式对任一行按下式展开，其值相等，即11221niiiiininijijjDaAaAaAaA，其中(1)ijijijAM，ijM是D中去掉第i行第j列全部元素后按照原顺序排成的1n阶行列式，称为元素ija的余子式，ijA为元素ija的代数余子式；c)线性性质——加法和数乘；推论：某行元素全为零的行列式其值为0d)行列式中两行对应元素全相等，其值为0；推论：行列式中两行对应成比例，其值为0e)在行列式中，把某行各元素分别乘非零常数，再加到另一行的对应元素上，行列式值不变；f)行列式的两行互换，行列式的值反号2g)行列式的某一行元素乘另一行对应元素的代数余子式之和为0。3．计算行列式，利用行列式的性质。(需要记住范德蒙行列式和反对称行列式的值)计算经验总结：利用行列式性质定义与性质，化成三角阵(习惯上化成上三角阵)，或按零元素最多的行或列按定义展开等等二、定理(克莱默法则)设线性非齐次方程组1(1,2,,)nijjijaxbin，其系数行列式：1112121222120nnnnnnaaaaaaDaaa，这方程组有唯一解(1,2,,)jjDxjnD。其中jD是用常数项12,,,nbbb替换D中第j列所成的行列式。推论：若齐次线性方程组10(1,2,,)nijjjaxin的系数行列式0D，则方程组只有零解，0(1,2,,)jxjn第二章矩阵一、矩阵相关概念：数域F中mn个数(1,2,,;1,2,,)ijaimnn排成m行n列，并扩以圆括弧(或方括弧)的数表111212122212nnnnnnaaaaaaaaa，称为数域F上的mn矩阵，通常用大写字母记做,()(1,2,,;1,2,,)mnijmnAAAaimjn或或，其中ija称为矩阵A的第i行第j列元素。FR时为实矩阵，FC时为复矩阵；mn个元素全为0的矩阵称为零矩阵；mn时称A为方阵(或为n阶方阵)；线性方程组的未知元系数排成的矩阵A，称为系数矩阵，若加上右端常数项排成的矩阵称为增广矩阵，记为(,)Ab。【注】矩阵与行列式的区别：行列式D是一个算式，是一个值；矩阵A是一张表，当是方阵时可以计算其所对应的行列式值，称为矩阵的行列式，记为||A或det()A。若||0A，称A为奇异矩阵；若||0A，称A为非奇异矩阵。二、矩阵的基本运算：加法、数量乘法和乘法；转置；逆矩阵、初等行和列变换1、1)如果两个矩阵()ijAa和()ijBb的行数和列数分别相等，且对应元素也相等，即(1,2,,;1,2,,)ijijabimbn，就称A和B相等，记做AB2)加法：设()ijAa和()mnijBbF，规定()ijijABab，并称AB为A和B之和。【注】i)两个矩阵可相加的条件是行数和列数均相同(同型矩阵)，且结果行数和列数也相同；ii)矩阵加法满足以下运算律：交换率、结合律、存在零矩阵、存在负矩阵(由此定义减法)3)数乘：设k是数域F中任意的一个数，()mnijAaF，规定()ijkAka【注】i)矩阵数乘指k乘A的每一个元素ija按原来的次序排成的矩阵，区别于行列式kD，若A是n阶方阵，则||||nkAkA；ii）矩阵数乘满足以下运算律：1;()();AAklAklA();klAkAlA()kABkAkB4)乘法：设A是一个mn矩阵，B是一个ns矩阵，则A和B的乘积AB(记作()ijCc)是一个ms矩阵，且11221nijijijinnjikkjkcabababab，即CAB的第i行第j列元素ijc是A第i行n个元素与B第j列n个元素分别相乘的乘积之和3【注】a)矩阵乘法满足：()();()()();();ABCABCkABkABAkBABCABAC()BCABACA；b)有了矩阵乘法，线性方程组可以写为：Axbb)若0AB，能否推知0A或0B？逆否命题是什么？左零因子、右零因子c)当0A时，由ABAC能否有BC？当||0A时，由ABAC能否有BC？d)如果1()2ABE，证明：2AA当且仅当2BE5)特殊矩阵(方阵()ijnnAa)：主对角元全为1，其余元素均为零时称为n阶单位矩阵，记作nI或I或E；主对角元全为非零常数k，其余元素全为零时称为n阶数量矩阵，记作nkI或kI或kE；非主对角元皆为零时称为n阶对角矩阵，记作12diag(,,,)naaa；当ij，0ija(1,2,,1)jn时称为上三角矩阵，当ij，0ija(2,3,,)jn时称为下三角矩阵相关结论：a)mmnmnnmnIAAIA；b)对角阵12diag(,,,)naaa左乘A等于ia(1,2,,)in乘以A中第i行的每一个元素，右乘A等于ia(1,2,,)in乘以A中第i列的每一个元素；c)两个上(下)三角矩阵的乘积仍是上(下)三角矩阵；d)设A、B是两个n阶矩阵，则乘积AB的行列式等于A和B行列式的乘积，即||||||ABAB2、1)矩阵的转置：把一个mn的矩阵nmA行和列互换得到一个nm的矩阵，称之为A的转置矩阵，记做TA或'()TjinmAa，其中Tjiijaa。转置满足如下运算：();TTAA()TTTABAB；();()TTTTTkAkAABBA2)设矩阵()ijnnAa，若(,1,,)ijjiaaijn，则称A为对称矩阵；若ijjiaa(,1,,)ijn，则称A为反对称矩阵。3)A为对称矩阵的充要条件是TAA；A为反对称矩阵的充要条件是TAA3、可逆矩阵：矩阵可逆的条件是什么？可逆矩阵怎么求？(伴随矩阵，初等行变换)1)逆矩阵：对于矩阵nnAF，如果存在矩阵nnBF使得ABBAI，就称A为可逆矩阵(简称A可逆)，并称B是A的逆矩阵，记作1AB。同样对于存在的B，其也可逆，且A是B的逆矩阵；A和B互为逆矩阵。2)若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的3)伴随矩阵：设n阶矩阵()ijnnAa，ijA是行列式detA中元素ija的代数余子式，称cof()ijnnAA为A的代数余子式矩阵，并称cofA的转置矩阵为A的伴随矩阵，记作adjA或*A，即*(cof)TAA4)(利用伴随矩阵求逆矩阵)矩阵A可逆的充分必要条件是0A，且1*1||AAA5)可逆矩阵满足运算率：a)11()AA;b)111()(0)kAkAk;c)111()ABBA;d)11()()TTAA;e)1det()1/detAA，即11||||AAb)设A是nn矩阵，证明：存在非零矩阵B使0AB的必要条件是||0A(充分也成立)4c)设方阵A满足2230AAI，证明：i)A和2AI都可逆，求出它们的逆；ii)3AI和AI不同时可逆；d)设A和B都是n矩阵，下列命题是否成立？若成立则证明，不成立，举出反例(i)若A，B皆不可逆，则AB也不可逆；(ii)若AB可逆，则A，B都可逆；(iii)若AB不可逆，则A，B都不可逆；(iv)若A可逆，则kA可逆(k是数)4、矩阵的初等变换和初等矩阵1)初等行变换：以非零常数c乘矩阵的某一行——倍乘变换；将矩阵的某一行乘以常数c加到另一行——倍加变换；将矩阵的某两行对换位置——对换变换。类似的有初等列变换，初等行变换和初等列变换统称为初等变换。2)初等变换矩阵：将单位矩阵做一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵。a)初等倍乘矩阵()diag(1,,1,,1,,1)iEcc，()iEc是由单位阵第i行(或列)乘c(0c)得到b)初等倍加矩阵11()11ijiEccj行行，()ijEc是由单位矩阵第i行乘c加到第j行得到的，第j列乘c加到第i列得到的；c)初等对换矩阵ijE是由单位矩阵第i，j行(或列)对换而得到的3)结论：a）初等矩阵左乘矩阵A，相当于做相应的行变换；右乘矩阵B，相当于做列变换b)初等矩阵是可逆阵，且有(1/)();()();iiijijijijEcEcIEcEcIEEIc)可逆矩阵可以经过若干次初等行变化化为单位矩阵，可逆矩阵A可以表示为若干个初等矩阵的乘积；如果对可逆矩阵A和同阶的单位阵I做同样的初等变换，当A变为单位阵时I变为1A，即1(,)(,)AIIA初等行变换第三章线性方程组一、n维向量及其线性相关性1、1)n元(维)向量：数域F上n个数12,,,naaa构成的有序数组，记做12(,,,)ornaaa12(,,,)Tnaaa，分别称为行向量和列向量，其中ia称为的第i个分量，全体n元向量的集合记为nF2)向量的运算：两向量相等当且仅当对应元素全相等；和为对应元素相加；数乘为各元素都乘上数k。【注】n维行、列向量事实上可以看做F上1n和1n矩阵，适用矩阵的运算和运算性质；矩阵的行、列可分别看成对应维数的行、列向量3)向量空间：F上全体n维向量集合，在其上定义了加法和数乘，称为F上的n维向量空间，仍记nF，当为实数域R时为n维实向量空间记为nR2、1)线性组合：设,(1,2,,)niiFkFim，则向量11221mii