人教版九年级数学(下)28.2.2应用举例(2)

hlαi28.2.2应用举例（2）解直角三角形∠A＋∠B＝90°a2+b2=c2三角函数关系式计算器由锐角求三角函数值由三角函数值求锐角AbBcAcatancossincossintanbcAcBaBBbAbBaAacsincoscossin温故而知新解直角三角形：由已知元素求未知元素的过程直角三角形中，caAA斜边的对边sincbBB斜边的对边sincbAA斜边的邻边coscaBB斜边的邻边cosbaAAA的邻边的对边tanabBBB的邻边的对边tanAB∠A的对边aC∠A的邻边b┌斜边c温故而知新ABaCb┌c解直角三角形的原则：有斜用弦,无斜用切；宁乘毋除,取原避中。利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般步骤:1.将实际问题抽象为数学问题;(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题)2.根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形;3.得到数学问题的答案;4.得到实际问题的答案.例1.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（结果取整数）B65°34°PCA例题讲解温馨提示：（1）方向角通常是以南北方向线为主，一般习惯说成“南偏东（西）”或“北偏东（西）”。（2）观测点不同，所得的方向角也不同，但各个观测点的南北方向线是互相平行的，因此通常借助于此性质进行角度转换。指南或指北的方向线与目标方向线构成小于900的角,叫做方向角.如图：点A在O的北偏东30°点B在点O的南偏西45°（西南方向）30°45°BOA东西北南65°34°PBCA例5如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（结果取整数）？解：如图，在Rt△APC中，PC＝PA·cos（90°－65°）＝80×cos25°≈72.505在Rt△BPC中，∠B＝34°例题讲解PBPCBsin)(13034sin505.72sinnmileBPCPB当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130海里．练习.海中有一个小岛A，它周围8nmile范围内有暗礁。渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12nmile到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？BADF60°1230°课内练习BADF解：由点A作BD的垂线交BD的延长线于点F，垂足为F，∠AFD=90°由题意图示可知∠DAF=30°设DF=x,AD=2x则在Rt△ADF中，根据勾股定理222223AFADDFxxx在Rt△ABF中，tanAFABFBF3tan3012xx解得x=666310.4AFx10.48没有触礁危险30°60°水平宽度显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）。记作i,即i=＝tanα。lh修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.坡面AB与水平面BC所形成的夹角∠ABC叫做坡角，记作α一般地，线段BC的长度称为斜坡AB的水平宽度，用l表示，线段AC的长度称为斜坡AB的铅直高度，用h表示。CABAB表示坡面BC表示水平面hlαhlαi温馨提示（1）坡度i不是坡角的度数，它是坡角的正切值，即i＝tanα；（2）坡度i也叫坡比，即i＝，一般写成1：m的形式。lh铅直高度例题讲解AFBGECD3例5、某过街天桥的截面图形为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD的坡度为：i=1：，CD的长为10m，天桥另一斜面AB的坡角∠ABG=45°。（1）写出过街天桥斜面AB的坡度；（2）求DE的长；（3）若决定对该天桥进行改建，使AB斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF，试计算此改建需占路面的宽度FB的长。（结果精确到0.01）例题讲解AFBGECD解：（1）设AB的坡度为i′在Rt△AGB中，∵∠ABG=45°，∴AG＝BG，∴AB的坡度i′＝tan45°＝1。333（2）在Rt△DEC中，∵i=1：，∴tanC＝，∴∠C=30°。又∵CD＝10cm，∴DE＝5m355533FB（3）由（1）（2），知AG＝BG＝DE＝5m在Rt△AFG中，∠F＝30°，tanF＝，即解得FB＝－5≈3.66（m）。FGAG所以改建需占路面宽度FB长约3.66m。BADFEC6mαβi=1:3i=1:1.5解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90°(2)在Rt△ABF中，课内练习如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面i＝1：1.5是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比，斜面坡度i＝1：3是指DE与CE的比。根据图中数据求：（1）坡角α和β;（2）斜坡AB的长（结果保留整数）325.11tan31tan69.3343.18在Rt△CDE中，∠CED=90°,6sinAB).(9.1055.06sin6mAB利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°课内练习如图，在山坡上种树，要求两树间的水平距离是5.5m、测得斜坡的倾斜角是24度，求斜坡上相邻两树间的坡面距离（结果保留小数点后一位）AB5.524cosCAB24°)(0.624cos5.5mAB故斜坡上相邻两树间的坡面距离约为6.0m。综合提高732.13,414.12如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°。沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB=10米，AE＝15米。（i＝1：是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）（1）求点B距水平面AE的高度BH；（2）求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：）33（1）BH＝5m。（2）CD≈2.7m。45°60°BCDHAE