2019届高考数学一轮复习第五章平面向量复数

平面向量、复数第五章第一节平面向量的概念及线性运算高考概览1.平面向量的实际背景及基本概念(1)了解向量的实际背景；(2)理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；(3)理解向量的几何表示．2．向量的线性运算(1)掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义；(2)掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义；(3)了解向量线性运算的性质及其几何意义.吃透教材夯双基填一填记一记厚积薄发[知识梳理]1．向量的有关概念(1)向量：既有又有的量叫做向量，向量的大小叫做向量的(或模)．(2)零向量：的向量叫做零向量，其方向是的．(3)单位向量：长度等于的向量．大小方向长度长度为0任意1个单位(4)平行向量：方向或的向量．平行向量又叫，任一组平行向量都可以移到同一条直线上．规定：0与任一向量(5)相等向量：长度且方向的向量．(6)相反向量：长度且方向的向量．相同相反非零共线向量平行．相等相同相等相反2．向量的线性运算3.两个向量共线定理向量b与a(a≠0)共线的充要条件是.有且只有一个实数λ，使得b＝λa[温馨提示]一个易错点：零向量的性质零向量的方向不确定，所以在处理平行问题时，一般规定零向量与任何一个向量平行．在讨论两个向量共线时，考生容易忽视零向量．如：下列叙述错误的是(填序号)．①若a∥b，b∥c，则a∥c；②|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a与b方向相同；③向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa；④若λa＝λb，则a＝b.①②③④提示：对于①，当b＝0时，a不一定与c平行．对于②，当a，b之一为零向量时结论不成立．对于③，当a＝0且b＝0时，λ有无数个值；当a＝0但b≠0时，λ不存在．对于④，当λ＝0时，不管a与b的大小与方向如何，都有λa＝λb，此时不一定有a＝b.[小题速练]1．下列结论正确的是()A．若向量a，b共线，则向量a，b的方向相同B．△ABC中，D是BC中点，则AD→＝12(AC→＋AB→)C．向量AB→与向量CD→是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上D．若a∥b，则∃λ∈R使b＝λa[答案]B2．若A、B、C、D是平面内任意四点，给出下列式子：①AB→＋CD→＝BC→＋DA→；②AC→＋BD→＝BC→＋AD→；③AC→－BD→＝DC→＋AB→.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个[解析]①式的等价式是AB→－BC→＝DA→－CD→，左边＝AB→＋CB→，右边＝DA→＋DC→，不一定相等；②式的等价式是AC→－BC→＝AD→－BD→，AC→＋CB→＝AD→＋DB→＝AB→成立；③式的等价式是AC→－DC→＝AB→＋BD→，AD→＝AD→成立．[答案]C3．在△ABC中，AB→＝c，AC→＝b.若点D满足BD→＝2DC→，则AD→＝()A.23b＋13cB.53c－23bC.23b－13cD.13b＋23c[解析]如图所示，可知AD→＝AB→＋23(AC→－AB→)＝c＋23(b－c)＝23b＋13c.[答案]A4．四边形ABCD中，12DC→＝AB→，且|AD→|＝|BC→|，则这个四边形的形状是()A．矩形B．平行四边形C．等腰梯形D．以上都不对[解析]由AB→＝12DC→得，AB∥DC，且|AB→|＝12|DC→|，∴四边形ABCD为梯形．又|AD→|＝|BC→|，∴四边形ABCD为等腰梯形．[答案]C5．若a，b是两个不共线的非零向量，a与b的起点相同，已知a，tb，13(a＋b)三个向量的终点在同一条直线上，则t＝________.[解析]设OA→＝a，OB→＝tb，OC→＝13(a＋b)，则AC→＝OC→－OA→＝－23a＋13b，AB→＝OB→－OA→＝tb－a.要使A，B，C三点共线，只需AC→＝λAB→，即－23a＋13b＝λtb－λa即可，又a，b是两个不共线的非零向量，∴－23＝－λ，13＝λt，解得λ＝23，t＝12，∴当三个向量的终点在同一条直线上时，t＝12.[答案]12考点突破提能力研一研练一练考点通关考点一平面向量的概念——基础考点给出下列命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则AB→＝DC→是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.其中正确命题的序号是()A．②③B．①②C．③④D．①④[解析]①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．②正确．∵AB→＝DC→，∴|AB→|＝|DC→|且AB→∥DC→.又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB→∥DC→且|AB→|＝|DC→|，因此，AB→＝DC→.③正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.④不正确．当a∥b且方向相反时，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要条件，而是必要不充分条件．综上所述，正确命题的序号是②③.故选A.[答案]A向量概念的注意点(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象移动混为一谈．(4)非零向量a与a|a|的关系是：a|a|是a方向上的单位向量．[跟踪演练]给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．其中错误的命题的个数为()A．1B．2C．3D．4[解析]①错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点．②正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误，当a＝0时，不论λ为何值，λa＝0.④错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，此时，a与b可以是任意向量．故选C.[答案]C考点二平面向量的线性运算——常考点(1)(2018·贵州模拟)设D为△ABC所在平面内一点，BC→＝3CD→，则()A.AD→＝－13AB→＋43AC→B.AD→＝13AB→－43AC→C.AD→＝43AB→＋13AC→D.AD→＝43AB→－13AC→(2)(2017·河北保定期中)如图，正方形ABCD中，M是BC的中点，若AC→＝λAM→＋μBD→，则λ＋μ＝()A.43B.53C.158D．2[思路引导]写出a＋λb向量的坐标→由坐标运算得关于λ方程→解方程得λ值[解析](1)由题意得AD→＝AC→＋CD→＝AC→＋13BC→＝AC→＋13AC→－13AB→＝－13AB→＋43AC→，故选A.(2)AC→＝AB→＋AD→，AM→＝AB→＋BM→＝AB→＋12AD→，BD→＝AD→－AB→.∴AC→＝λAM→＋μBD→＝λAB→＋12AD→＋μ(AD→－AB→)＝(λ－μ)AB→＋λ2＋μAD→，∴λ－μ＝1，λ2＋μ＝1，解得λ＝43，μ＝13.∴λ＋μ＝53.故选B.[答案](1)A(2)B向量的线性运算的解题规律(1)进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减(向量)”；平行四边形法则的要素是“起点重合”．(2)善于利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．(3)PA→＋PB→＋PC→＝0⇔P为△ABC的重心；(4)AD→＝12(AB→＋AC→)⇔D是△ABC中BC边的中点．[跟踪演练]1．在▱ABCD中，AB→＝a，AD→＝b，AN→＝3NC→，M为BC的中点，则MN→＝()A．－14a＋14bB．－12a＋12bC．a＋12bD．－34a＋34b[解析]由AN→＝3NC→得4AN→＝3AC→＝3(a＋b)，又AM→＝a＋12b，所以MN→＝AN→－AM→＝34(a＋b)－a＋12b＝－14a＋14b.[答案]A2．(2017·云南曲靖联考)在△ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且BD→＝2DC→，CE→＝3EA→，若AB→＝a，AC→＝b，则DE→＝()A.13a＋512bB.13a－1312bC．－13a－512bD．－13a＋1312b[解析]DE→＝DC→＋CE→＝13BC→＋34CA→＝13(AC→－AB→)－34AC→＝－13AB→－512AC→＝－13a－512b，故选C.[答案]C考点三共线向量定理及应用——常考点设两个非零向量a与b不共线．(1)若AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．[思路引导](1)证明BD→＝λAB→.(2)利用ka＋b＝λ(a＋kb)求k.[解](1)证明：∵AB→＝a＋b，BC→＝2a＋8b，CD→＝3(a－b)．∴BD→＝BC→＋CD→＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5AB→.∴AB→，BD→共线，又它们有公共点，∴A，B，D三点共线．(2)∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a，b是两不共线的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0.∴k2－1＝0，∴k＝±1.(1)向量b与非零向量a共线的充要条件是存在唯一实数λ，使b＝λa.要注意通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．[跟踪演练]1．已知向量AB→＝a＋3b，BC→＝5a＋3b，CD→＝－3a＋3b，则()A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线[解析]∵BD→＝BC→＋CD→＝2a＋6b＝2AB→，∴BD→与AB→共线，由于BD→与AB→有公共点B，因此A，B，D三点共线，故选B.[答案]B2．已知向量a，b，c中任意两个都不共线，并且a＋b与c共线，b＋c与a共线，那么a＋b＋c等于()A．aB．bC．cD．0[解析]∵a＋b与c共线，∴a＋b＝λc(λ≠0)．(*)又b＋c与a共线，∴b＋c＝μa(μ≠0)c＝μa－b代入(*)得a＋b＝λ(μa－b)＝λμa－λb∴λμ＝1－λ＝1∴λ＝μ＝－1.由(*)得a＋b＝－c∴a＋b＋c＝0.[答案]D设OA→，OB→不共线，求证：点P，A，B共线的充要条件是：OP→＝λOA→＋μOB→且λ＋μ＝1，λ，μ∈R.[思路引导]从充分性和必要性两方面论证．[证明]“充分性”：由OP→＝λOA→＋μOB→，且λ＋μ＝1得OP→＝λOA→＋(1－λ)OB→＝OB→＋λ(OA→－OB→)∴OP→－OB→＝λBA→即：BP→＝λBA→，∴P、A、B三点共线“必要性”：由P、A、B三点共线，有BP→＝λBA→，∴OP→－OB→＝λ(OA→－OB→)整理得OP→＝λOA→＋(1－λ)OB→，令μ＝1－λ，则OP→＝λOA→＋μOB→，∵OA→、OB→不共线，∴P、A、B三点共线．本例给出了三点共线问题的一个模型，此例的结论也经常用来解选择、填空题．[跟踪演练]1．在△ABC中，AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ＝________.[解析]利用例4的结论，∵A、D、B共线，∴13＋λ＝1，∴λ＝23.[答案]232.如图所示，在△ABC中，AN→＝13AC→，P是BN上的一点，若AP→＝mAB→＋211AC→，则实数m的值为________．[解析]∵AN→＝13AC→∴AP→＝mAB