2019届高考数学一轮复习第五章数列新人教版

第五章数列•第1讲数列的概念与简单表示法◆高考导航·顺风启程◆最新考纲常见题型1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．多以选择题、填空题形式出现，有时出现于解答题的已知条件或第1问中，难度较小，占5分左右.[知识梳理]1．数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{an}的第n项an通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式前n项和数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和2．数列的表示方法列表法列表格表示n与an的对应关系图象法把点(n，an)画在平面直角坐标系中通项公式把数列的通项使用公式表示的方法公式法递推公式使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法3．an与Sn的关系若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝S1，n＝1，Sn－Sn－1，n≥2.4．数列的分类分类原则名称满足条件有穷数列项数有限按项数分类无穷数列项数无限递增数列an＋1an递减数列an＋1an单调性常数列an＋1＝an有界数列存在正数m，使|an|≤m按其他标准分类摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列周期性周期数列∀n∈N*，存在正整数常数k，an＋k＝an[知识感悟]1．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．2．易混项与项数是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．3．数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．4．在数列{an}中，若an最大，则an≥an－1，an≥an＋1.若an最小，则an≤an－1，an≤an＋1.[知识自测]1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)1,1,1,1，…不能构成一个数列．()(2)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．()(3)所有数列的第n项都能使用公式表达．()(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．()(5)已知an＋2＝f(an＋1，an)时，如果要确定这个数列，则必须知道初始值a1，a2.()(6)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.()[答案](1)×(2)×(3)×(4)√(5)√(6)√2．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋－1nan－1(n≥2)，则a5等于()A.32B.53C.85D.23[解析]a2＝1＋－12a1＝2，a3＝1＋－13a2＝12，a4＝1＋－14a3＝3，a5＝1＋－15a4＝23.[答案]D3．数列{an}中，an＝－n2＋11n，则此数列最大项的值是________．[解析]an＝－n2＋11n＝－n－1122＋1214，∵n∈N*，∴当n＝5或n＝6时，an取最大值30.[答案]30题型一由数列的前几项求数列的通项公式(基础保分题，自主练透)例(1)已知n∈N*，给出4个表达式：①an＝0，n为奇数，1，n为偶数，②an＝1＋－1n2，③an＝1＋cosnπ2，④an＝sinnπ2.其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是()A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④[解析]检验知①②③都是所给数列的通项公式．[答案]A(2)写出下面各数列的一个通项公式：①3,5,7,9，…；②12，34，78，1516，3132，…；③－1，32，－13，34，－15，36，…；④3,33,333,3333，….[解]①各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1.②每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以an＝2n－12n.③奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以an＝(－1)n·2＋－1nn.也可写为an＝－1n，n为正奇数，3n，n为正偶数.④将数列各项改写为93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以an＝13(10n－1)．方法感悟由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*处理．【针对补偿】1．(2018·太原模拟)数列1,3,6,10，…的一个通项公式是()A．an＝n2－(n－1)B．an＝n2－1C．an＝nn＋12D．an＝nn－12[解析](1)观察数列1,3,6,10，…可以发现1＝1，3＝1＋2，6＝1＋2＋3，10＝1＋2＋3＋4，…第n项为1＋2＋3＋4＋…＋n＝nn＋12.∴an＝nn＋12.[答案]C2．根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1)－1,7，－13,19，…；(2)23，415，635，863，1099，…；(3)12，2，92，8，252，…；(4)5,55,555,5555，….[解](1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n，观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对比值大6，故数列的一个通项公式为an＝(－1)n(6n－5)．(2)这是一个分数数列，其分子构成偶数数列，而分母可分解为1×3,3×5,5×7,7×9,9×11，…，每一项都是两个相邻奇数的乘积．故所求数列的一个通项公式为an＝2n2n－12n＋1.(3)数列的各项，有的是分数，有的是整数，可将数列的各项都统一成分数再观察．即12，42，92，162，252，…，从而可得数列的一个通项公式为an＝n22.(4)将原数列改写为59×9，59×99，59×999，…，易知数列9,99,999，…的通项为10n－1，故所求的数列的一个通项公式为an＝59(10n－1)．题型二an与Sn关系的应用(重点保分题，共同探讨)考向一利用an与Sn的关系求an1．(2018·南昌月考)若数列{an}的前n项和Sn＝23an＋13，则{an}的通项公式an＝________.[解析]由Sn＝23an＋13，得当n≥2时，Sn－1＝23an－1＋13，两式相减，整理得an＝－2an－1，又当n＝1时，S1＝a1＝23a1＋13，∴a1＝1，∴{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，故an＝(－2)n－1.[答案](－2)n－12．已知下列数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式①Sn＝2n2－3n；②Sn＝3n＋b.[解]①a1＝S1＝2－3＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.②a1＝S1＝3＋b，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.当b＝－1时，a1适合此等式；当b≠－1时，a1不适合此等式．∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；当b≠－1时，an＝3＋b，n＝1，2·3n－1，n≥2.考向二利用an与Sn关系求Sn3．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝________.A．2n－1B.32n－1C.23n－1D.12n－1[解析]由已知Sn＝2an＋1得Sn＝2(Sn＋1－Sn)，即2Sn＋1＝3Sn，Sn＋1Sn＝32，而S1＝a1＝1，所以Sn＝32n－1.[答案]B4．(2018·株州模拟)设Sn是正项数列{an}的前n项和，且an和Sn满足：4Sn＝(an＋1)2(n＝1,2,3，…)，则Sn＝____________.[解析]由题意，可知Sn＝an2＋122，当n＝1时，a1＝1.an＝Sn－Sn－1＝an2＋122－an－12＋122＝an2＋an－12＋1·an2－an－12＝a2n－a2n－14＋an2－an－12整理得，an＋an－12＝a2n－a2n－14⇒an－an－1＝2.所以an＝2n－1.解得Sn＝1＋2n－1n2＝n2.[答案]n2方法感悟已知Sn求an时应注意的问题(1)应重视分类讨论思想的应用，分n＝1和n≥2两种情况讨论；特别注意an＝Sn－Sn－1中需n≥2.(2)由Sn－Sn－1＝an推得an，当n＝1时，a1也适合“an式”，则需统一“合写”．(3)由Sn－Sn－1＝an，推得an，当n＝1时，a1不适合“an式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即an＝S1n＝1Sn－Sn－1n≥2.【针对补偿】3．已知数列{an}中，Sn是其前n项和，若Sn＝3n＋2n＋1，则an＝________.[解析]因为当n＝1时，a1＝S1＝6；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2·3n－1＋2，由于a1不适合此式，所以an＝6，n＝1，2·3n－1＋2，n≥2.[答案]6，n＝1，2·3n－1＋2，n≥2.4．(2018·湖南省检测)已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的正数x，y都有f(x·y)＝f(x)＋f(y)，若数列{an}的前n项和为Sn，且满足f(Sn＋2)－f(an)＝f(3)(n∈N*)，则an为()A．2n－1B．nC．2n－1D.32n－1[解析]由题意知f(Sn＋2)＝f(an)＋f(3)(n∈N*)，∴Sn＋2＝3an，Sn－1＋2＝3an－1(n≥2)，两式相减得，2an＝3an－1(n≥2)，又n＝1时，S1＋2＝3a1＝a1＋2，∴a1＝1，∴数列{an}是首项为1，公比为32的等比数列，∴an＝32n－1.[答案]D题型三由数列的递推关系求数列的通项公式(重点保分题，共同探讨)考向一形如an＋1＝an＋f(n)求an1．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋1nn＋1，求数列{an}的通项公式．[解]由题意，得an＋1－an＝1nn＋1＝1n－1n＋1，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝1n－1－1n＋1n－2－1n－1＋…＋12－13＋1－12＋2＝3－1n.2．若数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋2n，求数列{an}的通项公式．[解]由题意知an＋1－an＝2n，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n－1.考向二形如an＋1＝an·f(n)，求an3．在数列{an}中，a1＝1，an＝n－1nan－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式．[解]∵an＝n－1nan－1(n≥2)，∴an－1＝n－2n－1an－2，an－2＝n－3n－2an－3，…，a2＝12a1.以上(n－1)个式子相乘得an＝a1·12·23·…·n－1n＝a1n＝1n.当n＝1时，a1＝1，上式也成立．∴an＝1n(n∈