【数学】第三章 数系的扩充与复数的引入章末归纳总结(人教A版选修2-2)

第三章数系的扩充与复数的引入①复数的分类a＋bi实数(b＝0)虚数(b≠0)纯虚数(a＝0)非纯虚数(a≠0)②处理有关复数概念的问题，首先可找准复数的实部与虚部(若复数为非标准代数形式，则应通过代数运算化为代数形式)，然后根据定义解题．[例1]复数z＝m2＋m－6m＋2＋(m2－3m－10)i，求实数m使得(1)z是实数；(2)z是纯虚数；(3)z所对应的点在复平面的第二象限；(4)z是复数．[解析]实部为m2＋m－6m＋2＝(m＋3)(m－2)m＋2虚部为m2－3m－10＝(m＋2)(m－5)．(1)要使z为实数，则(m＋2)(m－5)＝0m＋2≠0即m＝－2或m＝5m≠－2∴当m＝5时，z是实数．(2)要使z为纯虚数，则(m＋3)(m－2)m＋2＝0(m＋2)(m－5)≠0即m＝－3或m＝2m≠－2且m≠5，∴当m＝－3或m＝2时，z是纯虚数．(3)由复数z所对应的点在复平面上第二象限的充要条件知(m＋3)(m－2)m＋20(m＋2)(m－5)0即m－3或－2m2m5或m－2，∴m－3.∴当m－3时，z对应的点在第二象限．(4)要使z为复数，则(m＋3)(m－2)m＋2∈R(m＋2)(m－5)∈R∴当m≠－2时，z为复数.①a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔a＝cb＝d.②利用复数相等可实现复数问题向实数问题的转化，解题时可把等号两边的复数化为标准的代数形式．[例2]已知集合M＝{(a＋3)＋(b2－1)i,8}，集合N＝{3i，(a2－1)＋(b＋2)i}同时满足M∩NM，M∩N≠∅，求整数a，b.[解析]依题意得(a＋3)＋(b2－1)i＝3i①或(a＋3)＋(b2－1)i＝(a2－1)＋(b＋2)i②或8＝(a2－1)＋(b＋2)i③由①得a＝－3，b＝±2，经检验b＝－2.不合题意，舍去．∴a＝－3，b＝2.由②得a＋3＝a2－1b2－1＝b＋2即a2－a－4＝0b2－b－3＝0此方程组无整数解．由③得a＝±3，b＝－2，又a＝－3，b＝－2不合题意，舍去，∴a＝3，b＝－2.综上得a＝－3，b＝2或a＝3，b＝－2.(1)在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．①(1＋i)2＝2i；②(1－i)2＝－2i；③1＋i1－i＝i；④1－i1＋i＝－i；⑤－b＋ai＝i(a＋bi)；⑥i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．(2)复数的四则运算类似于多项式的四则运算，此时含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i的幂写成最简形式，两个复数相除，类似于根式分母有理数．[例3]计算：2＋2i3－i7－2－2i1＋3i7.[解析]原式＝2i(1－i)3－i7－2(1－i)i(3－i)7＝2i(1－i)3－i7＋2i(1－i)3－i7＝22＋2i3－i7＝2(1＋i)(3＋i)27＝2[(1＋i)2]3(1＋i)(－i)7－12＋32i7＝2(－8i)·(1＋i)·i·－1＋3i2＝－8－83＋(－8＋83)i.[例4]已知z＝1＋i，(1)设ω＝z2＋3z－4，求ω；(2)如果z2＋az＋bz2－z＋1＝1－i，求实数a、b的值．[解析](1)∵z＝1＋i，∴ω＝z2＋3z－4＝(1＋i)2＋3(1＋i)－4＝－1－i.(2)由z2＋az＋bz2－z＋1＝1－i，把z＝1＋i代入得(1＋i)2＋a(1＋i)＋b(1＋i)2－(1＋i)＋1＝1－i，∴(a＋b)＋(a＋2)ii＝1－i∴(a＋b)＋(a＋2)i＝(1－i)i＝1＋i，∴a＋2＝1a＋b＝1得a＝－1b＝2.(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)向量OZ→＝(a，b)．(2)设z＝a＋bi(a，b∈R)，|z|＝a2＋b2.[例5]已知复平面内点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos2θ，其中θ∈(0,2π)，设AB→对应的复数为z.(1)求z；(2)若复数z对应的点P在y＝12x上，求θ的值．[例6]设复数z的共轭复数为z，且4z＋2z＝33＋i，ω＝sinθ－icosθ.复数z－ω对应复平面内的向量为OM→，求z的值和|OM→|的取值范围．[解析]设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi，由4z＋2z＝33＋i得4(a＋bi)＋2(a－bi)＝33＋i即6a＋2bi＝33＋i，根据复数相等的充要条件有6a＝332b＝1⇒a＝32b＝12，∴z＝32＋12i.∴z－ω＝32＋12i－(sinθ－icosθ)＝32－sinθ＋12＋cosθi∴|OM→|＝32－sinθ2＋12＋cosθ2＝2－3sinθ＋cosθ＝2－2sinθ－π6∵－1≤sinθ－π6≤1∴0≤|z－ω|≤2，故所求z＝32＋12i，|OM→|的取值范围是[0,2]．