【数学建模】国家财政收入的影响因素的评价及预期收入的预测

国家财政收入的影响因素【摘要】国家的财政收入与国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资等因素有关。首先，我们根据所给数据，对数据进行描述性分析。之后，我们对数据进行了回归分析，构造了预测模型，获得了模型的回归系数估计值，然后，考虑到每个回归系数置信区间包含零点与否的情况，我们对模型进行了一系列的统计检验，并对模型进行了消除序列相关性的改进，使模型通过了各个统计的检验。之后，我们代入所给数据1953年-1980年的各项经济指标，得到预测值与实际值的拟合效果较好，预测较准确。最后，我们根据网络上查到的数据，利用该模型对1990年和2000年的财政收入作出预测，并对结果进行了分析。关键词：MATLABEviews财政收入回归模型LM检验序列相关性一、问题重述国家的财政收入与国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资等因素有关，根据所给数据，对数据进行分析，构造预测模型，并利用该模型对1990年和2000年的财政收入作出预测。二、问题假设1.财政收入只可能与问题重述中提到的6个因素有关，而与其它因素无关；2.所给数据真实准确，无录入错误。3.不考虑偏差大的数据，在建模中把异常点的数据剔除。三、符号说明y：财政收入；x1：国民收入；x2：工业总产值；x3：农业总产值；x4：总人口；x5：就业人口；x6：固定资产投资；β0，β1，β2，β3，β4，β5，β6：回归系数；E：随机误差。X1(-1)，X3(-1)，X6(-1)：x1，x3，x6的一阶滞后项；YF：财政收入的预测值四、问题分析、模型的建立与求解1.问题的分析首先对数据作初步分析。分别用MATLAB作出财政收入与6个因素的散点图，从中找出异常的点，从而把异常的点所对应的数据剔除：500100015002000250030001002003004005006007008009001000国民收入财政收入(亿元图1x1-y散点图010002000300040005000600070001002003004005006007008009001000工业总产值财政收入(亿元图2x2-y散点图40050060070080090010001100120013001002003004005006007008009001000农业总产值财政收入(亿元图3x3-y散点图5.566.577.588.599.51010.5x1041002003004005006007008009001000总人口财政收入(亿元图4x4-y散点图2345678x1041002003004005006007008009001000就业人口财政收入(亿元图5x5-y散点图由该图可以明显看出，最右边有一个异常点：1981年就业人口攀升为73280，较之前有大幅度增长，但财政收入明显地低于预测值，为使个别数据不致影响整个模型，我们将该异常数据去掉。去掉后的x5-y散点图如下：22.533.544.5x1041002003004005006007008009001000就业人口财政收入(亿元图6去掉异常点后的x5-y散点图01002003004005006001002003004005006007008009001000固定资产投资财政收入(亿元图7x6-y散点图2.模型的建立从以上的散点图可以看出财政收入Y与x1~x6大致都呈现线性的关系，我们再引入一个常量回归系数β0，作出了初步的模型：y=β0+β1x1+β2x2+β3x3+β4x4+β5x5+β6x6+E（1）3.模型的求解首先我们剔除掉因为1981年就业人口对财政收入影响异常的特殊点（见图6），之后利用MATLAB统计工具箱中命令regress求解，得到模型（1）的回归系数估计值及其置信区间（置信水平α=0.05）、检验统计量R2，F，p的结果见表1。参数参数估计值参数置信区间β0-15.5344-366.5816335.5127β10.51000.23010.7898β2-0.0259-0.07690.0251β3-0.5905-0.9901-0.1908β40.0113-0.00280.0254β5-0.0230-0.04920.0032β60.3419-0.03870.7225R2=0.9840，F=225.8953，p=0.0000表1模型（1）的计算结果表1显示，R2=0.9840指因变量y（财政收入）的98.40%可由模型（1）的自变量的变化来解释，F值远远超过F检验的临界值，p=0远小于α，因而模型（1）从整体来看是可用的。表1的回归系数给出了模型（1）中β0，β1，β2，β3，β4，β5，β6的估计值，即-15.53440βˆ，5100.01βˆ，0259.0-2βˆ，5905.0-3βˆ，0113.04βˆ，0230.0-5βˆ，3419.06βˆ。检查它们的置信区间发现，β0，β2，β4，β5，β6的置信区间包含零点。从估计结果来看，模型可能存在多重共线性。原因如下：在5%的显著性水平下，由置信区间可以看出除x1与x3外，所有回归系数的t检验值均小于临界值；但F统计量的值225.8953远远大于临界值，且拟合优度很高，解释变量对被解释变量有显著的解释性能力。应用Eviews软件，采用菜单操作可得各解释变量之间的相关系数表，结果见表2：表2从上图可以看出六个解释变量之间两两简单相关关系都在80%以上，甚至有的在98%以上，超过了拟合优度，这表明模型存在严重的多重共线性。4.模型的改进根据以上的分析，我们采用逐步回归法来确定回归模型。第一步，用每个解释变量分别对被解释变量做简单回归，从而决定解释变量的重要程度，为解释变量排序。应用Eviews软件，采用菜单操作可得各解释变量与被解释变量的拟合优度：x1的拟合优度R2=0.951223x2的拟合优度R2=0.937951、x3的拟合优度R2=0.843960、X4的拟合优度R2=0.865832、x5的拟合优度R2=0.860956x6的拟合优度R2=0.939462根据t统计量的大小排序，可见解释变量的重要程度依次为：x1，x6，x2，x4，x5，x3。第二步，以Y=21.82266+0.3233378X1为基础，依次引入x6，x2，x4，x5，x3。根据逐步回归法的原则，最终确定的模型（2）为：Y=163.1010+0.406223X1-0.49127X3+0.330958X6（2）其中其模型的分析结果为：表3模型（2）的计算结果由上表可以看出，模型（2）的所有变量的参数都通过了t检验，且F值为440.9664，比模型（1）的F值大很多，这说明模型的显著性是可以通过的。但模型（2）的DW值是1.505283，又对于显著性水平α=0.05，n=29，k=3，查D-W分布表，得到检验的临界值dL=1.27和dU=1.56，由此可知，模型（2）的DW值位于临界值dL和dU之间，因此不能判断模型是否存在序列相关性。下面用LM检验检验模型（2）是否存在序列相关性，首先检验模型的一阶序列相关性。应用Eviews软件，采用菜单操作可得LM检验的结果，结果见表4：表4由上图可得，存在一阶序列相关的概率P=0.3586450.05，所以认为模型存在一阶序列相关性。下面检验模型是否存在两阶序列相关性。应用Eviews软件，采用菜单操作可得LM检验的结果，结果见表5：表5由上图可知，存在两阶序列相关的概率P=0.0364110.05，所以认为模型不存在两阶序列相关性。综上两点可知，模型（2）只存在一阶序列相关性，不存在两阶或两阶以上的序列相关性。下面应用Eviews软件，采用菜单操作运用广义差分法进行自相关的处理。所得结果为表6：表6修正后的模型（2）的计算结果由此可知，在Eviews软件包下，1阶广义差分的估计结果为：Y=170.0423+0.396846X1-0.49698410X3+0.36841X6+0.217615AR(1)（3）AR(1)前的参数值为随机干扰项的一阶序列相关系数。对于显著性水平α=0.05，n=28，k=3，查D-W分布表，得到检验的临界值dL=1.26和dU=1.56，又由上图可知，修正后的模型（2）的DW值为1.599760dU=1.56且4-dU，由此认为修正后的模型（2）不存在一阶序列相关性。所以修正后的模型为：Y-0.217615Y(-1)=163.1010(1-0.217615)+0.406223(X1-0.217615X1(-1))-0.49127(X3-0.217615X3(-1))+0.330958(X6-0.217615X6(-1))（4）5.结果分析从表面上看，经过用广义差分法修正后的模型（2）已经不存在序列相关性了，这就说明模型排除了序列相关性的干扰。用广义差分法修正后的模型（2）的拟合度已经达到了R2=0.98，这表明财政收入的98%可以由解释变量x1、x3、x6解释。残差E=F-FY可以作为随机误差的估计值，画出随机误差E的走势图（图8）能够从直观上判断ε的自相关性。图8修正后的模型（2）E的走势图从图8可以看出，随机误差项E的走势大概呈现标准正态分布的趋势，这表明E几乎不存在自相关性了。下面，我们将使用修正后的模型（2）对之前数据进行评价：年份1953195419551956195719581959实际值216248254268286357444预测值197.0488241.8454235.6226276.3688267.6546375.1301483.6987年份1960196119621963196419651966实际值506271230266323393466预测值517.5848305.6149233.9238255.0631301.5687377.6023431.3645年份1967196819691970197119721973实际值352303447564638658691预测值376.7942349.9542448.8678553.8521614.6158635.7772667.8887年份1974197519761977197819791980实际值655692657723922890826预测值662.9507718.7919672.9797723.4487829.0786878.6001893.5268表7财政收入的预测值与实际值对比19501955196019651970197519801002003004005006007008009001000YYF图9财政收入预测值与实际值的拟合图从上可以看到，预测值与实际值还是相当吻合的。之后，我们查阅了1990年及2000年的国民收入、工业总产值、农业总产值、总人口、就业人口、固定资产投资，代入模型（2）。结果如下：年份国民收入工业总产值农业总产值总人口就业人口固定资产投资199011412.9622452.27514611295463931.94517200098000.575710.6913873.612674372116.7732917.7年份财政收入（预测值）财政收入（实际值）19903766.22821.8620004405213395.23表81990年和2000年财政收入预测值与实际值对比数据来源自《CNKI中国统计年鉴数据库》从表8可以看到，1990年预测值与实际值和2000年的预测值都相差较大，原因不一定是模型建立的偏差大，还有可能是其他原因，如在查阅数据时，我们就发现了2000年的工业总产值数据注明了“1990年不变价格”，而其余数据没有此说明项；且1980年后国家实行了改革开放的经济政策，经济的发展规律发生了很大的变化，用1980年以前的数据建立起来的模型去预测1980年后的一些经济数据自然会有较大的偏差。并且，在固定资产投资一栏，我们查到了非常详细的分类，固定资产投资资金来源中国家预算内资金，固定资产投资资金来源中国内贷款，固定资产投资资金来源中自筹和其他资金等备注，而题目并未给出，这给我们