函数图像知识点梳理

1函数的图像2【考纲说明】1、掌握基本函数的图象的特征，能熟练运用基本函数的图象解决问题。2、掌握图象的作法、描点法和图象变换法。【知识梳理】一、函数的图像1、作图方法：描点法和利用基本函数图象变换作图；作函数图象的步骤：①确定函数的定义域；②化简函数的解析式；③讨论函数的性质即单调性、奇偶性、周期性、最值（甚至变化趋势）；④描点连线，画出函数的图象。2、识图：分布范围、变化趋势、对称性、周期性等等方面．二、函数图像的变化1、平移变换：（1）水平平移：函数()yfxa=+的图像可以把函数()yfx=的图像沿x轴方向向左(0)a或向右(0)a平移||a个单位即可得到；（2）竖直平移：函数()yfxa=+的图像可以把函数()yfx=的图像沿x轴方向向上(0)a或向下(0)a平移||a个单位即可得到．①y=f(x)h左移→y=f(x+h);②y=f(x)h右移→y=f(x−h);③y=f(x)h上移→y=f(x)+h;④y=f(x)h下移→y=f(x)−h.2、对称变换：（1）函数()yfx=−的图像可以将函数()yfx=的图像关于y轴对称即可得到；（2）函数()yfx=−的图像可以将函数()yfx=的图像关于x轴对称即可得到；（3）函数()yfx=−−的图像可以将函数()yfx=的图像关于原点对称即可得到；（4）函数1()yfx−=的图像可以将函数()yfx=的图像关于直线yx=对称得到．①y=f(x)轴x→y=−f(x);②y=f(x)轴y→y=f(−x);③y=f(x)ax=→直线y=f(2a−x);④y=f(x)xy=→直线y=f−1(x);3⑤y=f(x)原点→y=−f(−x).提示：a.若f(a＋x)＝f(b－x)，x∈R恒成立，则y＝f(x)的图象关于x＝a＋b2成轴对称图形，若f(a＋x)＝－f(b－x)，x∈R，则y＝f(x)的图象关于点(a＋b2，0)成中心对称图形．b.函数y＝f(a＋x)与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝12(b－a)对称.3、翻折变换：（1）函数|()|yfx=的图像可以将函数()yfx=的图像的x轴下方部分沿x轴翻折到x轴上方，去掉原x轴下方部分，并保留()yfx=的x轴上方部分即可得到；（2）函数(||)yfx=的图像可以将函数()yfx=的图像右边沿y轴翻折到y轴左边替代原y轴左边部分并保留()yfx=在y轴右边部分即可得到．y=f(x)cbaoyxy=|f(x)|cbaoyxy=f(|x|)cbaoyx4、伸缩变换：（1）函数()yafx=(0)a的图像可以将函数()yfx=的图像中的每一点横坐标不变纵坐标伸长(1)a或压缩（01a）为原来的a倍得到；（2）函数()yfax=(0)a的图像可以将函数()yfx=的图像中的每一点纵坐标不变横坐标伸长(1)a或压缩（01a）为原来的1a倍得到．①y=f(x)ω×→xy=f(ωx);②y=f(x)ω×→yy=ωf(x).【经典例题】【例1】函数()yfx=与()ygx=的图像如下图：则函数()()yfxgx=⋅的图像可能是（）4y=f(x)oyxy=g(x)oyxoyxoyxoyxoyxA.B.C.D.【解析】∵函数()()yfxgx=⋅的定义域是函数()yfx=与()ygx=的定义域的交集(,0)(0,)−∞+∞，图像不经过坐标原点，故可以排除C、D。由于当x为很小的正数时()0fx且()0gx，故()()0fxgx⋅。∴选A.【例2】说明由函数2xy=的图像经过怎样的图像变换得到函数321xy−−=+的图像．【解析】方法一：（1）将函数2xy=的图像向右平移3个单位，得到函数32xy−=的图像；（2）作出函数32xy−=的图像关于y轴对称的图像，得到函数32xy−−=的图像；（3）把函数32xy−−=的图像向上平移1个单位，得到函数321xy−−=+的图像．方法二：（1）作出函数2xy=的图像关于y轴的对称图像，得到2xy−=的图像；（2）把函数2xy−=的图像向左平移3个单位，得到32xy−−=的图像；（3）把函数32xy−−=的图像向上平移1个单位，得到函数321xy−−=+的图像．【例3】设曲线C的方程是3yxx=−，将C沿x轴、y轴正方向分别平移t、s(0)t≠个单位长度后得到曲线1C，（1）写出曲线1C的方程；5（2）证明曲线C与1C关于点(,)22tsA对称；（3）如果曲线C与1C有且仅有一个公共点，证明：24tst=−．【解析】（1）曲线1C的方程为3()()yxtxts=−−−+；（2）证明：在曲线C上任意取一点111(,)Bxy，设222(,)Bxy是1B关于点A的对称点，则有1212,2222xxtyys++==，∴1212,xtxysy=−=−代入曲线C的方程，得22,xy的方程：3222()()sytxtx−=−−−即3222()()yxtxts=−−−+可知点222(,)Bxy在曲线1C上．反过来，同样证明，在曲线1C上的点A的对称点在曲线C上．因此，曲线C与1C关于点A对称．（3）证明：因为曲线C与1C有且仅有一个公共点，∴方程组33()()yxxyxtxts=−=−−−+有且仅有一组解，消去y，整理得22333()0txtxtts−+−−=，这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根，∴43912()0tttts∆=−−−=，即得3(44)0ttts−−=，因为0t≠，所以34tst=−．【例4】（1）试作出函数1yxx=+的图像；（2）对每一个实数x，三个数2,,1xxx−−中最大者记为y，试判断y是否是x的函数？若是，作出其图像，讨论其性质（包括定义域、值域、单调性、最值）；若不是，说明为什么？【解析】（1）∵1()fxxx=+，∴()fx为奇函数，从而可以作出0x时()fx的图像，又∵0x时，6()2fx≥，∴1x=时，()fx的最小值为2，图像最低点为(1,2)，又∵()fx在(0,1)上为减函数，在(1,)+∞上是增函数，同时1()(0)fxxxxx=+即以yx=为渐近线，于是0x时，函数的图像应为下图①，()fx图象为图②：（2）y是x的函数,作出2123(),(),()1gxxgxxgxx==−=−的图像可知，()fx的图像是图③中实线部分．定义域为R；值域为[1,)+∞；单调增区间为[1,0),[1,)−+∞；单调减区间为(,1),[0,1)−∞−；当1x=±时，函数有最小值1；函数无最大值．【例5】已知函数f(x)＝|x2－4x＋3|(1)求函数f(x)的单调区间，并指出其增减性；(2)若关于x的方程f(x)－a＝x至少有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围．【解析】作出图象如图所示．(1)递增区间为[1,2]，[3，＋∞)，递减区间为(－∞，1]，[2,3]．(2)原方程变形为|x2－4x＋3|＝x＋a，于是，设y＝x＋a，在同一坐标系下再作出y＝x＋a的图象．如图．则当直线y＝x＋a过点(1,0)时a＝－1；当直线y＝x＋a与抛物线y＝－x2＋4x－3相切时，由y＝x＋ay＝－x2＋4x－3⇒x2－3x＋a＋3＝0.由Δ＝9－4(3＋a)＝0.得a＝－34.由图象知当a∈[－1，－34]时方程至少有三个不等实根．【例6】作图：(1)y＝a|x－1|，(2)y＝log|x－1|a，(3)y＝|loga(x－1)|(a1)．【解析】xyO③xyO①Oxy②7(1)的变换是：y＝ax→y＝a|x|→y＝a|x－1|，而不是：y＝ax→y＝ax－1→y＝a|x－1|，这需要理解好y＝f(x)→y＝f(|x|)的交换．(2)题同(1)，(3)与(2)是不同的变换，注意区别．【课堂练习】1、下列每组两个函数的图象中，正确的是（）1y=logaxy=ax+1-11oyxy=ax1y=ax+11oyxy=axy=ax+11oyxy=ax+1y=ax+11oyxA.B.C.D.2、已知函数f(x)=(x−1)/a(a0,a≠1),在同一坐标系中，y=f−1(x)与y=a|x−1|的图象只可能是()A11-1oyxB11-1oyxC11-1oyxD11-1oyx3、在下列图象中，二次函数y=ax2+bx与指数函数y=xab)(的图象只可能是（）A11-1oyxB11-1oyxC11-1oyxD11-1oyx4、已知函数y=a/x与y=ax2+bx,则下列图象正确的是（）AoyxBoyxCoyxDoyx5、函数y=|1|2x−的图象是（）8AoyxBoyxCoyxDoyx6、函数y=(3x−1)/(x+2)的图象（）A.关于点(−2,3)对称B.关于点(2,−3)对称C.关于直线x=−2对称D.关于直线y=−3对称7、若第一个函数y=f(x),它的反函数是第二个函数，又第三个函数图象与第二个函数的图象关于直线x+y=0对称，那么第三个函数的图象是（）A.y=−f−1(x)B.y=−f−1(−x)C.y=−f(x)D.y=−f(−x)8、设函数y=f(x)定义在实数集上，则函数y=f(x−1)与y=−f(1−x)的图象关于（）对称A.直线x=0B.直线x=1C.点(0,0)D.点(1,0)9、在以下四个按对应图象关系式画出的略图中，不正确．．．的是（）A．y=|log2x|B.y=2|x|C.y=log0.5x2D.y=|x−1/3|oyxoyxoyxoyx10、已知函数y=f(x)的图象如图，则y=f(1−x)的图象是（）11-1oyxA11-1oyxB-21-1oyxC11-1oyxD11-1oyx11、下列命题中：①函数y=f(x)的图象与x=f(y)的图象关于直线y=x对称；②若f(x)=−f(−x),则f(x)的图象关于原点对称；③若f(x)=f(−x)则f(x)的图象关于y轴对称；④y=f(x)的图象与y=−f(x)的图象关于y轴对称，其中真命题是（）A、②③B、②③④C、①②③D、全都是12、把函数y=cosx的图象向右平移1/2个单位，再把图象上点的横坐标缩小到原来的1/2，所得图象的解析式为.13、画出下列函数的图象：(1)y=lg|x+1|;(2)y=(x+2)/(x+3).14、若函数y=log2|ax−1|图象的对称轴是x=2,则非零实数a的值为.15、函数y=f(|x−m|)的图象与y=f(|x|)的图象关于直线对称.16、将函数y=f(x)的图象向右平移2个单位，再把图象上点的横坐标变为原来的1/3，所得图象的解析式为_______.917、如下图所示，向高为H的水瓶,,,ABCD同时以等速注水，注满为止；A.B.C.D.（1）若水深h与注水时间t的函数图象是下图中的a，则水瓶的形状是；（2）若水量v与水深h的函数图像是下图中的b，则水瓶的形状是；（3）若水深h与注水时间t的函数图象是下图中的c，则水瓶的形状是；（4）若注水时间t与水深h的函数图象是下图中的d，则水瓶的形状是．abcd18、已知f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则b的取值范围是.19、说出作出函数y=log2(1−x)的图象的过程.20、方程|x2+2x−3|=a(x−2)有四个实数根，求实数a的取值范围.【课后作业】1、函数y＝ln1|2x－3|的图象为()2、下列函数的图像中，经过平移或翻折后不能与函数y＝log2x的图象重合的函数是()A．y＝2xB．y＝log12xC．y＝4x2D．y＝log21x＋13、若函数f(x)在(4，＋∞)上为减函数，且对任意的x∈R，有f(4＋x)＝f(4－x)，则()A．f(2)f(3)B．f(2)f(5)C．f(3)f(5)D．f(3)f(6)4、（2009安徽）设ab，函数y＝(x－a)2(x－b)的图象可能是()thvhthth12oyx105、已知下图①的图象对应的函数为y＝f(x)，则图②的图象对应的函数在下列给出的四式中，只可能是()A．y＝f(|x|)B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|)D．y＝－f(|x|)6、函数f(x)＝11＋|x|的图象