正切函数的性质与图象

正切函数值yxxO-1PA(1,0)Ttan=AT正切线AT注意：三角函数线是有向线段！复习回顾：什么是正切线？•周期函数：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么这个函数f(x)就叫周期函数。•最小正周期：所有周期T中最小的正数。什么是周期函数？XOY因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数0),)1(2,2(,sinkzkkkxxy且的图象与函数的图象形状完全相同，)2,0[,sinxxy只是位置不同]2,0[,sinxxy2636532236734356112如何利用单位圆中的正弦线作出正弦函数图象？思考：类比研究正弦和余弦函数的方法，你认为正切函数有那些性质？1.4.3正切函数的性质与图像根据诱导公式填空：所以，正切函数是周期函数，且周期是______．tanxπ,tan)(xxf设)tan(tan)(xxxfπ则)(πxf首先我们一起分析一下正切函数y=tanx是否为周期函数？tan（π+x）=______，x∈R，且x≠+kπ，k∈Z．π2根据诱导公式填空：所以，正切函数是_______函数．奇tan（-x）=______，x∈R，x≠+kπ，k∈Z．π2-tanx}k2xx{tan)(ZkRxxfπ，π的定义域为)tan()(xxf)(tanxfx接着我们一起分析一下正切函数y=tanx的奇偶性。类似正弦曲线的作法，我们先作正切函数在一个周期上的图象。下面我们利用正切线画出函数)2,2(,tanxxy的图象6/18/2020由正切函数的周期性，把图象向左、向右扩展，得到正切函数的图象，称为正切曲线yx1-1/2-/23/2-3/2-0y=tanx正切曲线是由被相互平行的的直线所隔开的无穷多支曲线组成的()2xkkZ正切函数的性质和图像：tanyx１.定义域：{|,}2xxkkZ２值域：R３周期性：正切函数是周期函数，周期是４.奇偶性：奇函数xy22o22tanyx思考1：根据正切函数的函数图像，是否是定义域的增函数？（课本P455（1））思考2：如何确定正切函数的增区间？内都是增函数。π），ππ，π（正切函数在开区间Zkkk22-xy22o22tanyx例6求函数y=tan（x+）的定义域、周期和单调区间．π2π3解：函数的自变量x应满足π2π3x+≠kπ+，k∈Z，π2即x≠2k+，k∈Z．13所以，函数的定义域是{x|}．x≠2k+，k∈Z13因此函数的周期为2．由于f（x）=tan（x+）=tan（x++π）π2π3π2π3=tan[（x+2）+]=f（x+2），π2π3由π2-+kπ＜x+＜+kπ，k∈Z解得π2π3π253-+2k＜x＜+2k，k∈Z．13因此，函数的单调递增区间是53（-+2k，+2k），k∈Z．13例6求函数y=tan（x+）的定义域、周期和单调区间．π2π3）的周期是多少（思考：对于函数0)tan()(xAxf)tan()(xAxf)(πxf)tan(πxA])(tan[πxA的周期为)tan()(xAxfπT练习：课本P4546/18/2020练习：课本P453π，π∵解：kx23}36xx{Zkkπ，π定义域为Zkkxπ，π36Page17练习：课本P456,27014313890)1(6∵解：之间是增函数到在而且27090tanx143tan138tan)413tan()2(π)517tan(ππ）π41-3tan()41-tan(ππ41tan上为增函数π在而且πππ∵]21,0[tan,2152410x)52-3tan(ππ)52-tan(ππ52tan)52tan()41tan(ππ),52tan()41tan(-ππ)517tan()413tan(ππ即（1）tanx＞0时，{x|kπ＜x＜+kπ，k∈Z};π2（2）tanx=0时，{x|x=kπ，k∈Z};π2（3）tanx＜0时，{x|-+kπ＜x＜kπ，k∈Z}．练习：课本P452思考：正切函数有没有对称中心？对称轴？））（π，（正切函数的对称中心为Zkk021正切函数没有对称轴。（1）正切函数的图像（2）正切函数的性质：定义域：值域：周期性：奇偶性：单调性：Zkkxx,2|全体实数R正切函数是周期函数，最小正周期T=奇函数，组卷网正切函数在开区间内都是增函数。Zkkk,2,2（3）本课应用数形结合、类比、归纳、猜想等数学思想方法xy22o22tanyx