20.3 菱形的判定

20.3菱形的判定复习：菱形的特殊性边：角：对角线：四边相等对角线平分一组对角对角线互相垂直平分菱形的性质有：1.两条对角线互相平分2.四条边都相等3.每条对角线平分一组对角判定定理1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形∵ABCDAB=BC∴四边形ABCD是菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形∵ABCDAC⊥BD∴四边形ABCD是菱形ABCDO判定定理3：四条边都相等的四边形是菱形∵AB=BC=CD=AD∴四边形ABCD是菱形判定定理4：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形∵AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC∴四边形ABCD是菱形问：如何证明判定定理2和判定定理3呢？判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形已知ABCD中，对角线AC、BD互相垂直，求证：四边形ABCD是菱形．证明：在中，OA＝OC（①）．又∵AC⊥BD，∴BD所在直线是线段AC的垂直平分线，∴AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形（②）．ABCD例已知:矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，求证:四边形AFCE是菱形证明∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥FC（①）∴∠1＝∠2．（②）∵EF平分AC，∴AO＝OC．又∵∠AOE＝∠COF＝90°，∴△AOE≌△COF（③），∴EO＝FO，∴四边形AFCE是平行四边形（④）又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE是菱形（⑤）判定定理3：四条边都相等的四边形是菱形已知：AB=BC=CD=DA求证：四边形ABCD是菱形ABCD∵AB=CD,BC=AD∴四边形ABCD是平行四边形∵AB=CD∴四边形ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）拓展由菱形的性质：“每条对角线平分一组对角”，我们还可以得到判定菱形的方法：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形．对此感兴趣的同学，可以试着用逻辑推理的方法进行证明．小结：菱形的证明方法判定定理1：有一组邻边相等的平行四边形是菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形判定定理3：四条边都相等的四边形是菱形判定定理4：每条对角线平分一组对角的四边形是菱形P116练习1．证明：四条边都相等的四边形是菱形．2．将一张矩形的纸对折再对折，然后沿着图中的虚线剪下，打开，你发现这是一个什么样的图形呢？说说你的理由.见前面解：是菱形，因为这个四边形的对角线相互垂直平分行。1、下列说法正确的是（）A、邻角相等的四边形是菱形B、有一组邻边相等的四边形是菱形C、对角线互相垂直的四边形是菱形D、对角线互相垂直且平分的四边形是菱形D2、如图，在四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，且AO=3，BO=4，AB=5。求证：四边形ABCD是菱形。ABCDO证明：∵AO=3，BO=4，AB=5∴AB2=AO2+BO2∴△OAB是直角三角形∴AC⊥BD又∵四边形ABCD是平行四边形∴四边形ABCD是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形)3.判断对错：（1）对角线互相垂直的四边形是菱形。（）（2）对角线垂直且平分的四边形是菱形。（）（3）对角线垂直的矩形是菱形。（）（4）对角线垂直且相等的四边形是菱形。（）（5）有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形。（）ABCD（第1题）P116习题20.31．如图，AD是△ABC的一条角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.求证四边形AEDF是菱形.证明：∵DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F∴四边形AEDF是平行四边形且∠EDA=∠DAF∵AD是△ABC的一条角平分线∴∠EAD=∠DAF∴∠EDA=∠EAD∴EA=ED（等角对等边）∴四边形AEDF是菱形.(有一组邻边相等的平行四边形是菱形）2．如图，△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，DE⊥AC于E，DG⊥AB于G，EK⊥AB于K，GH⊥AC于H，EK和GH相交于点F．求证：四边形DEFG是菱形．（第2题）证明：∵DE⊥AC于E，GH⊥AC于H∴DE∥GH∵DG⊥AB于G,EK⊥AB于K∴DG∥EK∴四边形DEFG是平行四边形∵AB＝AC∴∠B=∠C∵点D是BC的中点∴BD=CD∵DG⊥AB于G,DE⊥AC于E∴∠BGD=∠CED=90度在⊿BGD和⊿CED中，∵∠BGD=∠CED，∠B=∠C，BD=CD∴⊿BGD≌⊿CED(AAS)∴DG=DE∴四边形DEFG是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形）3．如图，菱形ABCD的周长为2p，对角线AC、BD交于O，AC＋BD＝q，求菱形ABCD的面积．（提示：利用两数和的平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2与勾股定理）（第3题）