2015年湛江一中高一实验班招生考试数学科试节选

第1页2015年湛一中高一实验班招生考试数学科试节选1、如果一个直角三角形的两条长分别是5和12，另一个与它相似的直角三角形边长分别为6和8及x，那么x的值（）A.有且仅有1个B.有且仅有2个C.有3个及以上但个数有限D.无数个解：第一个直角三角形的第三边可能是13或22125119；而x可能为10或228628；相似？我想下结论：本题是错题！2、如图，在长方体包装盒中，AB=5，BC=4，CC1=3，为只蚂蚁从点A出发沿盒子的表面爬到点C的最短距离为（）A.90B.80C.78D.74解：选D，如图.立体改为平面两点之间，线段最短.3、已知关于x的函数221002ymxxx，下列说法中，正确的是（）A.当0m时，没有最小值B.当1m时，max43ymC.当0m时，max11ymD.当112m时，min1y解：①当0m时，函数为10yx在02x时，y随x的增大而减小，显然当2x时，有最小值为8；②当0m时，二次函数221002ymxxx开口向下，且对称轴10xm位于y轴左侧，在02x区间，y随x的增大而减小，此时，显然当2x时，有最大值为max1y；第2页③当112m时，二次函数221002ymxxx开口向上，且对称轴11xm显然，对称轴正好在02x区间，则当1xm时，有最小值，即min11ym；④当1m时，二次函数221002ymxxx开口向上，且对称轴11xm，显然，当2x时，有最大值，则max43ym.故选B.5、已知关于x的方程2312xxxxx，则该方程实数解的个数为（）A.1B.2C.3D.4解：显然0x，则原方程可化为2123xxx设2123yxx或21yx画草图，显然也看出抛物线1y的最低点为1,4当1x时，21y4则在第四象限两函数有两个交点，所以当0x时，方程有两个实数根；选B6、如图是HZ区地图的一部分，有一条江穿过该区，江的两岸分别为折线A—B—C和折线D—O—E，另有两地M、N，现要在江面上修建两座垂直于江岸的大桥及公路将M、N两地和江岸连通起来，使M、N间的桥路长最短。若A3,15、B3,3、C15,3、D0,15、E15,0、M16,12、N11,1解：将点M16,12向右平移动3个单位，得到点M113,12，将点N11,1向上平移3个单位，得到点N111,2，连结M1N1与AB、BC交于点P、Q，则桥架在P、Q处第3页则公路的最小值为M1N1=22131112226；所以桥和公路长的最小值为32.7、8人每人同时得到一条消息，而且任意两人所得消息不同，他们两两电话相互告诉对方所知的全部消息，每次电话恰好用武之地分钟，为使每人都知道所有消息至少需（）分钟.A.6B.9C.12D.15解：用表格整理：第1对通话组第2对通话组第3对通话组第4对通话组第一次通话1和2（2）3和4（2）5和6（2）7和8（2）第二次通话1和3（4）2和4（4）5和7（4）6和8（4）第三次通话1和5（8）2和6（8）3和7（8）4和8（8）故通话3次即可，33＝9分钟8、如图，在四边形ABCD中，已知△ABC是等边三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，则边CD的长是（）A.32B.25C.4D.4.5解：如图，将△ACD绕点C旋转60°到△ACE位置；则AE＝BD＝5，CE＝CD，∠DCE＝60°连接DE，则△DCE是等边三角形，即DE＝CD，所以∠CDE＝60°，又∠ADC＝30°，所以∠ADE＝90°，所以CD＝DE＝22534.本题主要用到的解题思想是边边相等，联想旋转，将交错在一起的图形展转到外去探究。你能想到些什么吗？正方形、等边三角形、等腰（直角）三角形背景下……第4页9、长为了4米的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角，如图，则梯子的顶端没墙面升高了米.解：考查三角函数而已，调整前，梯子的高度是22米；调整后，sin604h，即此时高度43h所以梯了升高了4322米.10、如图，有一所正方形的学校，北门（点A）和西门（点B）各开在北、西面围墙的正中间，在北门的正北方30米处（点C）有一棵大榕树，如果一个学生从西门出来，朝正西走750米（点D），恰好见到学校北面的大榕树，那么这所学校占地平方米.解：本题考查相似三角形，设正方形边长为x，则130217502xx，则S＝243075090000x11、如图是某抛物线拱桥的示意图，已知该抛物线的函数表达式为211248yx，为保护该桥的安全，在该抛物线上的点E、F处安装两盏警示灯（点E、F关于y轴对称），这两盏灯的水平距离EF是24米，则警示灯F距水面AB的高度是米.解：当12x时，211212948y这几道题是竞赛题？应该是中考题中基础题和中档题！12、若12xx，则221xx.第5页解：122xx，则14xx，所以2410xx，解得23x，显然01x（怎么得到呢？）所以23x，所以222211238323xx.13、在□ABCD中，已知E、F分别为AB、BC的中点，CE与DF交于点G，若S△CGF＝2，则S□ABCD＝.解：连接AC交DF于点I，连接FE并延长交DA的延长于点H则AI∥FH，且△AEH≌△BEF则可设BF＝AH＝x，EF＝FH＝y由DAAIDHFH，得223AIxyx，则AI＝43y又因为AC＝2y，则CI＝23y所以23CGCIGEEF，则25CGCE所以25CGFCEFSS，则5CEFS，所以10BCES，所以S□ABCD＝40.14、已知抛物线2yaxbxc与双曲线2kyx有三个交点，A4,m，B2,n，C3,p，则不等式320axbxcxk的解集为.解：显然双曲线位于第一、三象限，两者在第三象限有两个交点，第一象限有一个交点，显然有抛物线开口向上，可画出草图啦！（1）当0x时，显然42x满足条件；（2）当0x时，显然3x满足条件.第6页15、以△ABC的三边a、b、c为边长分别向形外作正方形，其面积分别记作aS、bS、cS，若9abc，则abcSSS的最小值是.解：显然abcSSS＝222abc，因为2220abbcca所以2222222abcabbcca因为281abc，所以2222281abcababcca所以22222281abbccaabc所以222381abc，即22227abc16、如图，已知AOM＝60，在射线OM上有点B，使得AB与OB长度都是整数，由此称B是“优雅点”，若OA＝8，则图中的优雅点B的个数为.解：过点B作直线OA的垂线BC，连接BA，分两种情况：（1）如图1，点C在线段OA上；显然OC＝12OB，CA＝182OB设OB＝x，AB＝y则222211822yxxx所以22448yx即4448yxyx，显然8xy，即44yx且它们同为偶数所以42442yxyx或41244yxyx或4846yxyx或4648yxyx另一种情况也如此讨论，结论不影响第7页17、某公司n名员工准备外出旅游，有两项支出需提前预算：（1）备用食品费：购买备用食品共花费510元，在出发前时，又有2名员工要加入（不再增加备用食品费），因此，先参加的员工平均每人比原来少分摊4元，现在每人需分摊多少元食品费？（2）租车费：现在有两种车型可供租用，座数和租车费如下表所示：车型座数租车费（元/辆）A7500B10600请选择最合算的租车方案（仅从租车费角度考虑），并说明理由．18、已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D是优弧ABC的中点，弦DE⊥AB，垂足为F，DE交AC于点G.（1）证明AC＝DE；（2）×××第8页19、已知△ABC，AB＝AC＝2，∠A＝90°，取含45°角的直角三角尺，将45°的顶点放在BC中点O处，并绕点O处顺时针旋转三角尺，当45°角的两边分别与AB、AC交于点E、F时，如图2，设CF＝x，BE＝y．（1）求y与x的函数解析式，并写出x的范围；（2）三角尺绕点O旋转过程中，△OEF能否成为等腰三角形？如果能，求出相应的x值；如果不能，请说明理由；（3）如果以O为圆心的圆与AB相切，探究三角尺绕点O旋转的过程中，EF与圆O的位置关系．20、已知m是实数，函数245ymxxm在2,2内有实数，求实数m的取值范围.注意：2,2表示22x；类似有，(2,2]表示22x