平面解析几何(8.3圆锥曲线)(教师版)

2011版高三数学一轮精品复习学案：第八章解析几何8.3圆锥曲线【高考目标定位】一、曲线与方程1．考纲点击了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系。2．热点提示（1）本节重点考查曲线与方程的关系，考查曲线方程的探求方法；（2）本部分在高考试题中主要以解答题的形式出现，属中高档题目。二、椭圆1．考纲点击（1）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质；（2）了解圆锥曲线的简单应用。2．热点提示（1）椭圆的定义、标准方程和几何性质是高考重点考查的内容；直线和椭圆的位置关系是高考考查的热点。（2）各种题型都有涉及，作为选择题、填空题属中低档题，作为解答题则属于中高档题目。三、双曲线1．考纲点击（1）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的简单几何性质。（2）了解圆锥曲线的简单应用。2．热点提示（1）双曲线的定义、标准方程和离心率、渐近线等知识是高考考查的重点；直线与双曲线的位置关系有时也考查，但不作为重点。（2）主要以选择、填空题的形式考查，属于中低档题。四、抛物线1．考纲点击（1）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质。（2）了解圆锥曲线的简单应用。2．热点提示（1）抛物线的定义、标准方程及性质是高考考查的重点，直线与抛物线的位置关系是考查的热点。（2）考题以选择、填空题为主，多为中低档题。【考纲知识梳理】一、曲线与方程1．一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系：（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解。（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。那么这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。注：如果中满足第（2）个条件，会出现什么情况？（若只满足“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”），则这个方程可能只是部分曲线的方程，而非整个曲线的方程，如分段函数的解析式。2．求动点的轨迹方程的一般步骤(1)建系——建立适当的坐标系.(2)设点——设轨迹上的任一点P(x,y).(3)列式——列出动点P所满足的关系式.(4)代换——依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为x,y的方程式，并化简。(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.注:求轨迹和轨迹方程有什么不同?(求轨迹和轨迹方程的不同:后者只指方程(包括范围)),而前者包含方程及所求轨迹的形状、位置、大小等。二、椭圆1．对椭圆定义的理解：平面内动点P到两个定点1F，2F的距离的和等于常数2a,当2a|1F2F|时，动点P的轨迹是椭圆；当2a=|1F2F|时，轨迹为线段1F2F；当2a|1F2F|时，轨迹不存在。2．椭圆的标准方程和几何性质标准方程图形性质范围对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点轴长轴的长为2a短轴的长为2b焦距|1F2F|=2c离心率a,b,c的关系注：椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度的关系（离心率越接近1，椭圆越扁，离心率越接近0，椭圆就越接近于圆）。3．点与椭圆的位置关系三、双曲线1．双曲线的定义（1）平面内动点的轨迹是双曲线必须满足两个条件：①与两个定点1F，2F的距离的差的绝对值等于常数2a.②。（2）上述双曲线的焦点是1F，2F，焦距是|1F2F|。注：当2a=|1F2F|时，动点的轨迹是两条射线；当2a﹥|1F2F|时，动点的轨迹不存在；当2a=0时，动点的轨迹是线段1F2F的中垂线。2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程图形性质范围x≥a或x≤-ay≤-a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：顶点坐标：渐近线离心率实虚轴线段叫做双曲线的实轴，它的长=2a；线段叫做双曲线的虚轴，它的长=2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。a,b,c的关系注：离心率越大，双曲线的“开口”越大。3．等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程为，离心率，渐近线方程为四、抛物线1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。注：当定点F在定直线l时，动点的轨迹是过点F与直线l垂直的直线。2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程22(0)ypxp22(0)ypxp22(0)xpyp22(0)xpyp图形性质对称轴x轴x轴y轴y轴焦点坐标(,0)2pF(,0)2pF(0,)2pF(0,)2pF准线方2px2px2py2py程焦半径0||2pPFx0||2pPFx0||2pPFy0||2pPFy范围0x0x0y0y顶点(0,0)O(0,0)O离心率e1e1e【热点难点精析】一、曲线与方程（一）用直接法求轨迹方程※相关链接※1．如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确，易于表述成含x、y的等式，得到轨迹方程，这种方法称之为直接法。用直接法求动点轨迹的方程一般有建系设点、列式、代换、化简、证明五个步骤，但最后的证明可以省略。2．用直接法求轨迹方程是近年来高考常考的题型，有时题目以向量为背景，解题中需注意向量的坐标化运算。有时需分类讨论。※例题解析※〖例〗如图所示，设动直线l垂直于x轴，且与椭圆2224xy交于A、B两点，P是l上满足的点，求点P的轨迹方程。思路解析：设P点坐标为(x,y)求出A、B两点坐标代入求P点轨迹标明x的范围。解答：设P点的坐标为(x,y)，则由方程2224xy，得2224yx，∴242xy，∴A、B两点的坐标分别为2244(,),(,)22xxxx，又，∴2244(0,)(0,)122xxyy，即222241,1,263xxyy又直线l与椭圆交于两点，∴-2x2,∴点P的轨迹方程为221,63xy（-2x2）（二）用定义法求轨迹方程※相关链接※1．运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程。2．用定义法求轨迹方程的关键是紧扣解析几何中有关曲线的定义，灵活应用定义。同时用定义法求轨迹方程也是近几年来高考的热点之一。※例题解析※〖例〗如图所示，一动圆与圆22650xyx外切，同时与圆226910xyx内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的轴线。思路解析：利用两圆的位置关系一相切这一性质得到动圆圆心与已知两圆圆心间的关系，再从关系分析满足何种关系的定义。解答：方法一设动圆圆心为M（x,y）,半径为R，设已知圆的加以分别为1O、2O，将圆的方程分别配方得：，当动圆与圆1O相外切时，有|1OM|=R+2…………①当动圆与圆2O相内切时，有|2OM|=R+2……………②将①②两式相加，得|1OM|+|2OM|=12|1O2O|，∴动圆圆心M（x,y）到点1O（-3，0）和2O（3，0）的距离和是常数12，所以点M的轨迹是焦点为点1O（-3，0）、2O（3，0），长轴长等于12的椭圆。∴2c=6,2a=12,∴c=3,a=6∴236927b∴圆心轨迹方程为2213627xy，轨迹为椭圆。方法二：由方法一可得方程移项再两边分别平方得：两边再平方得：，整理得2213627xy所以圆心轨迹方程为2213627xy，轨迹为椭圆。注：（1）平面向量知识融入解析几何是高考命题的一大特点，实际上平面向量的知识在这里只是表面上的现象，解析几何的实质是坐标法，就是用方程的思想研究曲线，用曲线的性质研究方程，轨迹问题正是体现这一思想的重要表现形式，我们只要能把向量所表示的关系转化为坐标的关系，这类问题就不难解决了。而与解析几何有关的范围问题也是高考常考的重点。求解参数问题主要是根据条件建立含参数的函数关系式，然后确定参数的值。（2）回归定义是解圆锥曲线问题十分有效的方法，值得重视。（3）对于“是否存在型”探索性问题的求解，先假设结论存在，若推证无矛盾，则结论存在；若推证出矛盾，则结论不存在。（三）用相关点法（代入法）求轨迹方程※相关链接※1．动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P（x,y）却随另一动点(,)Qxy的运动而有规律的运动，且动点Q的轨迹方程为给定或容易求得，则可先将xy、表示x、y的式子，再代入Q的轨迹方程，然后整理得P的轨迹方程，代入法也称相关点法。2．用代入法求轨迹方程的关键是寻求关系式：(,),(,)xfxyygxy，然后代入已知曲线。而求对称曲线（轴对称、中心对称）方程实质上也是用代入法（相关点法）解题。※例题解析※〖例〗已知A（-1，0），B（1，4），在平面上动点Q满足4QAQB，点P是点Q关于直线y=2(x-4)的对称点，求动点P的轨迹方程。思路解析：由已知易得动点Q的轨迹方程，然后找出P点与Q点的坐标关系，代入即可。解答：设Q（x,y），则(1,),(1,4),QAxyQBxy故由4QAQB(1)(1)()(4)4xxyy，即222(2)3xy所以点Q的轨迹是以C（0，2）为圆心，以3为半径的圆。∵点P是点Q关于直线y=2(x-4)的对称点。∴动点P的轨迹是一个以000(,)Cxy为圆心，半径为3的圆，其中000(,)Cxy是点C（0，2）关于直线y=2(x-4)的对称点，即直线y=2(x-4)过0CC的中点，且与0CC垂直，于是有00002210202(4)22yxyx，解得：0082xy故动点P的轨迹方程为22(8)(2)9xy。（四）用参数法求轨迹方程〖例〗设椭圆方程为1422yx，过点)1,0(M的直线l交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足),(21OBOAOP点N的坐标为)21,21(，当l绕点M旋转时，求：（1）动点P的轨迹方程；（2）NP的最小值与最大值。解析：（1）直线l过点)1,0(M，当斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为,1kxy记),,(),(2211yxByxA、由题设可得点A、B的坐标),,(),(2211yxyx、是方程组.14,122yxkxy的解，消去y得,032)4(22kxxk2212214842kyykkxx于是)44,4()2,2()(21222121kkkyyxxOBOAOP，设点P的坐标为),(yx，则.44,422kykkx消去参数k得0422yyx①当k不存在时，A、B中点为坐标原点（0，0），也满足方程①，所以点P的轨迹方程为0422yyx。（2）由点P的轨迹方程知,1612x即,4141x又,127)61(3441)21()21()21(22222xxxyxNP故当41x时，NP取得最小值为41；当61x时，NP取得最大值为621。二、椭圆（一）椭圆的定义以及标准方程※相关链接※求椭圆的标准方程主要有定义、待定系数法，有时还可根据条件用代入法。用待定系数法求椭圆方程的一般步骤是：（1）作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能。（2）设方程：根据上述判断设方程222222221(0)1(0)xyxyabababba或。（3）找关系：根据已知条件，建立关于abcmn、、或、的方程组。（4）得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求。注：当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，可设221(0,0,)xymnmnmn，可以避免讨论和繁杂的计算，也可以设为221(0,0)AxByABAB且，这种形式在解题时更简便。〖例〗已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，且P到两焦点的距离分别为5、3，过P且长轴垂直的直线恰过椭圆的一个焦点，求椭圆的方程。思路解析：设椭圆方程为2222222