平面解析几何专题

----让优秀成为一种习惯高中数学专题辅导福福田田区区农农轩轩路路俊俊安安苑苑俊俊朗朗轩轩22楼楼（（高高级级中中学学正正西西面面））电电话话：：88229933000044331133443300779966444477龙龙老老师师1第七章平面解析几何初步§7.1直线和圆的方程一、知识导学1．两点间的距离公式:不论A(x1，y1)，B(x2，y2)在坐标平面上什么位置，都有d=|AB|=221221)()(yyxx，特别地，与坐标轴平行的线段的长|AB|=|x2－x1|或|AB|=|y2-y1|.2．定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以A为起点，B为终点，P为分点，则定比分点公式是112121yyyxxx.当P点为AB的中点时，λ=1，此时中点坐标公式是222121yyyxxx.3．直线的倾斜角和斜率的关系（1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.（2）斜率存在的直线，其斜率k与倾斜角α之间的关系是k=tanα.4．确定直线方程需要有两个互相独立的条件。直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围.名称方程说明适用条件斜截式bkxyk为直线的斜率b为直线的纵截距倾斜角为90°的直线不能用此式点斜式)(00xxkyy(00,yx)为直线上的已知点，k为直线的斜率倾斜角为90°的直线不能用此式两点式121yyyy=121xxxx(11,yx)，(22,yx)是直线上两个已知点与两坐标轴平行的直线不能用此式截距式ax+by=1a为直线的横截距b为直线的纵截距过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式一般式0CByAxBA，AC，BC分别为斜率、横截距和纵截距A、B不全为零5．两条直线的夹角。当两直线的斜率1k,2k都存在且1k·2k≠-1时，tanθ=21121kkkk，当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的区别.6．怎么判断两直线是否平行或垂直？判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断.（1）斜率存在且不重合的两条直线l1∶11bxky，l2∶22bxky，有以下结论：①l1∥l21k=2k，且ｂ1＝ｂ2----让优秀成为一种习惯高中数学专题辅导福福田田区区农农轩轩路路俊俊安安苑苑俊俊朗朗轩轩22楼楼（（高高级级中中学学正正西西面面））电电话话：：88229933000044331133443300779966444477龙龙老老师师2②l1⊥l21k·2k=-1（2）对于直线l1∶0111CyBxA，l2∶0222CyBxA，当A1，A2，B1，B2都不为零时，有以下结论：①l1∥l221AA=21BB≠21CC②l1⊥l2A1A2+B1B2=0③l1与l2相交21AA≠21BB④l1与l2重合21AA=21BB=21CC7．点到直线的距离公式.（1）已知一点P（00,yx）及一条直线l：0CByAx，则点P到直线l的距离d=2200||BACByAx；（2）两平行直线l1:01CByAx，l2:02CByAx之间的距离d=2221||BACC.8．确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系（1）圆的标准方程：222)()(rbyax，其中（a，b）是圆心坐标，r是圆的半径；（2）圆的一般方程：022FEyDxyx（FED422＞0），圆心坐标为（-2D，-2E），半径为r=2422FED.二、疑难知识导析1．直线与圆的位置关系的判定方法.（1）方法一直线：0CByAx；圆：022FEyDxyx.0022FEyDxyxCByAx消元一元二次方程acb42△判别式相离△相切△相交△000（2）方法二直线:0CByAx；圆：222)()(rbyax，圆心（a，b）到直线的距离为----让优秀成为一种习惯高中数学专题辅导福福田田区区农农轩轩路路俊俊安安苑苑俊俊朗朗轩轩22楼楼（（高高级级中中学学正正西西面面））电电话话：：88229933000044331133443300779966444477龙龙老老师师3d=22||BACBbAa相交相切相离rdrdrd2．两圆的位置关系的判定方法.设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为r1，r2，|O1O2|为圆心距，则两圆位置关系如下：|O1O2|r1+r2两圆外离；|O1O2|=r1+r2两圆外切；|r1-r2||O1O2|r1+r2两圆相交；|O1O2|=|r1-r2|两圆内切；0|O1O2||r1-r2|两圆内含.三、经典例题导讲［例1］直线l经过P（2,3）,且在x,y轴上的截距相等,试求该直线方程.错解：设直线方程为:1byax,又过P(2,3),∴132ba,求得a=5∴直线方程为x+y-5=0.错因：直线方程的截距式:1byax的条件是:a≠0且b≠0,本题忽略了0ab这一情形.正解：在原解的基础上,再补充这样的过程:当直线过(0,0)时,此时斜率为:230203k,∴直线方程为y=23x综上可得:所求直线方程为x+y-5=0或y=23x.［例2］已知动点P到y轴的距离的3倍等于它到点A(1,3)的距离的平方,求动点P的轨迹方程.错解：设动点P坐标为(x,y).由已知3,)3()1(22yxx化简3x=x2-2x+1+y2-6y+9.当x≥0时得x2-5x+y2-6y+10=0.①当x＜0时得x2+x+y2-6y+10=0.②错因：上述过程清楚点到y轴距离的意义及两点间距离公式,并且正确应用绝对值定义将方程分类化简,但进一步研究化简后的两个方程,配方后得(x-52)2+(y-3)2=214①和(x+12)2+(y-3)2=-34②两个平方数之和不可能为负数,故方程②的情况不会出现.正解：接前面的过程,∵方程①化为(x-52)2+(y-3)2=214,方程②化为(x+12)2+(y-3)2=-34,由于两个平方数之和不可能为负数,故所求动点P的轨迹方程为:(x-52)2+(y-3)2=214(x≥0)［例3］m是什么数时，关于x,y的方程（2m2+m-1）x2+（m2-m+2）y2+m+2=0的图象表示一个圆？错解：欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一个圆，只要A=C≠0，得2m2+m-1=m2-m+2，即m2+2m-3=0，解得m1=1，m2=-3，∴当m=1或m=-3时，x2和y2项的系数相等，这时，原方程的图象表示一个圆错因：A=C，是Ax2+Cy2+F=0表示圆的必要条件，而非充要条件，其充要条件是：----让优秀成为一种习惯高中数学专题辅导福福田田区区农农轩轩路路俊俊安安苑苑俊俊朗朗轩轩22楼楼（（高高级级中中学学正正西西面面））电电话话：：88229933000044331133443300779966444477龙龙老老师师4A=C≠0且FA＜0.正解：欲使方程Ax2+Cy2+F=0表示一个圆，只要A=C≠0，得2m2+m-1=m2-m+2，即m2+2m-3=0，解得m1=1，m2=-3，(1)当m=1时，方程为2x2+2y2=-3不合题意，舍去.(2)当m=-3时，方程为14x2+14y2=1,即x2+y2=114,原方程的图形表示圆.［例4］自点A(-3，3)发出的光线L射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2+y2-4x-4y+7＝0相切，求光线L所在的直线方程.错解：设反射光线为L′,由于L和L′关于x轴对称，L过点A(-3，3)，点A关于x轴的对称点A′(-3，-3)，于是L′过A(-3，-3).设L′的斜率为k，则L′的方程为y-(-3)＝k［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0，已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2＝1，圆心O的坐标为(2，2)，半径r＝1因L′和已知圆相切，则O到L′的距离等于半径r＝1即11k5k51k3k32k222整理得12k2-25k+12＝0解得k＝34L′的方程为y+3＝34(x+3)即4x-3y+3＝0因L和L′关于x轴对称故L的方程为4x+3y+3＝0.错因：漏解正解：设反射光线为L′,由于L和L′关于x轴对称，L过点A(-3，3)，点A关于x轴的对称点A′(-3，-3)，于是L′过A(-3，-3).设L′的斜率为k，则L′的方程为y-(-3)＝k［x-(-3)］，即kx-y+3k-3＝0，已知圆方程即(x-2)2+(y-2)2＝1，圆心O的坐标为(2，2)，半径r＝1因L′和已知圆相切，则O到L′的距离等于半径r＝1即11k5k51k3k32k222整理得12k2-25k+12＝0解得k＝34或k＝43L′的方程为y+3＝34(x+3);或y+3＝43(x+3)。即4x-3y+3＝0或3x-4y-3＝0因L和L′关于x轴对称故L的方程为4x+3y+3＝0或3x+4y-3＝0.［例5］求过直线042yx和圆014222yxyx的交点，且满足下列条件之一的圆的方程：（1）过原点；（2）有最小面积.解：设所求圆的方程是：04214222yxyxyx即：04122222yxyx----让优秀成为一种习惯高中数学专题辅导福福田田区区农农轩轩路路俊俊安安苑苑俊俊朗朗轩轩22楼楼（（高高级级中中学学正正西西面面））电电话话：：88229933000044331133443300779966444477龙龙老老师师5（1）因为圆过原点，所以041，即41故所求圆的方程为：0274722yxyx.（2）将圆系方程化为标准式，有：545245222222yx当其半径最小时，圆的面积最小，此时52为所求.故满足条件的圆的方程是54585422yx.点评：（1）直线和圆相交问题，这里应用了曲线系方程，这种解法比较方便；当然也可以待定系数法。（2）面积最小时即圆半径最小。也可用几何意义，即直线与相交弦为直径时圆面积最小.［例6］（06年辽宁理科）已知点A(11,yx)，B(22,yx)（21xx≠0）是抛物线)0(22ppxy上的两个动点，O是坐标原点，向量OBOA,满足｜OBOA｜＝｜OBOA｜.设圆C的方程为0)()(212122yyyxxxyx（1）证明线段AB是圆C的直径；（2）当圆C的圆心到直线02yx的距离的最小值为552时，求p的值.解：（1）证明∵｜OBOA｜＝｜OBOA｜，∴（OBOA）2＝（OBOA）2，整理得：OBOA＝0∴21xx＋21yy＝0设M（yx,）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则MBMA＝0即))((21xxxx＋))((21yyyy＝0整理得：0)()(212122yyyxxxyx故线段AB是圆C的直径.（2）设圆C的圆心为C（yx,），则222121yyyxxx∵1212pxy，)0(2222ppxy∴22221214pyyxx----让优秀成为一种习惯高中数学专题辅导福福田田区区农农轩轩路路俊俊安安苑苑俊俊朗朗轩轩22楼楼（（高高级级中中学学正正西西面面））电电话话：：8822993300004433113344