学案1 函数及其表示-函数与导数 2011高考一轮数学精品课件

学案1函数及其表示返回目录1.函数的基本概念(1)函数定义设集合A是一个非空的,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作.数集唯一确定y=f(x),x∈A返回目录(2)函数的定义域、值域在函数y=f(x),x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的.显然,值域是集合B的子集.(3)函数的三要素:、和.(4)相等函数:如果两个函数的相同，并且完全一致,则这两个函数相等,这是判断两函数相等的依据.2.函数的表示法表示函数的常用方法有:、和.定义域值域定义域值域对应法则定义域对应关系解析法图象法列表法3.映射的概念设A,B是两个非空的集合,如果按照某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,则称对应f:A→B是集合A到集合B的一个.4.由映射的定义可以看出,映射是概念的推广,函数是一种特殊的映射,要注意构成函数的两个集合A,B必须是.非空数集返回目录映射函数返回目录考点一函数的概念下列四组函数中,f(x)与g(x)是否为同一函数,为什么?(1)f(x)=lgx,g(x)=lgx2;(2)f(x)=x,g(x)=;(3)f(x)=,g(x)=logaax;(4)f(x)=lgx-2,g(x)=lg.【分析】判断两个函数是否为同一函数,关键是判断它们的对应法则、定义域和值域是否分别相同.如果有一个不同,它们便不是同一函数.212xxlogaa100x返回目录【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),g(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),定义域不同,故f(x)与g(x)不是同一函数.(2)函数f(x)的值域为(-∞,+∞),g(x)的值域为［0,+∞),值域不同,故f(x)与g(x)不是同一函数.(3)因为f(x)=x(x＞0),g(x)=x(x∈R),定义域不同,故f(x)与g(x)不是同一函数.(4)因为f(x)=lgx-2(x＞0),g(x)=lg=lgx-2(x＞0),所以f(x)与g(x)的对应法则、定义域和值域都分别相同,故它们是同一函数.100x【评析】(1)只有当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一函数,换言之就是:①定义域不同,两个函数也就不同.②对应法则不同,两个函数也是不同的.③即使定义域和值域都分别相同的两个函数,它们也不一定是同一函数,因为函数的定义域和值域不能唯一地确定函数的对应法则.(2)函数的对应法则可以化简,例如题型一(3)(4)中的函数,再比如函数f(x)=|x|和g(x)=,从表面上看它们的对应法则不同,但实质上是相同的.(3)当一个函数的对应法则和定义域给定后,它的值域便随之确定,所以,函数的三要素可简化为定义域、对应法则两要素.返回目录2x返回目录＊对应演练＊判断下列各组函数是否为同一函数.(1)f(x)=x2+2x-1,g(t)=t2+2t-1;(2)f(x)=,g(x)=x+1;(3)x+1(-1x0)x-1(0x1),1-x1-x2;xxg(x),1x·xf(x)2g(x)=f-1(x).(4)f(x)=返回目录(1)两函数的定义域、值域、对应法则均相同，所以它们是同一函数.(2)y==x+1,但x≠1,而y=x+1中x∈R,所以它们不是同一函数.(3)函数f(x)=的定义域为{x|x≥0};而函数g(x)=的定义域为{x|x≤-1或x≥0},它们的定义域不同,所以不是同一函数.x-1,(0x1)x+1,(-1x0),f(x)与g(x)定义域、值域、对应法则分别相同，故它们是同一函数.1-x1-x21x·xxx2(4)∵g(x)=f-1(x)=返回目录考点二映射的概念下列对应是否为从A到B的映射？(1)A=R，B=R，f:x→y=;(2)(3)A={x|x≥0},B=R,f:x→y,y2=x;(4)A={平面α内的矩形}，B={平面α内的圆}，f:作矩形的外接圆.1x1;a1ba:f,*Nn,n1b|bB,*Na21|aA返回目录【解析】(1)当x=-1时，y值不存在，所以不是映射.(2)A，B两集合分别用列举法表述为A={2,4,6,…},由对应法则f:a→b=，是映射.(3)不是映射，如A中元素1有两个象±1.(4)是映射.【分析】解此题需要明确以下两点：①集合A的元素是什么；②什么是A到B的映射.,,41,31,211,Ba1【评析】欲判断对应法则f:A→B是否是从A到B的映射，必须做两点工作：①明确集合A，B中的元素.②根据对应法则判断A中的每个元素是否在B中能找到唯一确定的对应元素.返回目录返回目录＊对应演练＊设A={0,1,2,4},下列对应法则能构成A到B的映射的是（）A.f:x→x3-1B.f:x→(x-1)2C.f:x→2x-1D.f:x→2xC(由映射的定义知C满足题意.故应选C.),0,1,2,6,821BC考点三求函数解析式根据下列条件分别求出函数f(x)的解析式:(1)(2)f(x-2)=x2+3x+1;(3)f(x)+2=3x;(4)已知二次函数f(x)满足f(3x+1)=9x2-6x+5,求f(x).返回目录;x1xx1xf22x1f【分析】(1)可用配凑法.(2)可将x-2看作一个整体,根据函数的定义,寻找x2+3x+1与x-2的对应关系.(3)因考虑到x与的倒数关系,可通过解方程组来求解析式.(4)可用待定系数法求解析式,但此题也可采用多种方法.x1返回目录【解析】(1)因又≤-2或≥2,则f(x)=x2-2,x∈(-∞,-2)∪(2,+∞).22x1xx1xx1xf22x1xx1x返回目录(2)令x-2=t,则x=t+2,代入已知得f(t)=(t+2)2+3(t+2)+1=t2+7t+11,所以f(x)=x2+7x+11,x∈R.(3)由已知f(x)+2f=3x.①以代替①中的x,得f+2f(x)=.②由①②解得f(x)=-x(x≠0).(4)解法一：换元法.令3x+1=t,则x=.∴f(t)=9·-6+5=t2-2t+1-2t+2+5=t2-4t+8.∴f(x)=x2-4x+8.x1x1x1x3x231-t231-t31-t返回目录解法二:配凑法.∵f(3x+1)=9x2-6x+5=(3x+1)2-12x+4=(3x+1)2-(3x+1)+8,∴f(x)=x2-4x+8.解法三:待定系数法.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则f(3x+1)=a(3x+1)2+b(3x+1)+c=9ax2+(6a+3b)x+a+b+c.∵f(3x+1)=9x2-6x+5,∴9ax2+(6a+3b)x+a+b+c=9x2-6x+5.9a=9a=16a+3b=-6b=-4a+b+c=5c=8,∴f(x)=x2-4x+8.比较两端系数,得返回目录【评析】（1）求解析式的目标就是求定义域与值域中对应元素的对应关系式.(2)换元法求解析式时，要注意换元变量范围应保持一致.例如:已知f(cosx)=cosx，求f(x).可求得f(x)=x，但此处应有|x|≤1.(3)求解析式的几种常见方法:①代入法即已知f(x),g(x),求f(g(x))用代入法,只需将g(x)替换f(x)中的x即得;②换元法已知f(g(x)),g(x),求f(x)用换元法:g(x)=t,解得x=g-1(t),然后代入f(g(x))中即得f(t),从而求得f(x).当f(g(x))的表达式较简单时,可用“配凑法”(其实质是换元素);返回目录③待定系数法当函数f(x)类型确定时,可用待定系数法.如:已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x).解析:因为已知f(x)是一次函数,故可设f(x)=ax+b,从而根据题意列出恒等式,确定a,b的值.解:设f(x)=ax+b,则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b+2a-2b-2ax=ax+b+5a=2x+17,所以a=2,b=7,所以f(x)=2x+7;④方程组法方程组法求解析式的实质是用了对称的思想.一般来说，当自变量互为相反数、互为倒数或是函数具有奇偶性时，均可用此法.在解关于f(x)的方程时,可作恰当的变量代换,列出f(x)的方程组,求得f(x).如:已知f(x)满足f(x)+2f(-x)=x,求f(x)的解析式.解:∵f(x)+2f(-x)=x,①用-x替换x得f(-x)+2f(x)=-x.②联立①②消去f(-x),即得f(x)=-x.返回目录＊对应演练＊根据下列条件分别求出函数f(x)的解析式：(1)f(+1)=x+2;(2)f(x)为二次函数且f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.返回目录xx(1)令t=+1,∴t≥1,x=(t-1)2.则f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,即f(x)=x2-1,x∈［1,+∞).(2)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),∴f(x+2)=a(x+2)2+b(x+2)+c,则f(x+2)-f(x)=4ax+4a+2b=4x+2.4a=4a=14a+2b=2,b=-1,又f(0)=3c=3,∴f(x)=x2-x+3.返回目录x∴∴返回目录考点四分段函数x2,x01,x=0-,x0.(1)画出函数的图象;(2)求f(1),f(-1),f［f(-1)］的值.【分析】考虑特殊函数的图象在某区间内的形状,特别要注意区间的端点处.x1已知函数f(x)=返回目录【评析】分段函数的对应关系是借助于几个不同的表达式来表示的,处理分段函数的问题时,首先要确定自变量的数值属于哪一个区间段,从而选相应的关系式.对于分段函数,注意处理好各段的端点.【解析】(1)分别作出f(x)在x0,x=0,x0段上的图象,如图所示,作法略.(2)f(1)=12=1,f(-1)=-=1,f［f(-1)］=f(1)=1.11返回目录＊对应演练＊如图，△OAB是边长为2的正三角形，直线x=t(0≤t≤2)截这个三角形所得的位于此直线左方的图形的面积为f(t).(1)求函数y=f(t)的解析式，并指明它的定义域;(2)求函数y=f(t)的值域.返回目录（1）当0＜t≤1时，所截图形是一个直角三角形，其面积f(t)=t2·tan60°=t2;当1＜t＜2时，所截图形是一个四边形，它的面积可由正三角形OAB的面积减去一个直角三角形的面积来计算，即f(t)=·2·-(2-t)·(2-t)tan60°=-(2-t)2;当t=2时，所截图形即△OAB，f(t)=.t2，0＜t≤1.-（2-t）2,1＜t≤2.此函数的定义域为(0,2］.212321321323323323综上,f(t)=返回目录（2）当0＜t≤1时，0＜t2≤;当1＜t≤2时，＜-(2-t)2≤.故函数f(t)的值域为(0,］.23232323333返回目录正确理解函数的概念是掌握好本学案内容的关键.函数的本质是一种特殊对应关系，它的特殊性在于:(1)它是非空数集到非空数集的对应;(2)定义域中的每个元素只有一个函数值；（3）定义域中的每个元素一定有函数值.确定一个函数需要三个要素:①定义域；②对应法则；③值域.对应法则是规定元素对应关系的法则，它不一定能够用解析式表示，如列表法和图象法表示的函数.对于f(x)，可以理解为根据对应法则f，自变量x对应的函数值；也可以理解为根据对应法则f产生的函数f(x).表示函数时，前面一般加“函数”二字.列表法、图象法和解析法是函数最常用的三种表示方法，函数的图象是直观理解函数性质和解决函数问题的有力工具，注意灵活使用.(4)①对于用几个分段式子表示的分段函数，不能误认为是