2.2.2-向量减法运算及其几何意义

太谷中学2020年空中课堂必修4第二章平面向量2.2.2向量减法运算及其几何意义高一数学组学科：数学1.用三角形法则与平行四边形法则求两个向量的和向量分别如何操作？三角形法则：首尾相接首尾连.平行四边形法则：起点相同连对角.baabbabaab2.向量的加法运算有哪些运算性质？a00aa＋＋；abba(ab)ca(bc)|ab||a||b||a+b|||a||b||；；＋＋；－.向量是否有减法？如何理解向量的减法？我们知道，减去一个数等于加上这个数的相反数，向量的减法是否也有类似的法则？微课1向量减法的含义思考1：两个相反向量的和向量是什么？向量的相反向量可以怎样表示？规定：零向量的相反向量仍是零向量.a0a提示：；.aa,-(-)思考2：的相反向量是什么？零向量的相反向量是什么？a0提示:相反向量：长度相同，方向相反的向量思考3：在实数的运算中，减去一个数等于加上这个数的相反数.据此原理，向量可以怎样理解？思考4：两个向量的差还是一个向量吗？思考5：向量加上向量的相反向量，叫做与的差向量，求两个向量的差的运算叫做向量的减法，对于向量ab－abab.提示：定义：－＝＋－abababcacbc，，，若＝，则等于什么？acbcba.＝＝提示：是提示:若非零向量a、b互为相反向量，则下列说法中错误的是()A．a∥bB．a≠bC．|a|≠|b|D．b＝－aC【即时训练】微课2向量减法的几何意义思考1：如果向量与同向，如何作出向量abab?abab提示:思考2：如果向量与反向，如何作出向量abab?abab提示:AO思考3：设向量与不共线，可得什么结论？OBBAOAuuuruuuruuur+=BABabOAa,OBb,作由abababOAOB.提示:CD思考4：设向量不共线，作以OA，OC为两邻边作平行四边形，则如何理解OA=aOB=bOC=b，，－，－OD=ab.BA=OD？AOBabababbabab与提示:思考5：求作两个向量的差向量也有三角形法则和平行四边形法则，其中三角形法则的作图特点是什么？首同尾连指被减CDAOBabbabab提示:思考6：向量是什么关系？的大小关系如何？当且仅当反向时取等号；当且仅当同向时取等号.是相反向量.abba－与－|ab||ab||ab|－与＋、－abba－与－|abab|－＋，ab与|ab|ab||－－，ab与提示:思考7：有什么大小关系吗？为什么？思考8：对于非零向量可能相等吗？ABCOabab＋ab－|ab||ab|－与＋ababab与，向量＋与－a+b=a-b.正方形中，提示:提示:如图，已知向量，求作向量a,b,cabcbca【即时训练】OABCD【解析】在平面上任取一点O，作再作并以BA，BC为邻边作□BADC，则(如图所示)OAa,OBb,BA=ab.则BC=c，BD=BA+BC=a-b+c.ababcbca则abcdOABCDabcda,b,c,d,ab,cd.abdc作法：如图，在平面内任取一点O，作OAa,ODd,BAab,DCcd.OBb,OCc,例1.如图，已知向量求作向量aab（1）（2）baabb（4）aba,,ba.ba求作如图，已知（3）ababababb【变式练习】例2.对下列各式进行化简(1)ABACBDCD原式=CB+BD-CD=CD-CD=解:0.(2)OAOCBOCO原式=(OA+BO)+(OC+CO)=(OA-OB)+0=BA解:.下面给出了四个式子：①AB＋BC＋CA；②OA＋OC＋BO＋CO；③AB－AC＋BD－CD；④NQ＋QP＋MN－MP.其中值为0的有()A．①②B．①③C．①③④D．①②③C【变式练习】【方法规律】注意满足下列两种形式可以化简：(1)首尾相接且为和．(2)起点相同且为差．做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用、统一向量起点方法的应用．【互动探究】化简下列各式：(1)(AC→＋BO→＋OA→)－(DC→－DO→－OB→)；(2)(AB→＋CD→)＋(BC→＋DE→)－(EF→－EA→)．【解析】(1)(AC→＋BO→＋OA→)－(DC→－DO→－OB→)＝(AC→＋BA→)－(OC→－OB→)＝BC→－BC→＝0.(2)(AB→＋CD→)＋(BC→＋DE→)－(EF→－EA→)＝(AB→＋BC→)＋(CD→＋DE→)－(EF→－EA→)＝AC→＋CE→＋EA→－EF→＝AE→＋EA→－EF→＝－EF→.例3.如图，□ABCD中，表示向量ADBCbaABaADbab，，你能用，ACDB，吗？解：由向量加法的平行四边形法则，得ACab;由向量的减法可得，.DBABADab注意向量的方向若四边形ABCD是正方形,E是CD的中点,且=a,=b,则=()A.b+aB.b-aC.a+bD.a-bB【变式练习】例4：若O是△ABC所在平面内一点，且满足|-|=|-+-|，试判断△ABC的形状是_______.【解析】因为-+-=+，-==-，又|-|=|-+-|，所以|+|=|-|，所以以AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以此平行四边形为矩形.所以AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形.答案：直角三角形设平面内有四边形ABCD和点O，=a，=b，=c，=d，若a+c=b+d，则四边形ABCD的形状是_________.【变式练习】解析因为a+c=b+d，所以+=+，所以-=-，所以=，所以四边形ABCD为平行四边形.答案：平行四边形1．在如图四边形ABCD中，设AB＝a，AD＝b，BC＝c，则DC等于()A．a－b＋cB．b－(a＋c)C．a＋b＋cD．b－a＋cA2.已知O为平行四边形ABCD内一点，OA=a，OB=b，OC=c，用a，b，c表示OD.【解析】=-=-=-+=c-b+a.3.若|AB|＝5，|AC|＝8，则|BC|的取值范围是()A．[3,8]B．(3,8)C．[3,13]D．(3,13)C4．若a与b为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则()A．a∥b，且a与b方向相同B．a、b是方向相反的向量C．a＝－bD．a、b无论什么关系均可A5．设b是a的相反向量，则下列说法错误的是()A．a与b的长度必相等B．a∥bC．a与b一定不相等D．a是b的相反向量C6.化简(1)（-）-(-)ABCDACBD的结果是________．(2)(-)+(-)=.0PQ7.在平行四边形ABCD中，|+|=|-|，则有()A.=0B.=0或=0C.ABCD是矩形D.ABCD是菱形【解析】选C.+与-分别是平行四边形ABCD的两条对角线，且|+|=|-|，所以ABCD为矩形.8.已知在△AOB中,=a,=b且满足|a|=|b|=|a-b|=2,求|a+b|与△AOB的面积.【解析】由已知得||=||,以,为邻边作平行四边形OACB,则可知其为菱形,如图,=a+b,=a-b,由于|a|=|b|=|a-b|,即OA=OB=BA,所以△OAB为正三角形,|a+b|=||=2,所以S△OAB=×2×=.向量的减法定义几何意义向量加上向量的相反向量,叫做的差,即求两个向量差的运算,叫做向量的减法ab与ab（）ab=a+b,如图,设可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量OA,OB,BA,则即abababba