定积分经济应用10

1定积分的应用极其广泛,以下仅介绍它在几何与经济上的应用，并希望同学们通过本章的学习能熟练地的运用元素法将一个量表达成为定积分的分析方法微元法.一.微元法的基本思想如图:曲边梯形AabB的面积为定积分(),bafxdx表达式ƒ(x)dx,正好是区间[a,b]上的任意小区间[x,x+∆x]上的小曲边梯形面积ΔS的近似值,而而这个积分的被积§6.6定积分的应用x+Δxxoxyy=ƒ(x)x=babBAx=a∆S2(2)以微分表达式ƒ(x)dx为被积表达式,在[a,b]上作根据微分的定义有ƒ(x)dx=dS.即求曲边梯形的面积S的方法为:(1)在[a,b]上任取一个小区间[x,x+dx],并求出总量S的微分()bbaaSdSfxdx当∆x=dx→0时,ΔS=ƒ(x)dx+o(dx)(面积微元)即可.定积分(面积微元进行求和累加)dS=ƒ(x)dxx+Δxxoxyy=ƒ(x)x=babBAx=a∆S3抛开S的具体含义，把这种思想加以抽象,就得到微元法思想的表述:数学上将这种思想方法称之为微元法.总量A的微分则有dA=ƒ(x)dx且总量为()baAfxdx可加性(即整个区间上的总量等于各子区间上相应分量之和);在区间[x,x+dx]上对应分量的近似值为若总量与变量x的变化区间[a,b]有关,且对区间具有ƒ(x)dxdA=ƒ(x)dx,称为总量A的积分微元.4二.平面图形的面积(2)写出面积微元dS;求平面图形面积的步骤:(1)选取积分变量x(过点x作垂直于x轴的直线穿区域D,是一进一出)或y(过点y作垂直于y轴的直线穿区域D,是一进一出)及积分区间.(3)作定积分[()()]baSfxgxdx注1在选择积分变量时,还要考虑图形特征.yxoy=ƒ(x)aby=g(x)xx+dx5yxoy=ƒ(x)aby=g(x)xx+dx1.若平面图形D被夹在直线x=a与x=b之间,且其上下曲线的方程分别为y=ƒ(x)和y=g(x)，则图形的面积为[()()]baSfxgxdxƒ(x)–g(x)为高的小矩形面积分析:对任意的x∈[a,b],作垂直于x轴的直线穿区域D,是从下方曲线g(x)进,从上方曲线ƒ(x)出;则以dx为底,dS=[ƒ(x)–g(x)]dx微元是6例1计算由两条抛物线所围成图形的面积.22,yxyx解ox2yx(1,1)xx+dx12yxyxy为了求出面积,一般先划出两条曲线所围成的图形.为了定出图形的所在范围,应先求出这两条抛物线的交点，为此,解方程组22yxyx01,01xxyy即这两条抛物线的交点为(0,0)及(1,1).从而知道所求图形在直线x=0及x=1之间.取x为积分变量,且x∈[0,1],微元为2()dSxxdx120()Sxxdx则332121[]0333xx72.若平面图形D被夹在直线y=c与y=d之间,且其左右曲线的方程分别为x=ψ(y)及x=φ(y),则图形的面积为[()()]dcSyydy则以dy为底,φ(y)–ψ(y)为高的小矩形面积微元是ox=φ(y)cdy+dyyx=ψ(y)xy分析:对任意的y∈[c,d],作垂直于y轴的直线穿区域D,是从曲线ψ(y)进,从曲线φ(y)出,dS=[φ(y)–ψ(y)]dy8为了定出图形所在范围,应先求出抛物线和直线的交点,为此例2计算由抛物线与直线y=x-4所围成图形的面积.22yx解为了求出面积,一般先划出两条曲线所围成的图形.即这两条抛物线的交点为(2,-2)及(8,4).解方程组224yxyx28,24xxyy从而知道这图形在直线y=-2及y=4之间.取y为积分变量,且y∈[-2,4],面积微元为:oy–4(2,–2)yy+dyy=x–422yx(8,4)x94221(4)2Ayydy23411(4)18226yyy则思考:若选x为积分变量，应该如何做?21(4)2dSyydyoy–4yy+dyy=x–422yx(8,4)x(2,–2)10例3设曲线x轴与y轴在第一象限所围的图形被曲线分为面积相等的两部分，试确定a的值.21,yx2(0)yaxa解如图，解方程组1(,)11aaa而122110(1)aSxaxdx231a再由112SS12021(1)231xdxa221yxyax311[(1)]130xaxa得3a解之得1321yx2yax1aa11ayx011S2S得交点坐标113(0)S3/4,yxxAxA过曲线上的点作切线,使该切线与曲线及轴所围成的平例4面图形的面积为求点的坐标.由题意,先求出切线方程，再求面积.解首先作图.yxo3yxAD12330132tSttxdx3321()3ytxtt00,2yxxt令由上式可得切线与轴交点的横坐标平面图形的面积0(1,1),2.Ax的坐标为3AttA设切点的坐标为(,),曲线过点的切线方程为0SAxtotA的面积曲边梯形的面积1t33344tt13oxyabxS(x)三.立体的体积以下只讨论两种特殊立体的体积.1.平行截面面积已知的立体的体积设某立体被夹在过x轴上的点x=a与x=b并垂直于x轴的两平面之间,对应于[a,b]上的任意点x处，垂直于x轴的截面面积S(x)是x的连续函数.下面用微元法来求它的体积.14dV=S(x)dx()baVSxdx在[a,b]上作定积分,得oxyabxx+dxS(x)在[a,b]上任取一个小区间[x,x+dx],得一薄片的体积微元(近似值)为15类似地，若立体被夹在过y轴上的点y=c与y=d并垂直于y轴的两平面之间,在[c,d]上的任意点y处垂直于y轴的截面面积S(y)是y的连续函数,则立体的体积为()dcVSydy16解建立如图所示的坐标系,从而底面圆的方程为oxyxy222xyR–RααRS(x)222xyR设x为[–R,R]上之任意一点,过该点且垂直x轴的截面面积为S(x),则由三角形的面积公式,有211()tantan22Sxyyy221()tan2Rx()RRVSxdx221()tan2RRRxdx32tan3R则例5一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,计算这平面截圆柱体所得立体的体积.17都可以分别看成是由矩形绕它的一条边、直角三角形绕它的直角边、直角梯形绕它的直角腰、半圆绕它的直径旋转一周而成的立体,所以它们都是旋转体.2.旋转体的体积圆柱、圆锥、圆台、球体oxyy=ƒ(x)ab旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体.这直线叫做旋转轴.上述旋转体都可以看作是由连续曲线y=ƒ(x)、直线x=a、直线x=b及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转18一周而成的立体,下面用微元法来求它的体积.2[()]dVfxdx2[()]baVfxdx在[a,b]上作定积分得oxy=ƒ(x)abxx+dxy在[a,b]上任取一个小区间[x,x+dx],的小曲边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积微元(近似则此小区间上值)为oxyy=ƒ(x)abxx+dx19注2若此图形绕y轴旋转一周,对应的薄片体积微元为则所得的旋转体的体积为2()xfxdx2()byaVxfxdx22[()]()dVxdxxfx类似地,由曲线x=φ(y)、直线y=c、y=d(cd)与y轴所围成的曲边梯形,绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为2[()]dcVydy20注３一般地,由连续曲线y=ƒ(x)、y=g(x)和直线x=a、x=b所围成的平面图形绕x轴旋转一周而成的立体的体积为22[()()]bxaVfxgxdx则平面图形绕y轴旋转一周所得的旋转体的体积为2[()()]dycVxfxgxdx2()byaVxfxdx类似于2122[()()]dycVyydy绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积为2[()()]dxcVyyydy类似地，由曲线x=φ(y),x=ψ(y)(φ(y)≤ψ(y))及直线y=c,y=d(cd)与y轴所围成的曲边梯形,绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积为22例6求曲线和y=0所围成的图形分别绕x轴及y轴旋转所得旋转体的体积.22yxxoy22yxx(1,1)(2,0)x解为了确定积分区间,应先求两曲线的交点.220yxxy02,01xy即则绕x轴旋转的体积微元为22(2)xdVxxdxx解方程组在[0,2]上作定积分得222016(2)15xVxxdx得交点(0,0),(2,0),顶点(1,1)23222(1)1yxxxy因为11xy则绕y轴旋转的体积微元为oxy(1,1)(2,0)122[(11)(11)]ydVyydy1041yVydy11xy11xy41ydy112084(1)(1)3ydy故24若例4题的平面图形绕x轴旋转的体积.xVotA圆锥体的体积曲边梯形的面积旋转的体积123013()3xVxdx2.Rh1圆锥体的体积=3解注3255yxo3yxAD25四.经济应用在经济问题中,经常都要涉及到各种经济量的总量.这些总量,在一定条件下,也可用定积分来进行计算.1.已知边际(变化率),求总量.下面介绍两个常用问题:若总量P(t)在某区间I上可导,且[a,x]∈I,则有()()()xaPxPtdtPa注1在上式中,当x为产量且a=0时,只要将P(x)代之以总成本C(x)、总收益R(x)、总利润L(x),则有260()()(0)xCxCtdtC00()()(0)()xxRxRtdtRRtdt00()()(0)()(0)xxLxLtdtLLtdtC注2当x从a变到b时,P(x)的改变量即为()()()baPPbPaPtdt27例7设某产品的总成本C(单位:万元)的边际成本是产量x(单位:百台)的函数总收入R(单位:万元)的边际收入是产量x的函数()44xCx()9Rxx(1)求产量由1百台增加到5百台时总成本与总收入各增加多少?(2)已知固定成本C(0)=1万元.分别求出总成本、总收益、总利润与产量x的函数关系式;(3)产量为多少时,总利润最大;并求此时的最大总利润,总成本及总收益各为多少?2851(4)19()4xCdx万元51(9)24()Rxdx万元0()(0)()xCxCCtdt201()(9)92xRxtdtxx解(1)由注2知产量由1百台增加到5百台时总成本与总收入分别为(2)因总成本是固定成本与可变成本的和,则总成本函数为总收益为2011(4)1448xtdtxx则总利润函数为L(x)=R(x)-C(x)=25518xx29注3第一问也可这样求解ΔC=C(5)–C(1)(4)0L而故当产量x=4(百台)时,有最大利润L(4)=9(万元)25()518Lxxx由5()54Lxx得()0Lx令得驻点x=42.已知净投资函数(流量),求总资本量.此时的总成本为C(4)=19(万元)R(4)=28(万元)及总收入为30由于资本形成的过程就是资本总量增加的过程,而资本总量又是随时间的变化而变化的,所以资本总量是时间t的函数,即K=K(t),称之为资本函数.()dKtdt当资本函数K=K(t)可导时,总资本形成率为由经济学知资本总量的新增部分就是净投资.因而净投资I=I(t)是一个关于t的连续函数,从而投资者在时刻t处的净投资I(t)即为总资本在时刻t处的瞬时增量.而由第三章导数定义的引入知:一个量在某点的瞬时增量实质上就是这个量在该点的充分小邻域内